专题15 电感感应之线框类进出磁场问题-冲刺高考物理大题突破+限时集训（全国通用）

专题15  电感感应之线框类进出磁场问题

【例题】（2023·天津·模拟预测）如图，一质量为m，边长为h的正方形金属线框abcd自某一高度由静止下落，依次经过两匀强磁场区域，且金属线框bc边的初始位置离磁场B1的上边界的高度为，两磁场的磁感应强度分别为B1和B2，且B1＝2B0，B2＝B0(B0已知)，两磁场的间距为H(H未知，但H＞h)，线框进入磁场B1时，恰好做匀速运动，速度为v1(v1已知)，从磁场B1中穿出后又以v2匀速通过宽度也为h的磁场B2。

(1)求v1与v2的比值；

(2)写出H与h的关系式；

(3)若地面离磁场B2的下边界的高度为h，求金属线框下落到地面所产生的热量。(用m、h、g表示)

【答案】  (1)1∶4　(2)H＝　(3)4mgh

【解析】(1)金属线框分别进入磁场B1和B2后，做匀速运动，由平衡条件有

BIh＝mg①

又金属线框切割磁感线，则

②

联立①②得

所以

③

(2)金属线框进入磁场B1前和离开磁场B1后到进入磁场B2前，都是做只在重力作用下的运动，由运动学公式有

④

⑤

联立③④⑤得

⑥

(3)产生的热量等于克服安培力做功

Q＝BIh·4h⑦

联立①⑦得

Q＝4mgh

分析闭合线框穿越匀强磁场时，关键是分析线框进、出磁场时所受的安培力。

从运动和力的角度看，安培力总是阻碍线框相对磁场的运动，可使线框做匀速运动、减速运动或加速运动。

从功和能的角度看，线框克服安培力做功，把其它形式的能转化为电能。要注意，如果有穿过线框的磁通量不发生变化的阶段，则此阶段线框中没有感应电流，线框也就不受到安培力的作用。

解决这类问题需要综合运用电磁学的定律或公式进行分析，在分析线框在磁场中运动时，应仔细分析“进磁场”“在磁场中运动”“出磁场”三个阶段的运动情况。

【变式训练】（2023春·湖南·高三校联考开学考试）如图，在光滑的水平面上，宽为2L的有界匀强磁场左侧放置一边长为l的正方形导电线圈，线圈在水平外力作用下向右匀加速穿过该磁场，则在线圈穿过磁场的过程中，拉力F随位移x的变化图像、线圈中感应电流I（顺时针方向为正）。热功率P随位移x的变化图像正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】  D

【解析】AB．线圈在拉力作用下由静止开始匀加速直线运动

AB错误；

C．线圈中的感应电流

产生电流的0-L段和2L-3L段应为同一曲线的两段，C错误；

D．线圈中的功率

D正确。

故选D。

一、单选题

1．（2023·河北邢台·高三统考期末）如图所示，空间有一宽度为的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一边长为L、电阻分布均匀的正方形导体框，以恒定的速度v向左匀速穿过磁场区域，从导体框边进入磁场开始计时，则a、b两点的电势差随时间t变化的图线正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】  B

【解析】由法拉第电磁感应知识可得，在线框进入磁场的过程中与出磁场的过程中线框内的磁通量都发生变化，线圈中有感应电动势。

①在时间内，线框的ab边切割磁感线，由

可知此时边相当于电源，电流由b流向a，a、b两点的电势差相当于路端电压，大小为

电势差为正；

②在时间内，线框完全在磁场中运动，穿过线框的磁通量没有变化，不产生感应电流，但是边仍然在切割磁感线，a、b两点的电势差大小为

电势差为正；

③在时间内，线圈开始出磁场，边离开磁场，只有cd边切割磁感线，此时cd边相当于电源，ab边中电流由a流向b，线圈中电动势为

a、b两点的电势差为外电路部分电压，大小为

电势差为正。故选项B正确，选项ACD错误。

故选B。

2．（2023春·云南·高三专题练习）如图所示，在直角边长为2L的等腰Rt△ABC区域内，有垂直纸面向里的匀强磁场。用金属丝制成的边长为L的正方形线框abcd，沿纸面从左向右以速度v匀速通过整个磁场区域。设电流逆时针方向为正方向，则线框中感应电流i随时间t变化的规律正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】  B

【解析】线框开始进入磁场运动L的过程中，只有边bc切割，切割有效长度不变，感应电动势不变，感应电流不变，由右手定则可知感应电流为逆时针方向（正方向）；前进L后，边bc开始出磁场，边ad开始进入磁场，回路中的感应电动势为边ad产生的减去bc边在磁场中产生的电动势，线圈切割磁感线的有效长度从零逐渐增大，回路中感应电动势从零逐渐增大，感应电流从零逐渐增大，感应电流为顺时针方向（负方向）；当线圈再前进L时，边bc完全出磁场，ad边也开始出磁场，有效切割长度逐渐减小，感应电动势从零逐渐减小，感应电流逐渐减小，感应电流为顺时针方向（（负方向）。

故选B。

3．（2023·山东菏泽·统考一模）如图所示，MNQP是边长为L和2L的矩形，在其由对角线划分的两个三角形区域内充满磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场。边长为L的正方形导线框，在外力作用下水平向左匀速运动，线框左边始终与MN平行。设导线框中感应电流i逆时针流向为正。若时左边框与PQ重合，则左边框由PQ运动到MN的过程中，下列图像正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】  D

【解析】内是线框的左边框由PQ向左进入磁场，根据右手定则知感应电流为顺时针（负），而切割磁感线的有效长度随着水平位移而均匀减小，则感应电流的大小均匀减小；

内，线框的前后双边同向同速切割相反的磁场，双源相加为总电动势，电流方向为逆时针（正），两边的有效长度之和等于L，则电流大小恒定。

故选D。

4．（2023·辽宁辽阳·高三统考期末）如图所示，用外力将质量不计的正方形闭合导线框从图示位置（磁场的右边界与导线框的右边重合）先后两次匀速拉出匀强磁场。若线框第一次与第二次被拉出磁场的时间之比为，则线框第一次与第二次被拉出磁场过程中外力做的功之比为（　　）

A． B． C． D．

【答案】  C

【解析】设线框边长为L，匀速拉出匀强磁场过程中，切割磁感线产生了感应电流，则有

，，

解得

线框在磁场中运动的时间为

安培力做功为

线框匀速运动，外力和安培力大小相等，外力做功和安培力做功大小相等，则有

则线框第一次与第二次被拉出磁场过程中外力做的功之比为

故C正确，ABD错误。

故选C。

二、多选题

5．（2023·重庆·模拟预测）某科技馆设计了一种磁力减速装置，简化为如题图所示模型。在小车下安装长为L、总电阻为R的正方形单匝线圈，小车和线圈总质量为m。小车从静止开始沿着光滑斜面下滑s后，下边框刚进入匀强磁场时，小车开始做匀速直线运动。已知斜面倾角为θ，磁场上下边界的距离为L，磁感应强度大小为B，方向垂直斜面向上，重力加速度为g，则（　　）

A．线圈通过磁场过程中，感应电流方向先顺时针后逆时针方向（俯视）

B．线框在穿过磁场过程中产生的焦耳热为

C．线框刚进入磁场上边界时，感应电流的大小为

D．小车和线圈的总质量为

【答案】  AD

【解析】A．线框刚进入磁场上边界时，根据楞次定律可得感应电流的方向为顺时针方向（从斜面上方俯视线框），穿出磁场时，根据楞次定律可得感应电流的方向为逆时针方向，故A正确；

BC．设线框进入磁场时的速度大小为v0，自由下滑过程中，根据动能定理可得

解得

v0=

根据闭合电路的欧姆定律可得

下边框刚进入匀强磁场时，小车开始做匀速直线运动。根据功能关系可得线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热为

故BC错误；

D．根据平衡条件可得

解得

故D正确。

故选AD。

6．（2023·福建泉州·统考三模）如图甲所示，水平绝缘传送带正在输送一闭合正方形金属线框，在输送中让线框随传送带通过一固定的匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，磁场边界MN、PQ与传送带运动方向垂直，其间距为。已知传送带以恒定速度运动，线框质量为，边长为，线框与传送带间的动摩擦因数为，且在传送带上始终保持线框左、右两边平行于磁场边界，线框右边进入磁场到线框右边离开磁场过程中，其速度随时间变化的图像如图乙所示，重力加速度大小为，则（　　）

A．线框进出磁场过程中感应电流方向相同

B．线框穿过磁场过程中受到的摩擦力方向不变

C．整个线框刚好离开磁场时的速度为

D．整个线框穿过磁场过程中安培力对线框做的功为

【答案】  BD

【解析】A．由楞次定律可知线框进入磁场过程中感应电流方向为逆时针（俯视），出磁场过程中感应电流方向为顺时针（俯视），故A错误；

B．滑动摩擦力方向与相对运动方向相反，由v-t图可知线框右边进入磁场到右边恰离开磁场过程中速度小于传送带速度，所受滑动摩擦力方向水平向右，线框出磁场过程与进入磁场过程中初速度相同、受力情况相同，所以运动情况相同，即出磁场过程中速度由一直减小至，所以出磁场过程中所受滑动摩擦力方向水平向右，故线框穿过磁场过程中受到的摩擦力方向不变。故B正确；

C．由B项分析知线框刚好离开磁场时的速度为，线框恰完全进入磁场至右边恰出磁场过程中线框做匀加速直线运动，有

解得

故C错误；

D．线框穿过磁场的整个过程中初末速度为、，整个过程中摩檫力不变，所以由动能定理可得

解得

故D正确。

故选BD。

7．（2023·辽宁沈阳·统考一模）有界匀强磁场磁感应强度为B，有一半径为R的线圈，其单位长度上的电阻为r，线圈直径MN垂直磁场边界于M点，现以M点为轴在纸面内，沿顺时针方向匀速旋转，角速度为，则（　　）

A．感应电流方向为顺时针方向

B．感应电动势的最大值为

C．感应电流的最大值为

D．通过导体任意横截面的电量为

【答案】  AD

【解析】A．根据楞次定律，感应电流产生的磁场总要阻碍原磁通量的变化，可知在线圈转动的过程中通过线圈的磁通量减小，由此可知感应电流应为顺时针方向，故A正确；

BC．当转过时的瞬间感应电动势最大，此时切割磁感线的有效长度最大，为圆形线圈的直径，由此可得感应电动势的最大值为

根据闭合电路的欧姆定律可知感应电流的最大值为

故BC错误；

D．通过导体任意横截面的电量为

故D正确。

故选AD。

8．（2023·河南·校联考模拟预测）如图所示，平行虚线M、N间，N、P间有垂直于光滑水平面、方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场，每个磁场的宽度均为L。边长为L、质量为m、电阻为R的粗细均匀的单匝金属线框静止在水平面上，边离虚线M的距离也为L，用水平拉力F（大小未知）作用在金属线框上，使金属线框在水平面上向右做初速度为零的匀加速直线运动，线框运动过程中边始终与M平行，边刚进磁场的一瞬间，受到的安培力大小为，则下列判断正确的是（　　）

A．线框运动的加速度大小为

B．线框穿过虚线N的过程中，通过线框导线横截面的电量为0

C．线框进左边磁场过程中安培力的冲量小于出右边磁场过程中安培力的冲量

D．线框穿过整个磁场的过程中，拉力F的最大值为

【答案】  AD

【解析】A．设线框边刚进磁场时速度大小为，则感应电动势与感应电流分别为

则安培力为

解得

根据运动学公式有

解得

A正确；

B．线框穿过虚线N的过程中，平均电动势为

电流的平均值为

解得

B错误；

C．根据上述，线框进左边磁场过程通过的电荷量与出右边磁场过程通过的电荷量均为

则由于安培力的冲量大小为

解得

即线框进左边磁场过程中安培力的冲量和出右边磁场过程中安培力的冲量相等，C错误；

D．线框向右做匀加速直线运动，可知令边刚要通过N边时的速度为，边刚要通过P边时的速度为，则有

则对应速度产生的电动势为

对应位置的感应电流为

对应位置根据牛顿第二定律有

解得

即线框穿过整个磁场的过程中，拉力F的最大值为，D正确。

故选AD。

三、解答题

9．（2023·广东深圳·高三校考期末）如图所示，电阻为的正方形单匝线圈的边长为，边与匀强磁场边缘重合。磁场的宽度等于线圈的边长，磁感应强度大小为。在水平拉力作用下，线圈以的速度向右穿过磁场区域。求线圈在上述过程中：

(1)感应电动势的大小E；

(2)所受拉力的大小F；

(3)感应电流产生的热量Q。

【答案】  (1)0.8V；(2)0.8N；(3)0.32J

【解析】(1)由题意可知当线框切割磁感线是产生的电动势为

(2)因为线框匀速运动故所受拉力等于安培力，有

根据闭合电路欧姆定律有

结合(1)联立各式代入数据可得F=0.8N；

(3)线框穿过磁场所用的时间为

故线框穿越过程产生的热量为

10．（2023·重庆·校联考一模）如图甲所示，在光滑绝缘水平面内有一单匝长方形金属线框，边长，线框的质量、电阻，空间存在一有界匀强磁场，磁场的左边界如虚线所示，虚线右侧存在区域足够大的磁场，磁场方向竖直向下．线框在水平向右的外力F作用下由静止开始做匀加速直线运动，边到达磁场左边界时（记）的速度大小，外力F随时间t变化的图像如图乙所示。

（1）求匀强磁场的磁感应强度大小B；

（2）求整个过程中通过线框某截面的电荷量q；

（3）已知内拉力做的功，求此过程中金属线框中感应电流的有效值I。

【答案】  （1）；（2）；（3）

【解析】（1）设线框的加速度大小为a，线框完全进入磁场后外力，由牛顿定律有

结合图像得

解得

（2）由题图乙中的数据可知线框进入磁场的时间，设线框的边长为x，线框进入磁场产生的感应电动势的平均值为，产生的感应电流的平均值为，则有

解得

（3）设此过程中线框产生的焦耳热为Q，线框完全进入磁场时的速度为v，结合能量守恒定律有

解得

11．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）如图，超级高铁（Hyperloop）是一种以“真空管道运输”为理论核心设计的交通工具，它具有超高速、低能耗、无噪声、零污染等特点。其基本模型如下，已知管道中固定着两根平行金属导轨、，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场和，且大小相等，方向相反，在列车的底部固定着绕有N匝闭合正方形形金属线圈，并且与之绝缘，两磁场的宽度均与金属线圈的边长相同（列车的车厢在图中未画出）若整个线圈的总电阻为，金属线圈的边长为，已知列车车厢及线圈的总质量为，匝，且，磁场运动速度，不计导轨的电阻。求：

（1）为使列车能启动，列车所受到的阻力f应该满足的条件？

（2）若列车受到的阻力时，要使列车能维持最大速度运动，每秒钟需要消耗多少能量？

（3）若列车受到的阻力时，如果两磁场由静止开始沿水平向右匀加速运动来启动列车，当两磁场运动的时间为时，列车也正在以速度向右做匀加速直线运动，求两磁场开始运动到列车开始运动所需要的时间以及列车的加速度a？

【答案】  （1）；（2）10W；（3），

【解析】（1）设某时刻线框速度为v，则

由欧姆定律得

线框受到得安培力为

故线框速度v增大，减小

当时，最大

故为使列车能启动，列车所受到的阻力f应该满足

（2）由牛顿第二定律

当，故

此时，电路电流

线框受到的安培力

故

（3）经分析，要维持列车匀加速的运动，必须满足磁场加速度与列车加速度相同

对磁场

则由牛顿第二定律得

得

时刻，对磁场

由欧姆定律，则

列车刚启动时

则

12．（2023·北京朝阳·高三统考期末）应用所学知识不仅可以解决“已知”的问题，也可以在质疑中探索“未知”的问题。某同学利用电磁阻尼现象设计了如图情境1所示的用于缓冲降落的原理简图。一边长为L、质量为m、总电阻为R的正方形导线框abcd竖直下落，进入磁感应强度为B的匀强磁场时开始做减速运动，线框平面始终在竖直平面内，且线框ad边始终与磁场的水平边界面平行。已知线框bc边刚进入磁场时线框的速率为v。重力加速度为g。空气阻力不计。

（1）求线框bc边刚进入磁场时线圈中的电流I；

（2）若线框ad边刚要进入磁场时线框的速率减为，求线框在进入磁场的过程中所产生的焦耳热Q；

（3）小明同学对“导线框全部进入磁场后下落的加速度为重力加速度g”这一观点，产生了质疑，并认为此时线框的加速度应当略小于重力加速度g。结合实际，小明把线框换成金属正方体，研究其在该磁场中的下落情况，如图情境2所示。已知该正方体的质量为M、边长为L。

a．为便于定量分析，小明构建以下模型：假设正方体从静止开始一直在磁场中运动，平行磁感线的左右两个面可近似看作平行板电容器，电容为C。忽略正方体电阻。求该正方体下落的加速度大小a；并描述其运动性质。

b．目前实验室最强磁场的磁感应强度约为几十特。若正方体边长L＝0.1m，质量M＝5kg，上述a问模型中电容器电容的数量级约为。结合上述信息，针对“导线框全部进入磁场后下落的加速度为重力加速度g”这一说法，请阐述你的观点。

【答案】  （1）；（2）；（3）a．，正方体做加速度小于的匀加速直线运动；b．见解析

【解析】（1）线框边以速率v进入磁场时产生的感应电动势

根据闭合电路欧姆定律

（2）线框进入磁场过程中，根据能量守恒定律有

得

（3）a．正方体以速率切割磁感线时产生感应电动势为

则正方体左右面所构成电容器的电荷量为

由于不断变大，和也不断变大，由左表面到右表面的充电电流大小为

所受安培阻力大小为

根据牛顿第二定律有

根据加速度的定义式有

得

因此，正方体做加速度小于的匀加速直线运动。

b．将、、代入a问中的表达式

发现其中的，远小于金属正方体的自身质量，即，可见，正方体下落时所受的安培阻力可忽略不计。同理，导线框下落过程中所受的安培阻力也可以忽略不计，因此，“导线框全部进入磁场后下落的加速度为重力加速度”这一说法仍然成立。

（2022·湖北·统考高考真题）如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L = 0.2m、回路电阻R = 1.6 × 10 - 3Ω、质量m = 0.2kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成θ = 45°角、大小为的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g = 10m/s2，求：

（1）ab边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；

（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；

（3）磁场区域的水平宽度。

【答案】  （1）ax = 20m/s2，ay = 10m/s2；（2）B = 0.2T，Q = 0.4J；（3）X = 1.1m

【解析】（1）ab边进入磁场前，对线框进行受力分析，在水平方向有

max = Fcosθ

代入数据有

ax = 20m/s2

在竖直方向有

may = Fsinθ - mg

代入数据有

ay = 10m/s2

（2）ab边进入磁场开始，ab边在竖直方向切割磁感线；ad边和bc边的上部分也开始进入磁场，且在水平方向切割磁感线。但ad和bc边的上部分产生的感应电动势相互抵消，则整个回路的电源为ab，根据右手定则可知回路的电流为adcba，则ab边进入磁场开始，ab边受到的安培力竖直向下，ad边的上部分受到的安培力水平向右，bc边的上部分受到的安培力水平向左，则ad边和bc边的上部分受到的安培力相互抵消，故线框abcd受到的安培力的合力为ab边受到的竖直向下的安培力。由题知，线框从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动，有

Fsinθ - mg - BIL = 0

E = BLvy

vy2 = 2ayL

联立有

B = 0.2T

由题知，从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。则线框进入磁场的整个过程中，线框受到的安培力为恒力，则有

Q = W安 = BILy

y = L

Fsinθ - mg = BIL

联立解得

Q = 0.4J

（3）线框从开始运动到进入磁场的整个过程中所用的时间为

vy = ayt1

L = vyt2

t = t1 + t2

联立解得

t = 0.3s

由（2）分析可知线框在水平方向一直做匀加速直线运动，则在水平方向有

则磁场区域的水平宽度

X = x + L = 1.1m