专题14　带电粒子在叠加场中的运动-冲刺高考物理大题突破+限时集训（全国通用）

专题14　带电粒子在叠加场中的运动

【例题】（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第三中学校考开学考试）如图甲所示，竖直平面内的直角坐标系的x轴水平，在y轴的右侧存在方向竖直向下的匀强电场，在第Ⅱ象限内存在方向水平向左的匀强电场和方向垂直坐标平面向外的匀强磁场。一质量、电荷量的带负电粒子以大小的初速度从x轴负半轴上到坐标原点O的距离的A点进入第Ⅱ象限，沿与x轴正方向夹角的方向做直线运动，当粒子经过P点时，在y轴的右侧加上一个交变磁场（图甲中未画出），粒子进入y轴右侧后做匀速圆周运动，规定垂直坐标平面向里为正，从粒子经过P点开始计时，交变磁场的磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示。取重力加速度大小，不计空气阻力。求：

（1）第Ⅱ象限内匀强磁场的磁感应强度大小；

（2）y轴右侧匀强电场的电场强度大小与第Ⅱ象限内匀强电场的电场强度大小之比；

（3）粒子经过P点后第一次到达x轴的时间t。

【答案】  （1）；（2）；（3）

【解析】（1）粒子从A到P做直线运动，一定做匀速直线运动，受力如图所示

则得

解得

（2）因为粒子在y轴右侧做匀速圆周运动，所以重力与电场力平衡，即

qE1=mg

解得

可得

（3）由θ=60°可得粒子与y轴正方向成30°角射入第一象限，磁场的变化周期

粒子运动的周期为

所以

粒子转动一周的，磁场就发生变化，所以每次转动的圆心角为150°。

因为开始时粒子速度与y轴正方向成30°，转到速度方向沿y轴向下磁场方向即发生变化，因为

粒子在复合场中做圆周运动的半径

则粒子每转一周的其位置下降

由几何关系可知，当粒子转过3个150°，再转过90°角恰好能到达x轴，画出粒子的运动轨迹如图所示

即经过三个150°和一个90°，恰好水平过x轴上的Q点，则用时间

明确粒子受几个力，结合运动情况，分析各力方向。

（1）电场与磁场叠加：常见模型有速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件等。

（2）电场、磁场、重力场叠加：无约束带电体在叠加场做直线运动时必为匀速直线运动；做圆周运动时必为匀速圆周运动，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力。

1．三种典型情况

（1）若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时．

（2）若三场共存，合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直．

（3）若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m.

2．当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．

3．分析

【变式训练】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，有一足够长的绝缘圆柱形管道水平固定，内有带负电小球，小球直径略小于管道直径。小球质量为m，电荷量为q，与管道的动摩擦因数为，空间中有垂直向外、大小为B的匀强磁场。现对物块施加水平向右的恒力F，使物块自静止开始运动，已知重力加速度为g，对物块运动过程的判断正确的是（　　）

A．小球一直做加速度减小的运动 B．小球最大加速度为

C．小球稳定时速度为 D．从开始运动到最大速度时F做的功为

【答案】  C

【解析】ABC．对小球受力分析，小球从静止开始运动，则在竖直方向上当

水平方向上

解得

从静止开始，速度逐渐增加，则加速度逐渐增大，当

加速度达到最大值，为

随着速度的增加，竖直方向上受力情况变为

解得此时的加速度为

随着速度的继续增大，小球加速度减小，当

物体加速度为0，开始做匀速直线运动，速度稳定达到最大值为

则加速度先增加，后减小，故AB错误，C正确；

D．从开始运动到最大速度的过程中，根据动能定理可得

即

故D错误。

故选C。

一、单选题

1．（2023·广东汕尾·高三汕尾市城区汕尾中学校考期末）如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面。一电子由O点以一定初速度水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（　　）

A．磁感应强度方向垂直纸面向外

B．电子的初速度小于

C．由O点至P点的运动过程中，电子的速度增大

D．将电子的初速度调整至合适值可以使其做直线运动

【答案】  D

【解析】A．电子从O点开始轨迹向下弯曲，由于电场力向上，说明洛伦兹力向下，根据左手定则，则磁感应强度方向垂直纸面向里，故A错误；

B．电子从O运动到P，合外力指向轨迹凹侧，有

qv0B>qE

则

故B错误；

C．由O点至P点的运动过程中，电场力做负功，洛伦兹力不做功，电子的速度逐渐减小，故C错误；

D．当

qv0B=qE

即

电子受力平衡，可以做直线运动，故D正确。

故选D。

2．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）如图所示，在空间直角坐标系中，沿z轴正方向有电场强度为E的匀强电场，沿y轴正方向有磁感应强度为B的匀强磁场，一质量为m、带电荷量为的小球以一定的初速度沿x轴正方向抛出后小球做平抛运动，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）

A．小球的初速度可能小于

B．经过时间，小球的动能变为初始时的2倍

C．仅将小球的初速度方向变为沿y轴正方向，小球不可能做匀变速运动

D．仅将磁感应强度B的方向变为沿z轴正方向，小球不可能做类平抛运动

【答案】  C

【解析】A．小球在平面内做平抛运动，则有

解得

A错误；

B．经过时间，小球在y轴方向的分速度

小球的动能为

即经过时间，小球的动能变为初始时的3倍，B错误；

C．当小球的初速度方向变为沿y轴正方向时，在z轴方向，洛伦兹力和电场力不平衡，小球沿z轴方向的分速度大小发生变化，小球受到的洛伦兹力变化，小球的加速度变化，小球不可能做匀变速运动，C正确；

D．当磁感应强度B的方向变为沿z轴正方向，若有

小球将在电场力的作用下，在平面内做类平抛运动，D错误。

故选C。

3．（2023·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）如图甲、乙所示，两空间分别存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，、分别为纸面内的半圆形曲线，O、分别为两半圆的圆心，PQ、分别为两半圆的水平直径，将带电粒子分别从P、点水平射出，分别经过半圆曲线的M、点，不计粒子重力及空气阻力，则下列说法正确的是（    ）

A．甲图中粒子带正电，乙图中粒子带负电

B．甲图中粒子带负电，乙图中粒子带正电

C．甲图中粒子经过M点时速度方向的反向延长线有可能经过圆心O

D．乙图中粒子经过点时速度方向的反向延长线一定经过圆心

【答案】  D

【解析】AB．甲图中，由于带电粒子在电场中受到向下的电场力，故粒子带正电，乙图中，由左手定则可知粒子带正电荷，故AB错误；

C．甲图中带电粒子做类平抛运动，由类平抛运动规律可知，粒子经过M点时速度方向的反向延长线与过P点的水平距离的交点为水平位移的中点，即交点与P点的距离为，如果经过圆心O，则要求水平方向的位移应为，明显PM两点间的水平位移，所以假设不成立，故C错误；

D．乙图中粒子在圆形磁场区域内做匀速圆周运动，设粒子的轨迹半径为R，半圆的半径为r，粒子从射出的速度为，运动轨迹如图所示

因，，为公共边，所以

因点的速度的方向沿指向，且，所以，即，因此，即，又因为，所以与共线，即粒子经过点的速度方向的反向延长线一定过圆心，故D正确。

故选D。

4．（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在xOy竖直平面内存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直于平面向外的匀强磁场，现让一个质量为m，电荷量为q的带正电小球从O点沿y轴正方向射入，已知电场强度大小为，磁感应强度大小为B，小球从O点射入的速度大小为，重力加速度为g，则小球的运动轨迹可能是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】  C

【解析】小球射入时将初速度进行分解，其中分速度可使得小球受到的电场力、洛伦兹力与重力三力平衡，即

解得

根据左手定则可知沿x轴正方向，由题意知初速度沿y轴正方向，大小为，根据平行四边形法则可得分速度与y轴的夹角为，如下图所示

分速度的大小为

故小球以分速度做匀速圆周运动，以分速度沿x轴正方向做匀速直线运动，两者的合运动轨迹即为小球的运动轨迹。小球y轴方向上的位移只与匀速圆周运动有关，圆周运动轨迹如下图

圆周运动的轨迹与x轴正方向匀速直线运动合成后的轨迹即为小球实际运动轨迹，如下图所示

故选C。

5．（2023·全国·模拟预测）如图甲所示，一带电物块无初速度地放在皮带底端，皮带轮以恒定的速率沿顺时针方向转动，该装置处于垂直于纸面向里的匀强磁场中，物块由底端E运动至皮带顶端F的过程中，其v—t图像如图乙所示，物块全程运动的时间为。关于带电物块及其运动过程，下列说法正确的是（　　）

A．该物块带负电

B．皮带轮的转动速度大小一定为

C．若已知皮带的长度，可求出该过程中物块与皮带发生的相对位移

D．在内，物块与皮带仍可能有相对运动

【答案】  D

【解析】A．由图像可知，物块先做加速度逐渐减小的加速运动，后做匀速运动，物块的最大速度是，对物块进行受力分析可知，开始时物块受到重力、支持力和摩擦力的作用，设动摩擦因数为，沿皮带的方向，有

①

物块运动后，又受到洛伦兹力的作用，加速度逐渐减小，由①式可知，物块的加速度逐渐减小，一定是逐渐减小，而开始时

后来

即洛伦兹力的方向是斜向上的，物块沿皮带向上运动，由左手定则可知，物块带正电，A错误；

BD．物块向上运动的过程中，加速度越来越小，当加速度等于0时，物块达到最大速度，此时

②

由②式可知，只要皮带的速度大于或等于即可，所以皮带的速度可能是，也可能大于，物块可能相对皮带静止，也可能相对皮带运动，B错误，D正确；

C．由以上分析可知，皮带的速度不能确定，所以若已知皮带的长度，也不能求出该过程中物块与皮带发生的相对位移，C错误。

故选D。

二、多选题

6．（2023·辽宁营口·高三校考期末）如图所示，空间存在水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为、带电量大小为的小球，以初速度沿与电场方向成45°夹角射入场区，能沿直线运动。经过时间，小球到达点（图中没标出），电场方向突然变为竖直向上，电场强度大小不变。已知重力加速度为，则（　　）

A．小球一定带正电

B．时间内小球可能做匀变速直线运动

C．匀强磁场的磁感应强度为

D．电场方向突然变为竖直向上，则小球做匀加速直线运动

【答案】  AC

【解析】B．假设小球做变速直线运动，小球所受重力与电场力不变，而洛伦兹力随速度的变化而变化，则小球将不可能沿直线运动，故假设不成立，所以小球一定受力平衡做匀速直线运动，B错误；

A．小球做匀速直线运动，根据平衡条件可以判断，小球所受合力必然为0，故电场力水平向右，洛伦兹力垂直直线斜向左上方，小球一定带正电，A正确；

C．根据平衡条件，得

解得

C正确；

D．根据平衡条件可知

电场方向突然变为竖直向上，则电场力竖直向上，与重力恰好平衡，洛伦兹力提供向心力，小球将做匀速圆周运动，D错误；

故选AC。

7．（2023春·湖北·高三校联考开学考试）如图所示，以棱长为的正方体顶点为原点建立三维坐标系，其中正方体的顶点落在轴上，顶点落在轴上。一质量为、电荷量为的带电粒子（重力不计）由点沿轴正方向以初速度射入，第一次在正方体内加沿轴负方向磁感应强度大小为的匀强磁场，该粒子恰好能通过的中点；第二次在正方体内加沿轴负方向电场强度大小为的匀强电场，该粒子恰好能通过的中点；第三次在正方体内同时加上大小不变的磁场和电场，磁场方向不变，将电场方向调整为与平面平行，与轴正方向成角、与轴正方向成角。则（　　）

A．该粒子在正方体内运动的时间第一次大于第二次

B．电场强度和磁感应强度满足

C．该粒子第三次在正方体内的运动为匀变速曲线运动

D．该粒子第三次从正方体内射出的位置坐标为

【答案】  ACD

【解析】A．第一次粒子在磁场中运动，半径为

可知

运动时间

第二次粒子在电场中运动，运动时间

故，A正确；

B．第二次运动中，粒子在方向上匀变速直线运动

解得

故有

B错误；

C．第三次运动过程中，带电粒子所受电场力

洛伦兹力

在平面内，如图所示，沿轴方向有

电场力沿轴的分量让粒子在轴正向加速，故粒子的运动为从点以速度沿轴正向做匀速直线运动以及沿轴正向做匀加速直线运动的合运动，即匀变速曲线运动，C正确；

D．粒子在方向上

解得

方向上

方向上的坐标为，故出射点坐标为，D正确。

故选ACD。

8．（2023春·广东肇庆·高三广东肇庆中学校考开学考试）如图所示，两虚线之间的空间内存在着正交或平行的匀强电场E和匀强磁场B，有一个带正电的小球（电荷量为＋q、质量为m）从电磁复合场上方的某一高度处自由落下，那么，带电小球可能沿直线通过的电磁复合场的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】  CD

【解析】A．小球受重力、向左的电场力、向右的洛伦兹力，下降过程中速度一定变大，故洛伦兹力一定增大，不可能一直与电场力平衡，故合力不可能一直向下，故一定做曲线运动，故A错误；

B．小球受重力、向上的电场力、垂直纸面向外的洛伦兹力，合力与速度一定不共线，故一定做曲线运动，故B错误；

C．小球受重力、向左上方的电场力、水平向右的洛伦兹力，若三力平衡，则粒子做匀速直线运动，故C正确；

D．粒子受向下的重力和向上的电场力，没有洛伦兹力，则合力一定与速度共线，故粒子一定做直线运动，故D正确；

故选CD。

9．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图质量为、电荷量为的带正电粒子（忽略粒子重力），以速度沿方向垂直射入相互正交的竖直向下的匀强电场和水平向里匀强磁场，经过该区域中的P点的速率为，此时侧移量为，若，下列说法中正确的是（　　）

A．带电粒子在P点的速率

B．带电粒子的加速度大小恒为

C．若，粒子从射入该区域到P点所用时间至少

D．粒子在运动过程中洛伦兹力始终大于电场力

【答案】  BC

【解析】A．粒子运动过程中，洛伦兹力始终与速度方向垂直而不做功，则根据动能定理

解得

故A错误；

B．将粒子进入电磁场的初速度看成是两个水平向右分速度、的合成，其中水平向右分速度满足

解得

则另一水平向右分速度满足

则粒子在电磁场中的运动可分解为：以水平向右做匀速直线运动和以大小做匀速圆周运动，其中以大小做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力；可知粒子运动过程受到的合力大小为

根据牛顿第二定律可知带电粒子的加速度大小为

故C正确；

C．以大小做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力，则有

解得

若

可知粒子从射入该区域到P点所用时间至少为

故C正确；

D．粒子的合速度为分速度与的合成，其中的大小方向均保持不变，的大小不变，方向时刻发生改变，当方向与方向相反时，粒子的合速度最小，则有

可知粒子受到的洛伦兹力最小值为零，而粒子受到的电场力保持不变，故D错误。

故选BC。

三、解答题

10．（2023·辽宁锦州·高三统考期末）如图所示，水平地面上方边界左侧存在垂直纸面向里的匀强磁场和沿竖直方向的匀强电场（图中未画出），磁感应强度，边界右侧离地面高处固定光滑绝缘平台上有一带正电的小球，质量、电量，以初速度水平向左运动，通过边界后恰好做匀速圆周运动，小球视为质点，，求：

（1）电场强度的大小和方向；

（2）小球在电磁场中运动的时间；（小数点后保留两位有效数字）

（3）小球落地点距地面上N点多远？（小数点后保留两位有效数字）

【答案】  （1），竖直向上；（2）1.05s；（3）0.78m

【解析】（1）小球通过边界后恰好做匀速圆周运动，则

解得

方向竖直向上。

（2）由洛伦兹力提供向心力

解得

圆周运动周期

由题意作出轨迹图如图所示，由几何关系可得

小球在电磁场中运动的时间

（3）设小球落地点距地面N点距离为x，由几何关系可得

解得

11．（2023·山东淄博·统考一模）为了探测带电粒子，研究人员设计了如图甲所示的装置。纸面内存在一个半径为R、圆心为的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，该磁场区域在垂直纸面的方向上足够长。以右边的O点为坐标原点建立一平面直角坐标系xOy，O和两点间距离为。y轴与连线垂直，x轴（图甲中未画出）正方向垂直纸面向里，在xOy平面内存在一个足够大的探测屏。纸面内圆形磁场区域正下方存在一个长度为R且与y轴垂直的线状粒子源MN，在MN的中垂线上，到MN的垂直距离为。该粒子源各处均能持续不断的发射质量为m、电荷量为的粒子，粒子发射时的速度大小均相同，方向均沿y轴正方向，从粒子源MN中点发射的粒子离开磁场时速度恰好沿方向，不计粒子重力和粒子间相互作用力。

（1）求粒子发射时的速度大小；

（2）求粒子源左端点M与右端点N发射的粒子从发射到打到屏上所经历的时间之差；

（3）若在圆形区域内再加上一个沿x轴正方向、场强且足够长的匀强电场，此时从粒子源发射的粒子都能打到探测屏上，其中，粒子源中点发射的粒子打在屏上的P点，如图乙所示，求该粒子打到屏上时的速度大小；

（4）在（3）问条件下，求从粒子源右端点N发射的粒子打在屏上的位置坐标。

【答案】  （1）；（2）；（3）；（4）

【解析】（1）分析可知粒子做圆周运动的半径为R，由

得

（2）分析可知粒子源左端点M与右端点N发射的粒子均从磁场边界与交点射出，且转过的圆心角分别为：

两粒子在磁场中运动的周期为

两粒子在磁场中运动的时间分别为

由于两个粒子在匀强磁场区域外部运动的时间相等，所以即为在磁场中运动的时间差即

得

（3）对从粒子源中点发射的粒子沿电场方向有

运动时间

出磁场时的速度

由于此粒子出磁场后做匀速直线运动故当其打在屏上时的速度

得

（4）N点发出的粒子出磁场时沿x轴方向的速度为

它在磁场外匀速运动的时间为

则其横坐标为

纵坐标为

综上，所求坐标为。

12．（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，平行板器件中，电场强度和磁感应强度相互垂直；边长为的正方体区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为，电量为的粒子（重力不计），从左端以某一速度沿虚线射入平行板器件后做直线运动。粒子自平行板器件出来后，从正方形的中心垂直进入磁场区域。求：

（1）粒子进入磁场区域时的速率；

（2）若粒子由正方形中心垂直飞出磁场区域，则粒子在正方体区域内运动的时间；

（3）若粒子能从正方形区域内飞出磁场区域，则磁感应强度大小的范围。

【答案】  （1）；（2）；（3）

【解析】（1）粒子射入平行板器件后做直线运动则

解得

（2）粒子由正方形中心垂直飞出磁场区域，根据题意分析，可得粒子在磁场中运动的轨道半径

粒子在正方体区域内运动的时间为四分之一周期，即

粒子在磁场中运动周期

解得

（3）在磁场中运动时洛伦兹力提供了向心力

若粒子能从正方形区域内飞出磁场区域，作出粒子的临界轨迹图如图所示，由几何关系可知粒子从正方形左侧离开磁场时运动的轨道半径

对应匀强磁场

粒子从正方形右侧离开磁场时

解得

对应匀强磁场

若粒子能从正方形区域内飞出磁场区域，则磁感应强度大小的范围为

（2022·湖南·统考高考真题）如图，两个定值电阻的阻值分别为和，直流电源的内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为，板长为，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为、带电量为的小球以初速度沿水平方向从电容器下板左侧边缘点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为，忽略空气阻力。

（1）求直流电源的电动势；

（2）求两极板间磁场的磁感应强度；

（3）在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小值。

【答案】  （1）；（2）；（3）

【解析】（1）小球在电磁场中作匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得

两端的电压

根据欧姆定律得

联立解得

（2）如图所示

设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系

解得

根据

解得

（3）由几何关系可知，射出磁场时，小球速度方向与水平方向夹角为，要使小球做直线运动，当小球所受电场力与小球重力在垂直小球速度方向的分力相等时，电场力最小，电场强度最小，可得

解得