2023年陕西省西安市灞桥七十九中中考数学模拟试卷（含解析）

2023年陕西省西安市灞桥七十九中中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  中国信息通信研究院发布预测称，年中国用户规模将超过人将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取株水稻苗，测得苗高单位：分别是：，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4.  下列汽车标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知，则下列式子不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得抛物线的解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在▱中，为边延长线上一点，连结、若的面积为，则▱的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图所示，在中，，边的垂直平分线交于点，垂足为，，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，已知点是线段的中点，且，延长至，使得，以，为边作矩形，连接并延长，交的延长线于点，连接，几何原本中利用该图解释了代数式的几何意义，以为直径作圆，交于点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11.  一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数为______ ．

12.  若二次根式有意义，则的取值范围是______ ．

13.  分解因式：        ．

14.  如图，点，是双曲线上的两点，连接，，过点作轴于点，交于点若，的面积为，点坐标为，则的值为        ．

15.  已知，，那么 ______ ．

16.  如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为______ ．

17.  如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接若点的速度是点的速度的倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，在中，，为边上一点，，连接．
用尺规作，射线交线段于点不写作法，保留作图痕迹；
若，，求的长．

20.  本小题分
为了解我校九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段：分；：分；：分；：分；：分统计如下：
学业考试体育成绩分数段统计表

根据上面提供的信息，回答下列问题：
在统计表中，______，______，并将统计图补充完整温馨提示：作图时别忘了毫米及以上的黑色签字笔涂黑；
甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数．”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？______填相应分数段的字母
如果把成绩在分以上含分定为优秀，那么我校今年名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少名？

21.  本小题分
某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高元，用元购买台灯的数量和用元购买手电筒的数量相等．
求购买一盏台灯、一个手电筒各需要多少元？
经商谈，商店给予该公司购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠如果公司需要手电筒的数量是台灯数量的倍还多个，且购买台灯和手电筒的总费用不超过元，那么公司最多可购买多少盏台灯？

22.  本小题分
如图，已知抛物线交轴于点，点在点的右侧，交轴于点，其顶点为，连接．
求点，，的坐标；
求点坐标；
若点为抛物线上一点，且，求点坐标．

23.  本小题分
如图，为的直径，点在上过点作交的于点，过点作交的延长线于点，连结．
求证：是的切线；
求证：；
若，，试求出的半径．

24.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．
求直线和反比例函数的表达式；
直接写的解集；
将直线向上平移，平移后的直线与反比例函数在第一象限的图象交于点，连接，，若的面积为，求点的坐标．

25.  本小题分
【温故知新】九班数学兴趣小组认真探究了课本第题：如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并说明理由．

小华很快找出∽，他的思路为：设正方形的边长，则，，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程；
小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于与中的比例线段来证明与它们都相似请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；
【拓展创新】
如图，在矩形中，为的中点，交于，连结
求证：∽；
设，，是否存在值，使得与相似若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
利用绝对值的定义进行解答即可．
本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：将数据用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：将这组数据从小到大重新排列为，，，，，，，，，
这组数据的众数为，中位数为，
故选：．
将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
选项选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项中的图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，，，
故选项A、、不符合题意；
和不一定相等，
不一定成立，
故选：．
根据等式的性质依次判断即可．
题目主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：不等式移项合并得：，
解得：，
如图所示：
，
故选：．
求出不等式的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
新抛物线顶点坐标为，
所得到的新的抛物线的解析式为．
故选：．
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．
 

8.【答案】 

【解析】解：设点到的距离为，
四边形是平行四边形，
，点到的距离为．
的面积为，
，即．
▱面积．
故选：．
首先根据平行四边形的性质和面积公式，平行四边形和的高相等，即可得出平行四边形的面积．
本题主要考查了平行四边形的性质，求解平行四边形中三角形的面积问题，一般会运用夹在平行线间的距离相等进行转化高．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，
，，
，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
．
故选：．
先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，则，即可得到．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，正确求出，是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

，
点在以为直径的圆上，
，
，
，
点是线段的中点，且，
，，
，
，
，
，
，垂直于，
，
，
，
，，
．
故选：．
连接，，证明，然后根据矩形性质和勾股定理即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，线段平分线的性质及勾股定理，解决本题的关键是得到．
 

11.【答案】八 

【解析】解：，
．
故答案为：八．
利用外角和除以一个外角的度数就是正多边形的边数．
本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，解得：．
故答案为：．
根据二次根式被开放数为非负数，分式的分母不为零求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开放数为非负数是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
先将化为，再利用平方差公式，最后利用完全平方公式．
本题主要考查了整式的因式分解，掌握整式的平方差公式、完全平方公式是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，的面积为，
的面积为，
所以，
函数图象在第二象限，
，

解得：．
故答案为：．
应用的几何意义及中线的性质求解．
本题考查了反比例函数中的几何意义，关键是利用的面积转化为三角形的面积．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
两边同时平方得：，
整理得：，
，
．
故答案为：．
由，，得出，进一步得到；再由原式的倒数的值求解即可．
本题考查了分式的值；熟练运用整体代入法、倒数法求分式的值是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由已知可得，，
三角形是等腰直角三角形，
，
，
又是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转，
在线段上运动，所以的运动轨迹也是线段，
当在点时和在点时分别确定的起点与终点，
的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，
当线段与垂直时，线段的值最小，

在中，，，
，
    又是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
由点的运动确定的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小．
本题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，由于和点都是定点，所以其中点也是定点，当，，共线时，此时最小，
的最小值为，
故答案为：．
连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于解直角三角形求出，即可解决问题．
本题考查矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，
原式


． 

【解析】原式去括号合并得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的加减化简求值，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：作图如图所示，

即为所作；
如图，

，，
，
，
，
是的外角，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
． 

【解析】根据“作一个角等于已知角”的步骤作图即可；
由等腰三角形的判定得出，进而得出，利用三角形外角的性质得出，继而证明≌，得出，即可求出的长．
本题考查了等腰三角形的性质，基本作图，掌握“作一个角等于已知角”，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：随机抽取部分学生的总人数为：，
，
，
如图：

故答案为：，．
总人数为人，
根据频率分布直方图知道中位数在分数段；
故答案为：．
成绩在分以上含分定为优秀，
、、三个分数段的学生均为优秀，
名．
答：该市九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数约有名．
根据频率，即可求得总数的值，进而根据公式求得的值；
根据中位数的定义即可求解；
利用总人数乘以对应的频率即可求解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图是解题的关键．
 

21.【答案】解：设购买该品牌一个手电筒需要元，则购买一个台灯需要元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以，
答：购买一个台灯需要元，购买一个手电筒需要元；
设公司购买台灯的个数为，则还需要购买手电筒的个数是，
由题意得：，
解得，
答：公司最多可购买个该品牌的台灯． 

【解析】设购买该品牌一个手电筒需要元，则购买一个台灯需要元，根据用元购买台灯的数量和用元购买手电筒的数量相等，即可列出方程；
设公司购买台灯的个数为，则还需要购买手电筒的个数是，根据购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠，购买台灯和手电筒的总费用不超过元，即可列出不等式．
本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是能够根据题意，找到等量关系和不等关系．
 

22.【答案】解：抛物线，
令，则，
，
令，则，
解得，或，
，；
抛物线．
顶点的坐标为；
过点作轴于，过点作轴于，

设，
，，
，，，，
轴，轴，，
，，
，
∽，
，
，
，
，解得或舍去，
点的坐标为 

【解析】利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点，，的坐标；
将抛物线化为顶点式即可得顶点的坐标；
设，过点作轴于，过点作轴于，证明∽，根据相似三角形的性质求出，即可得点坐标．
此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，抛物线顶点的确定，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
 

23.【答案】证明：，，
，
又是的半径，
是的切线；
证明：连结、、，

，
，
，
，，
，
，
是的直径，
，
四边形为的内接四边形，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
解：，，
在中，，
，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，，
，，
，
又，
，
，
的半径为． 

【解析】根据，得出，即可得证；
连结、、，证明∽，进而即可得证；
根据，得出，根据∽，得出，进而证明∽，得出，根据勾股定理得出，进而即可求解．
本题考查了切线的性质判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
 

24.【答案】解：反比例函数的图象经过，
，
反比例函数为，
在上，
，
，
，
一次函数的图象经过，，
，
解得，
直线为．

由图象可知，的解集是或；

设平移后的一次函数的解析式为，交轴于，连接，
令，则，
，
，
，
解得，
平移后的一次函数的解析式为，
解得或，
． 

【解析】利用待定系数法即可解决问题；
观察图象，的解集就是一次函数图象不在反比例函数图象的下方的的取值；
设平移后的一次函数的解析式为，交轴于，连接，根据同底等高的三角形面积相等得到，解方程求得的值，即可求得平移后的一次函数的解析式，与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组即可求得的坐标．
此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求解析式，函数与不等式的关系，平移的性质，三角形面积．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
 

25.【答案】证明：设正方形的边长，则，，
，，
，
四边形是正方形，
，
∽；
解：图中还有∽，∽，下面证明∽，
∽，
，，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，即，
，
∽；
存在值，使得与相似，理由如下：
由题意得：，，，
由知∽，
，即，
，
，
若∽，则，
，
此时方程无解，这种情况不存在；
若∽，则，即，
解得，
当时，与相似． 

【解析】设正方形的边长，可得，，即得∽；
由∽，是的中点，可得，再证，即知∽；
证明∽有，即可得，而，故∽；
由，，，∽，可得，，分两种情况：若∽，，方程无解，这种情况不存在；若∽，，解得．
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及其应用．