2023年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学七模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学七模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“全面落实双减”，把它折成正方体后，与“面”相对的字是(    )

A. 双
B. 减
C. 全
D. 实

3.  如图，点为内一点，过点的线段分别交，于点，，且，分别在，的垂直平分线上若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，是内一点，，、、、分别是、、、的中点，添加下列那个条件，能使得四边形成为正方形(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在矩形中，，，平分交于点，点、分别是、的中点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，是的直径，、是的弦，且，与交于点，连接，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知点、、在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点，若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  观察有理数、、在数轴上的位置并比较大小： ______

10.  用“”定义新运算：对于任意有理数、，当时，都有；当时，都有，那么 ______ ．

11.  一个正多边形每一个中心角都为，则这个正多边形共有______条对角线．

12.  已知点，在反比例函数为常数的图象上，且，则的取值范围是______．

13.  如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点为线段上一个动点，则的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共3小题，共16.0分）

14.  计算：．

15.  解方程：．

16.  如图，小超想要测量窗外的路灯的高度．星期天晚上，他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上，经过窗户的最高点的灯光落在地板处，经过窗户的最低点的灯光落在地板处，小超测得窗户距地面的高度，窗高，并测得，请根据以上测量数据，求窗外的路灯的高度．

四、解答题（本大题共10小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解一元二次方程：．

18.  本小题分
尺规作图：如图，在中，，在射线上求作一点，使得不写作法，保留作图痕迹

19.  本小题分
列方程解应用题．
某家具厂有名工人，加工某种有一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿分配多少工人加工桌面，多少工人加工桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套？

20.  本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中已作出的位似图形．
在图中标出与的位似中心点的位置，并写出点的坐标；
若以点为位似中心，请在图中给定的网格内画出的位似图形，且与的位似比为：．
 

21.  本小题分
为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分满分为分，根据获取的样本数据，制作了如图的统计图和图，根据相关信息，解答下列问题：
本次随机抽查的学生人数为______ ，在图中，“”的描述应为“分”，其中的值为______ ，中位数为______ ；
若该校九年级共有名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？
 

22.  本小题分
如图：电路图上有四个开关、、、和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．
 

任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是________；

任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．

23.  本小题分
函数的表达式各有不同，形如叫分段函数．
下面我们参照学习函数的过程与方法，对这个函数的图象和性质进行探究，请按要求解答问题：
绘制函数图象
列表：下面是与的几组对应值，其中______，______．

描点：根据表中的数据描点和；
连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
探究函数性质
根据函数图象写函数两条性质：
______；
______．
函数图象和性质的运用
若，则的取值范围是______．

24.  本小题分
如图，为的外接圆，为直径，的角平分线交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
求证：；
若，，求的半径．

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与轴交于点，且．
求抛物线的表达式；
矩形的边在轴负半轴上，边在第二象限，，，将矩形沿轴正方向平移得到矩形，直线与直线分别交抛物线于点、，在平移过程中，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出平移距离；若不存在，请说明理由．
 

26.  本小题分
【问题提出】
如图，在矩形中，，，点为的中点，点为矩形内以为直径的半圆上一点，则的最小值为______ ；
【问题探究】
如图，在中，为边上的高，且，为内一点，当时，求的最小值；
【问题解决】
如图，滨河学校餐厅门口有一块“疯狂四季”四边形菜园，，与相交于点，且，过点作直线的垂线交直线于点，即，米，赵老师准备在内种植当季蔬菜，边的中点为菜园出入口，为了种植方便，她打算在边上取点，并沿、修两条人行走道，要求人行走道的总长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义进行解答即可．
本题考查的是倒数的定义，即乘积是的两数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，
“面”与“实”是对面，
故选：．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，分别在，的垂直平分线上，
，，
，，
，，
，
，
故选：．
根据平角的概念求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
同理，，，
，，
四边形是平行四边形，

，
，
四边形是矩形，
，，
当时，，
此时四边形是正方形．
故选：．
由三角形中位线定理推出四边形是平行四边形，由推出四边形是矩形，当时，即可推出四边形是正方形．
本题考查中点四边形，三角形中位线定理，正方形的判定，关键是应用三角形中位线定理来解决问题．
 

5.【答案】 

【解析】解：把代入得，解得，
所以点坐标为，
所以关于，的二元一次方程组的解是．
故选：．
先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
点、分别是、的中点，
是的中位线，
．
故选：．
由矩形的性质得到，，，由角平分线的定义得到是等腰直角三角形，即可求出的长，由勾股定理求出的长，由三角形中位线定理即可求出的长．
本题考查矩形的性质，角平分线的定义，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，．

，，，
≌，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解法二：，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
如图，连接，证明≌，推出，由，推出，，由，推出，根据三角形内角和定理构建方程求出即可．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
为抛物线的顶点，
，
，
抛物线开口向下，
，，
当点和在直线的右侧，则；
当点和在直线的两侧，则，解得；
综上所述，的范围为．
故选：．
先求出抛物线的对称轴方程，再根据二次函数的性质，当点和在直线的右侧时；当点和在直线的两侧时，然分别解两个不等式即可得到的范围．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，
所以，．
．
故答案为：．
根据数轴表示数得到，，根据有理数的加减运算得出答案即可．
此题考查了数轴，掌握数轴上数的排列特点和有理数的加减运算的方法是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意知

，
故答案为：．
根据题意列出算式，再计算即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式，并熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
这个多边形的边数是，
这个正多边形一共有条对角线，
故答案为：．
根据正多边形的中心角和为和正多边形的中心角相等，列式计算即可求得边数，然后求得对角线条数即可．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为，此题难度不大．
 

12.【答案】 

【解析】解：由反比例函数为常数可知图象位于一、三象限，随的增大而减小．
点，在反比例函数为常数的图象上，且，
点，不在同一象限，则点在第一象限，点在第三象限．
，解得．
故答案为：．
由于的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解．
本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作射线，使，交轴于点，过点作于点，则，

，
要使取最小值，只要取最小值即可，
过点作于点，则的最小值为的长，
，，
，，
在中，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
过点作的角，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到的长，且这条线段的一个端点为，再利用垂线段最短，以及面积法，求出的最小值，从而得出的最小值．
本题考查最短路径问题，涉及解直角三角形，垂线段最短，面积法等，构造出是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
 

15.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
所以分式方程的解为． 

【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
 

16.【答案】解：，
．
，，
．
，，
．
设．
，，
，
∽，
，
，
解得．
经检验，是原方程的解且符合题意．
答：窗外的路灯的高度是． 

【解析】首先根据，可得，然后证明，再证明∽，可得，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，解决问题的关键是求出，根据相似三角形的判定方法证明∽．
 

17.【答案】解：，
，
则或，
解得：，． 

【解析】直接利用十字相乘法分解因式，进而得出答案．
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．
 

18.【答案】解：如图，点为所作．
 

【解析】作和的垂直平分线，它们相交于点，再以点为圆心，为半径作圆交射线于，然后根据圆内接四边形的性质可得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆内接四边形的性质．
 

19.【答案】解：设有名工人加工桌面，则加工桌腿的有名，根据题意得，
，
解得：，，
答：有名工人加工桌面，名工人加工桌腿． 

【解析】设有名工人加工桌面，根据题意可得加工桌腿的有名，再根据工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿，可列方程求解．
本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系列出方程是本题的关键．
 

20.【答案】解：作图如下；
；
作图如下：
 

【解析】对应点连线的交点为位似中心；
取的中点，的中点，连接．
本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】     

【解析】解：本次随机抽查的学生人数为人；
，即；
由图表得知，排名后第和第名同学得分均为分，
因此，中位数为．
故答案为：；；；
根据题意得：人．
答：估计该校理化生实验操作得满分的学生大约有人．
把各个分数段的人数相加，得出调查的总人数，再用整体减去其它分数段所占的百分比，即可得出的值；中位数需将得分从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数；
用总人数乘理化生实验操作得满分的学生所占的百分比即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图及相关计算．考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】解：；
画树状图如右图：

结果任意闭合其中两个开关的情况共有种，
其中能使小灯泡发光的情况有种，
故小灯泡发光的概率是． 

【解析】本题是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，主要考查概率的求法．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
根据概率公式直接填即可；
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
 

23.【答案】    函数最大值为  时随增大而增大，时随增大而减小  或 

【解析】解：将代入得，
，
将代入得，
，
故答案为：，．
图象如下：

由图象可得函数最大值为，时随增大而增大，时随增大而减小，
故答案为：函数最大值为；时随增大而增大，时随增大而减小．
将代入得，
将代入得，
由图象可得或时，．
故答案为：或．
分别将代入，代入求解．
结合图象可得函数最大值及函数的增减性．
将分别代入两函数求出的值，结合图象求解．
本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
 

24.【答案】证明：如图，连接，
与相切于点，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
解：如图，是的直径，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
设的半径为，则，
，且，
，
解得，
的半径为． 

【解析】连接，因为与相切于点，所以，由得，由平分得，则，可证明，则，所以；
由为的直径得，即可根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形是矩形，则，，由垂径定理得，设的半径为，根据勾股定理列方程求出的值即可．
此题重点考查圆的切线的性质定理、垂径定理、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：当时，，
解得或，
，，
，
，
，
，
，
，
解得，
抛物线的表达式为；
存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
，，
，，，
设将矩形沿轴正方向平移个单位得到矩形，
，，，，
直线与直线分别交抛物线于点、，
，，
当为平行四边形的对角线时，，
解得或；
当为平行四边形的对角线时，此时不成立；
当为平行四边形的对角线时，，
解得；
综上所述：的值为或或． 

【解析】先求出、的坐标，再由题意求出点坐标为，由此可得方程，求出的值即可；
设将矩形沿轴正方向平移个单位得到矩形，则，，，，，，根据平行四边形的对角线情况，分三种情况讨论，再由中点坐标公式列出方程求出的值即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，平行四边形的判定及性质，平移的性质，分类讨论是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：设的中点为点，当点、、共线时，最小，
的最小值为，
故答案为：；
，
点在的中垂线上运动，

作点关于的对称点，连接，
则的最小值为的长，
在中，由勾股定理得，，
的最小值为；
存在最小值，延长、交于点，作点关于的对称点，

，
是等边三角形，
，
，
，
，，
≌，
，
，
以为底边，在的下方作等腰，使，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接，交于，此时，
，
，
，
在中，，
的最小值为米．
根据点到直线的最短距离即可得出答案；
首先确定点的运动路径，再根据两点之间，线段最短可得答案；
延长、交于点，作点关于的对称点，利用说明≌，得，以为底边，在的下方作等腰，使，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于，此时．
本题是圆的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直线与圆的位置关系等知识，确定动点的运动路径是解题的关键．