专题11　带电粒子在电场中的运动-冲刺高考物理大题突破+限时集训（全国通用）

专题11　带电粒子在电场中的运动

【例题】（2023·江苏苏州·高三统考期末）如图a所示，水平放置的两正对、平行金属板A、B间加有如图b所示的交变电压UAB，现有一带电粒子从A板左端边缘以速度v0水平射入电场。粒子电荷量为+q，质量为m，不计粒子重力。

（1）若粒子能够射出电场，已知金属板长度为L，求粒子在电场中的运动时间t；

（2）若粒子在时刻射入电场，经过一段时间后从A板右侧边缘水平射出，则板长L和两板间距d分别满足什么条件?

（3）若金属板足够长，要求时刻射入的粒子打到B板时动能最大，则两板间距d应当满足什么条件？

【答案】  （1）；（2），；（3）

【解析】（1）根据题意可知，粒子在电场中，水平方向上做匀速直线运动，若粒子能够射出电场，则粒子在电场中的运动时间为

（2）根据题意可知，若粒子在时刻射入电场，且经过一段时间后能够从A板右侧边缘水平射出，则在竖直方向上，粒子在时间内，做向下的匀加速直线运动，在时间内，向下做匀减速直线运动，由对称性可知，粒子在时，竖直分速度减小到0，此时，粒子未达到B板上，然后在时间内，向上做匀加速直线运动，在时间内，向上做匀减速直线运动，由对称性可知，在时，粒子恰好回到A板边缘，且竖直分速度为0，由上述分析可知，两板间距d满足条件为

由牛顿第二定律可得

联立解得

粒子在电场中的运动时间为

则板长L为

（3）根据题意可知，若粒子从时刻进入电场，在时间内，做向下的匀加速直线运动，在时间内，向下做匀减速直线运动，由对称性可知，在时刻，粒子竖直分速度减小到0，要求粒子打到B板时动能最大，则粒子打到B板时，竖直分速度最大，即粒子在，，时，恰好打到B板，则有

解得

思维导图

1．带电粒子在电场中运动时重力的处理

2.带电粒子在电场中的运动特点及分析方法

【变式训练】（2023·湖南怀化·统考一模）如图，倾角为30°的斜面上有一个电荷量为q（q>0）质量为m的小球以v0的初速度水平抛出。竖直平面内有一水平向左的匀强电场，电场强度为E。已知小球回到斜面时速度方向与斜面的夹角不变，克服电场力做功。从抛出小球到小球回到斜面的运动过程中，下列说法正确的是（　　）

A．

B．该系统的机械能不变

C．小球最小速度为

D．若第二次抛出小球时撤去电场，则两次小球离斜面最远距离之差为

【答案】  D

【解析】A．设小球落回到斜面是的速度为，则其水平分速度

水平方向的只受静电力作用，做匀减速直线运动，则

加速度大小为

水平方向的位移大小

小球克服电场力做功

解得

由类斜抛运动知识可得，小球合力方向垂直斜面向下，则

Eq=mg

解得

A错误；

B．小球克服电场力做功，机械能减小，B错误；

C．由类斜抛运动知识可得，当小球沿垂直斜面的分速度为0时，速度最小，即

C错误；

D．第一次抛出小球时，离斜面最远距离

第二抛出小球时，在运动起点同时垂直于斜面方向和平行与斜面方向分解、g，垂于斜面向上为轴正方向，轴方向分速度

轴方向分加速度大小

则

得

所以

D正确。

故选D。

一、单选题

1．（2023·安徽淮北·统考一模）如图甲所示，在粗糙绝缘水平面的、两处分别固定两个电荷，、的位置坐标分别为和。已知处电荷的电荷量为，图乙是连线之间的电势与位置坐标的关系图像，图中点为图线的最低点，处的纵坐标，处的纵坐标。若在的点，由静止释放一个可视为质点的质量为，电荷量为的带电物块，物块随即向右运动，小物块到达处速度恰好为零。则下列说法正确的是（　　）

A．处电荷带正电，电荷量为，小物块与水平面间的动摩擦因数

B．处电荷带负电，电荷量为，小物块与水平面间的动摩擦因数

C．处电荷带正电，电荷量为，小物块与水平面间的动摩擦因数

D．处电荷带负电，电荷量为，小物块与水平面间的动摩擦因数

【答案】  A

【解析】由乙图可知，图像在处的切线斜率为零，说明处的场强为零，故、两处电荷为同种电荷，由于电势大于零，可知、两处电荷均带正电；设处电荷的电荷量为，则有

解得

在的点，由静止释放一个可视为质点的质量为，电荷量为的带电物块，物块随即向右运动，小物块到达处速度恰好为零，根据动能定理可得

解得

故选A。

2．（2023·辽宁丹东·高三统考期末）如图，在空间直角坐标系坐标原点处有一m=0.01kg，q＝0.075C的带正电小球以的初速度，沿x轴正方向射入匀强电场中。电场方向沿Z轴正方向，电场强度E＝1.0V/m，当地重力加速度，则以下图像正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】  C

【解析】A．由题意可知，带正电小球在y轴负方向受重力，做自由落体运动，在Z轴正方向受电场力，做初速度是零的匀加速直线运动，在x轴方向不受力，做匀速直线运动，因此则有vx=v0，解得

A错误；

B．带正电小球在y轴负方向受重力，做自由落体运动，则有，可得

B错误；

C．带正电小球在Z轴正方向受电场力，做初速度是零的匀加速直线运动，则有

解得

C正确；

D．由D图可知，当时，可得

可得

D错误。

故选C。

3．（2023·辽宁·高三校联考期末）如图所示，一根内壁粗糙且足够长的绝缘圆管水平固定，圆管所在的空间有与圆管中轴线垂直的水平匀强电场。圆管内，质量为m的带正电荷的小球，在水平向右拉力的作用下沿管轴向右匀速运动，此时小球所受电场力的大小为。如果撤去电场，为使小球仍沿管轴匀速向右运动，则拉力的大小应等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】  B

【解析】根据题意对小球进行受力分析如图（左视图）

由题意，可知

根据摩擦力公式有

由于小球做匀速运动有

当撤去电场

根据题意小球做匀速运动有

故选B。

4．（2023·天津南开·高三统考期末）图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点。则该粒子（    ）

A．在c点受力最大

B．在a点的动能大于在c点的动能

C．在b点的电势能小于在c点的电势能

D．由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化

【答案】  D

【解析】A．由库仑定律知离圆心越远，粒子所受的力越小，A错误；

B．点电荷的等势面与虚线重合，从所在等势面到点所在等势面，电场力做正功，则粒子在a点的动能小于在c点的动能，B错误；

C．粒子从b点到c点过程中，静电力做正功，电势能减小，可知在b点的电势能大于在c点的电势能，C错误；

D．点电荷的等势面与虚线重合，根据定性分析可知

又静电力做功

则

由动能定理得粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化，D正确。

故选D。

5．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，竖直面内有矩形ABCD，∠DAC=30°，以O为圆心的圆为矩形的外接圆，AC为竖直直径，空间存在范围足够大、方向由A指向B的匀强电场。将质量均为m的小球P、Q以相同速率从A点抛出，小球P经过D点时的动能是小球在A点时动能的4倍。已知小球P不带电，小球Q带正电，电荷量为q，重力加速度为g，该电场的电场强度大小为。则小球Q经过B点时的动能是小球在A点时动能的（　　）

A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍

【答案】  B

【解析】由于匀强电场由指向，可知为等势线，设圆的半径为，小球P经过D点时的动能是小球在A点时动能的4倍，根据动能定理可得

小球Q从A点抛出到B点过程，根据动能定理可得

又

联立解得

则小球Q经过B点时的动能是小球在A点时动能的4倍。

故选B。

二、多选题

6．（2023·山东烟台·统考一模）“离心轨道演示仪”（如图甲所示）是演示物体在竖直平面内的圆周运动的实验仪器，其轨道主要由主轨长道、轨道圆和辅轨长道三部分组成，主轨长道长度约为轨道圆半径R的6倍。将主轨长道压制成水平状态后，轨道侧视示意图如图乙所示。空间中存在水平向右的匀强电场（未画出），电场强度大小为。现在主轨长道上的一点A静止释放一电荷量为q、质量为m的绝缘小球，小球沿主轨长道向右运动，从B点进入轨道圆，若不计一切摩擦，重力加速度为g，则小球再次通过最低点之前（    ）

A．小球上升到与圆心等高处时，其动能最大

B．小球上升到轨道圆最高处时，其机械能最大

C．若AB间距离为，小球恰好不脱离轨道

D．若小球不脱离轨道，小球对轨道的最大压力大小可能为5mg

【答案】  CD

【解析】A．使用等效场的观点，将重力场和电场等效的看作一个场，结合平行四边形法则可得等效重力加速度为

设等效场对物体的力与竖直方向的夹角为θ，如图所示

则有

解得

由“等效重力”可知，当小球运动到BC间且与圆心连线与竖直方向夹角为时，小球的速度最大，动能最大，故A错误；

B．小球在轨道上运动过程中，能量守恒，小球在与圆心等高且在圆弧右侧的位置电势能最小，所以小球在该点的机械能最大，故B错误；

C．设释放点A到B的距离为L时，小球恰好不脱离圆轨道；图中D点与圆心连线与圆相交的点M点即为“等效重力”中的最高点，小球恰好不脱离圆轨道，电场力与重力的合力刚好提供向心力，则有

解得

从开始释放小球到M点的过程中，由动能定理可得

解得

故C正确；

D．若小球做完整的圆周运动，小球运动到D点时的动能最大，对轨道的压力最大，从A到D的过程中，根据动能定理，有

解得

在D点，根据牛顿第二定律，有

解得

若小球不做完整的圆周运动，当小球运动到与MD连线垂直时如图中的P点，接下来将沿着轨道返回，此时也未脱离轨道，该过程在D点速度有最大值，对轨道的压力也为最大值，从P到D点，根据动能定理，有

解得

在D点，根据牛顿第二定律，有

解得

如果小球不能到达P点，则小球对轨道的最大压力将会小于6mg，所以小球对轨道的最大压力大小可能为5mg，故D正确。

故选CD。

7．（2023春·安徽滁州·高三校考阶段练习）如图所示，竖直平面内存在一匀强电场，电场强度方向与水平方向间的夹角，O、M为其中一条电场线上的两点，一带电粒子电荷量为q，不计重力，在O点以水平初速度进入电场，经过时间t粒子到达与M在同一水平线上的N点，且，则（　　）

A．

B．粒子带负电

C．带电粒子在O点的电势能大于在N点的电势能

D．由O到N运动过程中，电场力的功率增大

【答案】  BCD

【解析】A. 因

选项A错误；

B. 根据粒子的运动轨迹可知，粒子受电场力斜向下，可知粒子带负电，选项B正确；

C. 从O到N电场力做正功，电势能减小，则带电粒子在O点的电势能大于在N点的电势能，选项C正确；

D. 根据

P=Eqv

由O到N运动过程中，粒子沿电场线方向的速度v增大，可知电场力的功率增大，选项D正确。

故选BCD。

8．（2023·天津·模拟预测）一带电质点从图中的A点竖直向上以v0射入一水平方向的匀强电场中，质点运动到B点时，速度方向变为水平，已知质点的质量为m，带电荷量为q，AB间距离为L，且AB连线与水平方向成θ=37°角，质点到达B后继续运动可到达与A点在同一水平面上的C点（未画出），则（　　）

A．AC间的水平位移为3.2L

B．匀强电场的电场强度大小为

C．从A到C的过程中，带电质点的电势能减小了

D．点在C点的加速度大小为

【答案】  AB

【解析】A．质点在竖直方向受重力作用，所以在竖直方向做的是竖直上抛运动，根据对称性可知质点从A到B的时间等于从B到C的时间。质点在水平方向受电场力作用，在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以AB在水平方向的位移与BC在水平方向的位移之比为1:3，由题知，AB水平方向的位移，所以BC水平方向的位移为2. 4L，故AC间距为3. 2L，故A正确；

B．质点从A到B的时间为t，则

在水平方向的加速度为a，则从A到B有

由牛顿第二定律得

解得

E=

故B正确；

C．从A到B根据动能定理有

从A到C电场力做功为

解得

W=

电场力做功等于电势能的变化，所以电势能减小

故C错误；

D．根据牛顿第二定律可知加速度大小

解得

故D错误。

故选AB。

9．（2023·河北沧州·高三统考期末）如图甲所示，两平行板沿水平方向放置，且在两极板间加如图乙所示的电压，时刻由两极板的正中央静止释放一带负电的粒子，结果在时粒子回到出发点，且整个过程中粒子刚好未与极板M发生碰撞，忽略粒子的重力。则下列说法正确的是（　　）

A．粒子在时刻刚好运动到极板M

B．在时刻粒子的速率最大

C．

D．与时刻粒子的动能之比为

【答案】  CD

【解析】AC．设两极板之间的距离为d，粒子的质量为m，电荷量的绝对值为q。在时间内平行板间的电场强度为

粒子的加速度

向上做匀加速直线运动，经过时间的位移为

此时的速度为

在时间内平行板间电场强度为

加速度大小为

粒子以的速度先向上做匀减速直线运动到达M板时，速度减为零，然后向下做匀加速直线运动，这段时间内的位移为

由题意知，在时刻，粒子回到出发点，则有

联立可得

A错误，C正确；

BD．由以上分析可知，在时刻粒子的速度大小为

在时刻粒子的速度大小为

整理得

显然与时刻粒子的速率之比为

由公式

可知与时刻粒子的动能之比为，B错误，D正确。

故选CD。

三、解答题

10．（2023·甘肃·统考一模）微波器件的核心之一是反射式速调管，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理可简化为静电场模型。已知静电场的方向平行于x轴，其电势随x的分布如图所示。一质量为、电荷量为的带负电粒子从点由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴做往复运动，求：

（1）在区域内电场强度的大小和方向；

（2）该粒子运动过程中经过何处速度最大，最大速度是多少；

（3）该粒子运动的周期是多少。

【答案】  （1）见解析；（2）；（3）

【解析】（1）由图像的物理意义可知，在x轴正、负半轴分布着方向相反的匀强电场，在区域内电场强度大小

，方向沿x轴负方向

在范围电场强度大小

，方向沿x轴正方向

（2）粒子经过处时速度最大，由动能定理可得

代入数值可得

（3）设粒子从处运动至处用时，从处运动至处用时，则有

，

运动周期

带入数据可得

11．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）电荷量为的带正电小物块置于粗糙的绝缘水平面上，所在空间存在沿水平方向的匀强电场，场强E与时间t的关系及物块速度v与时间t的关系分别如图甲、乙所示，若重力加速度g取，求：

（1）物块的质量m以及物块与水平面之间的动摩擦因数μ；

（2）物块运动2s过程中，其电势能的改变量。

【答案】  （1）0.5kg；0.4；（2）减小7J

【解析】（1）由图可知，第1s物块做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有

由图线知加速度为a=2m/s2

1s后物块做匀速运动，由平衡条件有：

联立解得：

由图可得：E1=3×104N/C，E2=2×104N/C

代入数据解得

m=0.5kg

μ=0.4

（2）物块在第1s的位移为

物块在第2s的位移为

电场力做正功

电场力做正功即电势能减少7J。

12．（2023·河北沧州·高三统考期末）如图所示，水平轨道与半径为R的圆弧轨道相切于A点，整个空间存在范围足够大的水平向右的匀强电场，电场强度大小为，质量为m的不带电小球乙静止在A点，质量为2m、电荷量为q的带正电的小球甲由水平轨道的O点静止释放，已知，经过一段时间两球发生碰撞，碰后并粘合为一体，忽略一切摩擦，小球在整个过程中电荷量不变，两球均可视为质点，重力加速度大小为g。求：

（1）碰后两球对轨道的最大压力；

（2）小球离开B点后到再次回到与B点等高处时的速率。

【答案】  （1）；（2）

【解析】（1）碰前对小球甲由O到A的过程，由动能定理得

两球碰撞过程动量守恒，则由

解得

碰后小球所受的电场力为

电场力与重力的合力斜向右下方与水平方向成角，大小为

小球的等效最低点位于弧AB的中点C，对小球由A到C的过程由动能定理得

又由牛顿第二定律得

解得

由牛顿第三定律可知小球对轨道的最大压力为

（2）小球由A到B由动能定理得

解得

小球离开B点后在竖直方向上做竖直上抛运动，水平方向上做初速度为零的匀加速运动，设小球再次运动到距水平面高度为R的位置时，所用时间为t，根据运动学公式得

在t时间内小球沿电场方向运动的位移为

又

解得

对小球，从B点到再次运动到距水平面高度为R的位置，根据动能定理得

解得

（2022·江苏·高考真题）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，边长为，边长为，质量为m、电荷量为的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为，入射角为，在纸面内运动，不计重力及粒子间的相互作用力。

（1）当时，若粒子能从边射出，求该粒子通过电场的时间t；

（2）当时，若粒子从边射出电场时与轴线的距离小于d，求入射角的范围；

（3）当，粒子在为范围内均匀射入电场，求从边出射的粒子与入射粒子的数量之比。

【答案】  （1）；（2）或；（3）

【解析】（1）电场方向竖直向上，粒子所受电场力在竖直方向上，粒子在水平方向上做匀速直线运动，速度分解如图所示

粒子在水平方向的速度为

根据可知

解得

（2）粒子进入电场时的初动能

粒子进入电场沿电场方向做减速运动，由牛顿第二定律可得

粒子从边射出电场时与轴线的距离小于d，则要求

解得

所以入射角的范围为

或

（3）设粒子入射角为时，粒子恰好从D点射出，由于粒子进入电场时，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向反复做加速相同的减速运动，加速运动。粒子的速度

运动时间为

粒子在沿电场方向，反复做加速相同的减速运动，加速运动，则

则

则粒子在分层电场中运动时间相等，设为，则

且

代入数据化简可得

即

解得

（舍去）或

解得

则从边出射的粒子与入射粒子的数量之比