人教版八年级上册 第12章全等三角形单元测试

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人教版八年级上册第十二章全等三角形单元测试
考试分值：120；考试时间：100分钟；
姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分




　
评卷人
得 分


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确
2．（3分）在△ABC和△DEF中，∠A=50°，∠B=70°，AB=3cm，∠D=50°，∠E=70°，EF=3cm．则△ABC与△DEF（　　）
A．一定全等 B．不一定全等 C．一定不全等 D．不确定
3．（3分）某同学不小心把一块玻璃打碎了，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么应带哪块去才能配好（　　）

A．① B．② C．③ D．任意一块
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，则以下命题不正确的个数是①BC+AD=AB；②E为CD中点；③∠AEB=90°；④S△ABE=S四边形ABCD；⑤BC=CE．（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（3分）下列画图的语句中，正确的为（　　）
A．画直线AB=10cm B．画射线OB=10cm
C．延长射线BA到C，使BA=BC D．画线段CD=2cm
6．（3分）长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）AD与BE是△ABC的角平分线，D，E分别在BC，AC上，若AD=AB，BE=BC，则∠C=（　　）

A．69° B．° C．° D．不能确定
8．（3分）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．（3分）已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（　　）

A．1 B．2 C．5 D．无法确定
10．（3分）如图，将一个等腰Rt△ABC对折，使∠A与∠B重合，展开后得折痕CD，再将∠A折叠，使C落在AB上的点F处，展开后，折痕AE交CD于点P，连接PF、EF，下列结论：①tan∠CAE=﹣1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上；④PC=EC；⑤S四边形DFEP=S△APF．正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　
评卷人
得 分


二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图：已知DE=AB，∠D=∠A，请你补充一个条件，使△ABC≌△DEF，并说明你判断的理由：　 　或　 　．

12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△ABD、△BCE均为等边三角形，DE、AB交于点F，AF=3，则△ACE的面积为　 　．

13．（3分）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC=　 　°．

14．（3分）如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：　 　，使△ABD≌△CEB．

15．（3分）如图，线段AC、BD相交于点0，OA=OC，OB=OD，那么AB、CD的位置关系是　 　．

16．（3分）如图，将一张直角三角形纸片对折，使点B、C重合，折痕为DE，连接DC，若AC=6cm，∠ACB=90°，∠B=30°，则△ADC的周长是　 　cm．

　
评卷人
得 分


三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD=2BF+DE．

18．（8分）如图，△ABC是等边三角形，AN=BM，BN，MC相交于O，CH⊥BN于点H，求证：2OH=OC．

19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC=BD，DF=FE．求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）AF⊥DE．

20．（8分）如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．
（1）试判断B′E与DC的位置关系；
（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．


21．（8分）如图所示，已知△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC于一点O，AC=AE，AD=AB，∠BAC=∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAD=20°，求∠CDE的度数．



22．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．
（1）求证：∠AFC=120°；
（2）若AD=6，CE=4，求AC的长？

23．（10分）探究
问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为　 　．
拓展
问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．
推广
问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．










24．（12分）有一座锥形小山，如图，要测量锥形小山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，量出DE的长为50m，你能求出锥形小山两端A、B的距离吗？

　

人教版八年级上册第十二章全等三角形单元测试
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确
【分析】根据SSS即可推出△A1B1C1≌△A2B2C2，判断①正确；根据“两角法”推知两个三角形相似，然后结合两个三角形的周长相等推出两三角形全等，即可判断②．
【解答】解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，
∴B1C1=B2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），∴①正确；
∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2
∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2
∴②正确；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和SSA不能判断两三角形全等．
　
2．（3分）在△ABC和△DEF中，∠A=50°，∠B=70°，AB=3cm，∠D=50°，∠E=70°，EF=3cm．则△ABC与△DEF（　　）
A．一定全等 B．不一定全等 C．一定不全等 D．不确定
【分析】已知两对角相等，则只要一组对应边相等即可推出两三角形全等．
已知AB=3，则AB对应的边为DE而非EF．所以不能推出两三角形全等．
【解答】解：∵在△ABC和△DEF中，∠A=50°，∠B=70°，∠D=50°，∠E=70°，EF=3cm，AB=3cm
若是AB=DE，则可以推出两三角形全等
此处是EF与AB相等，设DE=3，则DE=EF，则∠D=∠E
显然与已知相违背，所以此假设不成立
所以两三角形一定不全等．故选C．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定方法，要求学生能对常用的判定方法熟练掌握并能进行灵活运用．
　
3．（3分）某同学不小心把一块玻璃打碎了，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么应带哪块去才能配好（　　）

A．① B．② C．③ D．任意一块
【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】解：只有①中包含两角及夹边，符合ASA．故选A．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定即选哪块．
　
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，则以下命题不正确的个数是①BC+AD=AB；②E为CD中点；③∠AEB=90°；④S△ABE=S四边形ABCD；⑤BC=CE．（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠BAD=180°，又BE、AE都是角平分线，可以推出∠ABE+∠BAE=90°，从而得到∠AEB=90°，然后延长AE交BC的延长线于点F，先证明△ABE与△FBE全等，再根据全等三角形对应边相等得到AE=EF，然后证明△AED与△FEC全等，从而可以证明①②③④正确，AB与CD不一定相等，所以⑤不正确．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，
∴∠BAE=∠BAD，∠ABE=∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE=（∠BAD+∠ABC）=90°，
∴∠AEB=180°﹣（∠BAE+∠ABE）=180°﹣90°=90°，
故③小题正确；
延长AE交BC延长线于F，
∵∠AEB=90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
在△ABE与△FBE中，，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB=BF，AE=FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠F，
在△ADE与△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD=CF，
∴AB=BC+CF=BC+AD，故①小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴CE=DE，即点E为CD的中点，故②小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴S△ADE=S△FCE，
∴S四边形ABCD=S△ABF，
∵S△ABE=S△ABF，
∴S△ABE=S四边形ABCD，故④小题正确；
若AD=BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC=CE，
∵AD与BC不一定相等，
∴BC与CE不一定相等，故⑤小题错误．
综上所述，不正确的有⑤共1个．
故选：B．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明BE⊥AF并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高．
　
5．（3分）下列画图的语句中，正确的为（　　）
A．画直线AB=10cm B．画射线OB=10cm
C．延长射线BA到C，使BA=BC D．画线段CD=2cm
【分析】根据直线、射线、线段的性质即可一一判断．
【解答】解：A、错误．直线没有长度；
B、错误．射线没有长度；
C、错误．射线有无限延伸性，不需要延长；
D、正确．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题．
　
6．（3分）长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由围成两个三角形是全等三角形，可得两个三角形的周长相等，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可出结论．
【解答】解：∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等
∴x+y+z=，∵y+z＞x
∴可得x＜，
又因为x为最长边大于
∴x≥
综上可得≤x＜
故选：A．
【点评】本题考查三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，且最长边不能小于周长．
　
7．（3分）AD与BE是△ABC的角平分线，D，E分别在BC，AC上，若AD=AB，BE=BC，则∠C=（　　）

A．69° B．° C．° D．不能确定
【分析】根据AD=AB和三角形内角和、外角性质，寻找∠C和∠BAC的关系的表达式；再根据BE=BC，寻找∠C和∠BAC关系的另一种表达式，由此可得关于∠BAC的方程，求得的度数，代入即可求得∠C．
【解答】解：∵AD=AB，
∴∠ADB=（180°﹣∠BAC）=90°﹣∠BAC，
∴∠C=∠ADB﹣∠DAC=（180°﹣∠BAC）=90°﹣∠BAC﹣∠BAC=90°﹣∠BAC；
∵BE=BC，
∴∠C=∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=∠BAC+45°﹣∠BAC=45°+∠BAC，
∴90°﹣∠BAC=45°+∠BAC，
解得∠BAC=，
∴∠C=90°﹣=．
故选：C．

【点评】此题综合考查角平分线的定义、外角的性质、三角形的内角和和等边对等角等知识点，难度较大，注意寻找角之间的关系．
　
8．（3分）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】结合已知条件与全等三角形的判定方法进行思考，要综合运用判定方法求解．注意高的位置的讨论．
【解答】解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；
②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；
如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC，
同理：B′E′=A′C′，
∴BE=B′E′，AE=A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，
∴∠CAD=∠C′A′D′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
∴△BAC≌△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
故选：A．

【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；要根据选项提供的已知条件逐个分析，分析时看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA是不能判得三角形全等的．
　
9．（3分）已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（　　）

A．1 B．2 C．5 D．无法确定
【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，
∵∠EDF+∠FDC=90°，
∠GDC+∠FDC=90°，
∴∠EDF=∠GDC，
于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，
，
∴△DEF≌△DCG，
∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1，
所以，S△ADE=（AD×EF）÷2=（2×1）÷2=1．
故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形和面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求较高，是一道好题．
　
10．（3分）如图，将一个等腰Rt△ABC对折，使∠A与∠B重合，展开后得折痕CD，再将∠A折叠，使C落在AB上的点F处，展开后，折痕AE交CD于点P，连接PF、EF，下列结论：①tan∠CAE=﹣1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上；④PC=EC；⑤S四边形DFEP=S△APF．正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①正确．作EM∥AB交AC于M．设CM=CE=a，则ME=AM=a，根据tan∠CAE=即可判断．
②正确．根据△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF即可判断．
③正确．由△PEC≌△PEF得到∠PFA=∠PFE=45°，由此即可判断．
④正确．只要证明∠CPE=∠CEP=67.5°，
⑤错误．假设结论成立，推出矛盾即可．
【解答】解：①正确．作EM∥AB交AC于M．
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠CAE=∠BAE=∠CAB=22.5°，
∴∠MEA=∠EAB=22.5°，
∴∠CME=45°=∠CEM，设CM=CE=a，则ME=AM=a，
∴tan∠CAE===﹣1，故①正确，
②正确．△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF，故②正确，
③正确．∵△PEC≌△PEF，
∴∠PCE=∠PFE=45°，
∵∠EFA=∠ACE=90°，
∴∠PFA=∠PFE=45°，
∴若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上，故③正确．
④正确．∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°，∠CEP=90°﹣∠CAE=67.5°，
∴∠CPE=∠CEP，
∴CP=CE，故④正确，
⑤错误．∵△APC≌△APF，
∴S△APC=S△APF，
假设S△APF=S四边形DFPE，则S△APC=S四边形DFPE，
∴S△ACD=S△AEF，
∵S△ACD=S△ABC，S△AEF=S△AEC≠S△ABC，
∴矛盾，假设不成立．
故选：D．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、翻折变换，解题的关键是利用翻折不变性推出相等的线段、角，学会通过计算证明角相等，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
　
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图：已知DE=AB，∠D=∠A，请你补充一个条件，使△ABC≌△DEF，并说明你判断的理由：　∠B=∠E，ASA　或　∠ACB=∠DFE，AAS　．

【分析】题目现有的条件是：DE=AB，∠D=∠A，补充一个条件时，第三个条件可以是边，用SAS判断全等，也可以是角，用AAS或者ASA判断全等，所补充的条件一定要符合全等三角形的判定定理．
【解答】解：∵已知DE=AB，∠D=∠A，
∴根据ASA判断全等添加∠B=∠E；
根据AAS判断全等添加∠ACB=∠DFE；
根据SAS判断全等添加AF=CD．
故填空答案：∠B=∠E或∠ACB=∠DFE或AF=CD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
　
12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△ABD、△BCE均为等边三角形，DE、AB交于点F，AF=3，则△ACE的面积为　6　．

【分析】可过点E向AB引垂线，可证△ADF≌△GEF，即DF=EF，即为中点．
【解答】解：如图所示，过D作DG⊥AB于G，EK⊥AC交AC的延长线于K．
∵△ABD是等边三角形，DG⊥AB，
∴AG=BG=AB，由勾股定理得：DG=AG，
∵∠BAC=30°，
∴AC=AB，
∴AG=AC=AB，
∵由勾股定理得：BC=AC，
∴DG=BC=BE，
∵∠EBA=60°+30°=90°，
∴EB⊥AB．
∴DG∥EB．
∴∠BEF=∠GDF，∠DGB=∠EBF=90°，
在△DGF与△EBF中，
∵，
∴△ADF≌△GEF（AAS），
∴DF=EF，GF=BF，
∵AG=BG，AF=3，
∴FG=，AG=2，
∴AB=4AC=2，EC=BC=AC=6，
在Rt△CEK中，EK=EC=3，
∴S△ACE=•AC•EK=•2•3=6．
故答案为6．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线、构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
　
13．（3分）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC=　30　°．

【分析】过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，根据角平分线的性质得到DF=DM，根据邻补角的定义得到∠DAM=60°，根据角平分线的定义得到∠BAE=60°，推出DE平分∠AEB，根据等腰三角形的性质得到∠AEB=90°，得到∠DEF=45°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，
∵CD平分∠ACB，
∴DF=DM，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAM=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAM=∠BAE，
∴DM=DN，
∵DF⊥BC，
∴DE平分∠AEB，
∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠B=∠C=30°，
∴∠DCF=15°，
∴∠EDC=30°，
故答案为：30．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
　
14．（3分）如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：　BD=BE或AD=CE或BA=BC　，使△ABD≌△CEB．

【分析】要使△ABD≌△CEB，现有一对直角相等，根据全等三角形的判定方法进行分析，还需要一边对应相等，观察图形可得到答案．
【解答】解：已知∠B=∠B，∠BDA=∠BEC=90°，
则再添加一个边相等即可，
所以可添加BD=BE或AD=CE或BA=BC，
从而利用AAS或ASA来判定△ABD≌△CEB，
故答案为：BD=BE或AD=CE或BA=BC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
　
15．（3分）如图，线段AC、BD相交于点0，OA=OC，OB=OD，那么AB、CD的位置关系是　AB∥CD　．

【分析】由线段AC、BD相交于点0，OA=OC，OB=OD，易证得△AOB≌△COD，即可得∠A=∠C，则可判定AB∥CD．
【解答】解：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴∠A=∠C，
∴AB∥CD．
故答案为：AB∥CD．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
　
16．（3分）如图，将一张直角三角形纸片对折，使点B、C重合，折痕为DE，连接DC，若AC=6cm，∠ACB=90°，∠B=30°，则△ADC的周长是　18　cm．

【分析】根据折叠前后角相等可证△ADC是等边三角形求解．
【解答】解：根据折叠前后角相等可知，∠B=∠DCB=30°，∠ADC=∠ACD=60°，
∴AC=AD=DC=6，
∴ADC的周长是18cm．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
　
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD=2BF+DE．

【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，
∴∠E=45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；
（3）延长BF到G，使得FG=FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
∵∠GCA=∠DCA=45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
　
18．（8分）如图，△ABC是等边三角形，AN=BM，BN，MC相交于O，CH⊥BN于点H，求证：2OH=OC．

【分析】由三角形ABC为等边三角形得到AB=BC=AC，且三内角为60°，再由AN=BM，利用SAS得到△BAN≌△CBM，利用外角性质及全等三角形的对应角相等得到∠NOC=60°，在直角三角形OCH中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得证．
【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
在△BAN和△CBM中，
，
∴△BAN≌△CBM（SAS），
∴∠ABN=∠BCM，
∵∠ABN+∠OBC=60°，
∴∠BCM+∠OBC=60°，
∵∠NOC为△OBC的外角，
∴∠NOC=∠BCM+∠OBC=60°，
在Rt△OHC，∠HCO=30°，
则2OH=OC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
　
19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC=BD，DF=FE．求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）AF⊥DE．

【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠BCA=45°，再求出∠ACE=45°，从而得到∠B=∠ACE，然后利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AD=AE，然后利用等腰三角形三线合一的性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠BCA=45°，
∵EC⊥BC，
∴∠ACE=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）由（1）知，△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
等腰△ADE中，∵DF=FE，
∴AF⊥DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法以及等腰三角形的性质是解题的关键．
　
20．（8分）如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．
（1）试判断B′E与DC的位置关系；
（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．

【分析】（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，所以∠AB′E=∠B=∠D=90°，∴B′E∥DC；
（2）利用平行线的性质和全等三角形求解．
【解答】解：（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，
∠AB′E=∠B=∠D=90°，
∴B′E∥DC；

（2）∵折叠，
∴△ABE≌△AB′E，
∴∠AEB′=∠AEB，即∠AEB=∠BEB′，
∵B′E∥DC，∴∠BEB′=∠C=130°，
∴∠AEB=∠BEB′=65°．
【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，则△ABE≌△AB′E，利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解．
　
21．（8分）如图所示，已知△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC于一点O，AC=AE，AD=AB，∠BAC=∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAD=20°，求∠CDE的度数．

【分析】（1）根据题目中的条件，根据SAS可以证明结论成立；
（2）根据（1）中全等三角形的性质和三角形内角和的知识可以求得∠CDE的度数．
【解答】证明：（1）在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠E=∠C，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠BAD=20°，
∴∠CAE=∠BAD=20°，
∵∠E=∠C，∠AOE=∠DOC，
∴∠CAE=∠CDE，
∴∠CDE=20°．
【点评】本题考查全等三角形的性质与判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质解答．
　
22．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．
（1）求证：∠AFC=120°；
（2）若AD=6，CE=4，求AC的长？

【分析】（1）由题意∠BAC+∠BCA=120°，根据∠AFC=180﹣∠FAC﹣∠FCA=180﹣=120°，即可解决问题；
（2）在AC上截取AG=AD=6，连接FG．只要证明△ADF≌△AGF（SAS），推出∠AFD=∠AFG=60°，∠GFC=∠CFE=60°，再证明△CGF≌△CEF（ASA），推出CG=CE=4，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，
∴∠FAC=，∠FCA=，
∵∠B=60°
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∴∠AFC=180﹣∠FAC﹣∠FCA=180°﹣×120°=120°．
（2）在AC上截取AG=AD=6，连接FG．
∵AE、CD分别为△ABC的角平分线
∴∠FAC=∠FAD，∠FCA=∠FCE，
∵∠AFC=120°，
∴∠AFD=∠CFE=60°，
在△ADF和△AGF中
，
∴△ADF≌△AGF（SAS）
∴∠AFD=∠AFG=60°，
∴∠GFC=∠CFE=60°，
在△CGF和△CEF中
，
∴△CGF≌△CEF（ASA），
∴CG=CE=4，
∴AC=10．

【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
　
23．（10分）探究
问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为　1　．
拓展
问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．
推广
问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）利用直角三角形的性质“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”得到DE=DF；
（2）利用等腰三角形的性质和判定得出结论，从而判定△MEB≌△MFA（AAS），得到DE=DF．
（3）利用三角形的中位线和直角三角形的性质根据SAS证明△DHE≌△FGD可得．
【解答】解：（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC
∴△AEB和△AFB都是直角三角形
∵D是AB的中点
∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线
∴DE=AB，DF=AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴DE=DF
∵DE=kDF
∴k=1
（2）∵CB=CA
∴∠CBA=∠CAB
∵∠MAC=∠MB
∴∠CBA﹣∠MBC=∠CAB﹣∠MAC
即∠ABM=∠BAM
∴AM=BM
∵ME⊥BC，MF⊥AC
∴∠MEB=∠MFA=90
又∵∠MBE=∠MAF
∴△MEB≌△MFA（AAS）
∴BE=AF
∵D是AB的中点，即BD=AD
又∵∠DBE=∠DAF
∴△DBE≌△DAF（SAS）
∴DE=DF
（3）DE=DF
如图1，作AM的中点G，BM的中点H，

∵点 D是 边 AB的 中点
∴DG∥BM，DG=BM
同理可得：DH∥AM，DH=AM
∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点
∴在Rt△BEM中，HE=BM=BH
∴∠HBE=∠HEB
∠MHE=∠HBE+∠HEB=2∠MBC
又∵DG=BM，HE=BM
∴DG=HE
同理可得：DH=FG，∠MGF=2∠MAC
∵DG∥BM，DH∥GM
∴四边形DHMG是平行四边形
∴∠DGM=∠DHM
∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC
又∵∠MBC=∠MAC
∴∠MGF=∠MHE
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE
∴∠DGF=∠DHE
在△DHE与△FGD中
，
∴△DHE≌△FGD（SAS），
∴DE=DF
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质；在证明三角形全等时，用到的知识点比较多，用到直角三角形的性质、三角形的中位线、平行四边形的性质和判定．
　
24．（12分）有一座锥形小山，如图，要测量锥形小山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，量出DE的长为50m，你能求出锥形小山两端A、B的距离吗？

【分析】利用“SAS”证明△ABC≌△EDC，然后根据全等三角形的性质得AB=DE=50m．
【解答】解：在△ABC和△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=DE=50．
答：锥形小山两端A、B的距离为50m．
【点评】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．