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    2023年中考数学考前信息必刷卷01

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    这是一份2023年中考数学考前信息必刷卷01,共38页。

    2023年中考数学考前信息必刷卷01
    数 学(山西专用)
    (时间120分钟,满分120分)
    中考新动向
    2023年山西中考数学试卷结构和内容基本没变!2023年数学试卷满分120分,共23题:10(选择题)+5(填空题)+8(解答题),根据最新考试信息以及适应考试可以发现:在知识结构方面,考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性,要关注学科主干知识,对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查;从考查内容上看,体现数学课程标准对数学教学要求,落实“一核*六维*四手段”理念,对课标内知识的考查覆盖较为全面。从知识点的分布看,实数的有关概念及其运算,代数式的运算及化简求值,方程不等式组的概念在选择题和填空中的比重较大,在综合题的考察方面,题型较为全面,知识点覆盖面广,主要包括方程不等式的解法、代数式的化简求值、几何的证明与计算,统计中数据的收集和处理、概率的计算,解三角形、列方程解应用题,尺规作图以及函数的考查等。阅读理解题更加注重信息获取和理解掌握。最后的压轴题多为动手操作型,创新性明显。
    考题大预测
    通过对考试信息的梳理以及教学研究成果,本卷重点题型预测方向如下:
    中考试卷侧重增加文化的考查,加强问题背景的设置,加大考查的考生的综合能力.同时应加强学生的作图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力,注重数学思维方法的训练.对于阅读理解创新型试题要增加思维的含量,重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力, 选择题前几道 涉及实数的有关概念、科学计数法、三视图、平行线的性质、轴对称中心对称图形,第6-9题主要是概率、函数与不等式的联系、跨学科整合、圆中阴影部分面积的计算、第10题是二次函数的性质综合题;填空题5道,主要涉及二次根式运算、、列方程、圆的性质、15题小压轴,主要是四边形的翻折平移旋转后的计算。解答题第16是基本计算,主要是数与式的计算、解方程与不等式,第17题是四边形的简单证明;第18题考查频数分布表的意义和制作方法,中位数、众数的意义、树状图求概率;第19题是方程不等式函数的生活问题,第20题考查了锐角三角函数的应用,第21题是阅读理解题,解题关键是读懂题意,将新知识转化,把新方法应用;第22题主要考查了特殊四边形、特殊三角形的性质和图形的类比探究,综合性较强,属于中考压轴题.第23题主要考查了二次函数的综合题,涉及二次函数的图象和性质,待定系数法,线段和角之间的关系,用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    第Ⅰ卷
    一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
    1.2022年5月1日上午7时,太原市主城区的气温为零上8℃,记作+8℃.此时吕梁山海拔最高点的气温为零下3℃,可记作(    )
    A. +3℃ B.+5℃ C.-3℃ D.-5℃
    2.将一个正方体截一个角,得到如图所示的几何体,则这个几何体的俯视图是(  )

    A. B.
    C. D.
    3.2023年《政府工作报告》提出,“义务教育优质均衡发展”.根据预算报告,支持学前教育发展资金安排250亿元、增加20亿元,扩大普惠性教育资源供给.其中250亿元用科学记数法表示为(    )
    A.元 B.元 C.元 D.元
    4.下列运算结果正确的是(  )
    A. B.
    C. D.
    5.将分别标有“最”、“美”、“山”、“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中,这些球除汉字不同外其他完全相同,每次摸球前先搅匀,随机摸出一球,不放回,再随机摸出一球,两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的概率是(  )
    A. B. C. D.

    6.如图,将一副三角尺按图中所示位置摆放,点在上,,,,,.则的度数是(  )

    A. B. C. D.
    7.甲、乙两种物质溶解度曲线如图所示。下列说法正确的是

    A.a2℃时,在100g水中加入30g甲,形成饱和溶液
    B.甲的溶解度受温度影响比乙小
    C.甲的溶解度大于乙的溶解度;
    D.a1℃时,甲、乙的溶解度相同
    8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=52°,以点C为圆心,CA长为半径作弧交AB于点D,分别以点A和点D为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于点E,作直线CE交AB于点F,则∠ACF的度数是(  )

    A.24° B.26° C.14° D.18°
    9. 如图,扇形AOB中,∠AOB=90°,点C,D分别在OA,AB上,连接BC,CD,点D,O关于直线BC对称,AD的长为π,则图中阴影部分的面积为(  )

    A.6π−33 B.6π−63 C.12π−932 D.6π−334
    10.已知二次函数的部分图象如图所示,对称轴为直线,有以下结论:①;②若t为任意实数,则有;③当图象经过点时,方程的两根为,(),则,其中,正确结论的个数是(    )

    A.0 B.1 C.2 D.3
    第Ⅱ卷
    二、 填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分,请把答案填在答题卡相应题号的横线上)
    11.计算的结果是__.
    12.如图:的顶点、的坐标分别是,,,,函数的图像经过点,则的值为____________.

    13.如图,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,D是上一点,连接CD并延长至点E,使得AE=AD.若∠BDC=20°,则∠E=______°.

    14.山西省被列入《世界遗产名录》的世界文化遗产有:平遥古城、云冈石窟、五台山,小明计划利用5·1小长假和爸爸妈妈一起进行研学旅行,他在携程网上进行全家三口人的门票预订.得知平遥古城门票价格比云冈石窟门票价格多10元,五台山门票价格比平遥古城门票价格多5元,订票一共花了1155元.设云冈石窟的门票价格为x元,则列方程为__________.
    15.如图,在正方形ABCD中,AD=10,点E在BC边上(不与端点重合),BF⊥AE于点F,连接DF,当△ADF是等腰三角形时,EC的长等于   .

    三、 解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    16.(10分)(1)计算:.
    (2)对于试题:“先化简,再求值:,其中.”某同学写出了如下解答:
    解:[来源:Zxxk.Com]

    当时,原式.
    她的解答正确吗?如果正确,写出每步依据,如不正确,请你写出正确解答.
    17. (7分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AD∥BC.
    (1)在图中,用尺规作线段BD的垂直平分线EF,分别交BD、BC于点E、F.(保留作图痕迹,不写作法)
    (2)连接DF,证明四边形ABFD为菱形.

    18. (9分)文明是一座城市的幸福底色,是一座城市的内在气质.吕梁市正创建“第七届全国文明城市”,某校为了提高学生的创文意识,举办了“创文知识”测评活动.现从七年级、八年级中各随机抽取20名学生的测评成绩(满分50分,45分及45分以上为优秀,40分及40分以上为合格)进行整理、描述和分析,给出了下面的部分信息.
    七年级20名学生的测评成绩(单位:分)分别为:
    44 50 40 40 50 45 45 45 49 45
    44 42 49 42 49 49 45 42 38 42
    八年级20名学生的测评成绩统计图如图所示:

    两个年级抽取的学生的测评成绩的平均数、众数、中位数如表:
    年级
    平均数
    众数
    中位数
    七年级
    44.75
    a
    45
    八年级
    44.9
    b
    c

    请你根据上面提供的所有信息,解答下列问题:
    (1)如表中的a=    ,b=    ,c=    ;
    (2)已知该校七年级、八年级共800名学生参加了此次测评活动,通过计算,请你估计此次测评活动成绩合格的学生人数;
    (3)从样本中测评成绩为满分的七年级、八年级中随机抽取两名学生,用画树状图或者列表的方法求两人在同一年级的概率.
    19.(8分)如图1,在山西运城永济的中条山麓有一座千年古寺,这座古寺内有一座千年古塔“多宝佛塔”,“多宝佛塔”有将近1500年的历史,比西安大雁塔早130年。九年级数学兴趣小组开展了测量“多宝佛塔”的高度”的实践活动,具体过程如下:
    方案设计:如图2,“多宝佛塔”CD垂直于地面,在地面上选取A,B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数(A,B,D在同一条直线上)
    数据收集:通过实地测量:地面上A,B两点的距离为102m,,∠CBD=63.4°
    问题解决:求“多宝佛塔”CD的高度,参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,,sin63.4°≈0.89,cos63.4°≈0.45,tan63.4°≈2.00,根据上述方案及数据,请你完成求解过程.
    图1 图2
    20.(8分)为加快复工复产,某企业需运输一批物资.据调查得知,2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱;5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱.
    (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资;
    (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资,每辆大货车一次需费用5000元,每辆小货车一次需费用3000元.若运输物资不少于1500箱,且总费用小于54000元.请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少.最少费用是多少?
    21.(8分·)【阅读材料】说明代数式 的几何意义,并求它的最小值.
    解:如图,建立平面直角坐标系,点是x轴上一点,则可以看成点P与点的距离,可以看成点P与点的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和,它的最小值就是求PA+PB的最小值.设点A关于x轴的对称点为A′,则,因此,求的最小值,只需求的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以的最小值为线段的长度.为此,构造直角三角形,因为,,所以,即原式的最小值为.
    根据以上阅读材料,解答下列问题:

    【基础训练】(1)代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点B __________的距离之和;(填写点B的坐标)
    【能力提升】(2)求代数式的最小值为__________;
    【拓展升华】(3)如图,在等腰直角中,,点M,N分别为,上的动点,且,.当的值最小时,求的长.
    22.(12分)如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°,得到线段CQ,连接BP,DQ
    (1)如图a,求证:△BCP≌△DCQ;
    (2)如图,延长BP交直线DQ于点E.
    ①如图b,求证:BE⊥DQ;
    ②如图c,若△BCP为等边三角形,判断△DEP的形状,并说明理由,
    (3)填空:若正方形ABCD的边长为10,DE=2,PB=PC,则线段PB的长为 ___ .

    23. (13分)综合与探究
    如图1,经过原点的抛物线与轴的另一个交点为,直线与抛物线交于,两点,已知点的横坐标为1,点为抛物线上一动点.

    (1)求出,两点的坐标及直线的函数表达式.
    (2)如图2,若点是直线上方抛物线上的一个动点,直线交直线于点,设点的横坐标为,求的最大值.
    (3)如图3,连接,抛物线上是否存在一点,使得,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.




















    2023年中考数学考前信息必刷卷01
    数 学(山西专用)(解析版)
    (时间120分钟,满分120分)
    中考新动向
    2023年山西中考数学试卷结构和内容基本没变!2023年数学试卷满分120分,共23题:10(选择题)+5(填空题)+8(解答题),根据最新考试信息以及适应考试可以发现:在知识结构方面,考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性,要关注学科主干知识,对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查;从考查内容上看,体现数学课程标准对数学教学要求,落实“一核*六维*四手段”理念,对课标内知识的考查覆盖较为全面。从知识点的分布看,实数的有关概念及其运算,代数式的运算及化简求值,方程不等式组的概念在选择题和填空中的比重较大,在综合题的考察方面,题型较为全面,知识点覆盖面广,主要包括方程不等式的解法、代数式的化简求值、几何的证明与计算,统计中数据的收集和处理、概率的计算,解三角形、列方程解应用题,尺规作图以及函数的考查等。阅读理解题更加注重信息获取和理解掌握。最后的压轴题多为动手操作型,创新性明显。
    考题大预测
    通过对考试信息的梳理以及教学研究成果,本卷重点题型预测方向如下:
    中考试卷侧重增加文化的考查,加强问题背景的设置,加大考查的考生的综合能力.同时应加强学生的作图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力,注重数学思维方法的训练.对于阅读理解创新型试题要增加思维的含量,重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力, 选择题前几道 涉及实数的有关概念、科学计数法、三视图、平行线的性质、轴对称中心对称图形,第6-9题主要是概率、函数与不等式的联系、跨学科整合、圆中阴影部分面积的计算、第10题是二次函数的性质综合题;填空题5道,主要涉及二次根式运算、、列方程、圆的性质、15题小压轴,主要是四边形的翻折平移旋转后的计算。解答题第16是基本计算,主要是数与式的计算、解方程与不等式,第17题是四边形的简单证明;第18题考查频数分布表的意义和制作方法,中位数、众数的意义、树状图求概率;第19题是方程不等式函数的生活问题,第20题考查了锐角三角函数的应用,第21题是阅读理解题,解题关键是读懂题意,将新知识转化,把新方法应用;第22题主要考查了特殊四边形、特殊三角形的性质和图形的类比探究,综合性较强,属于中考压轴题.第23题主要考查了二次函数的综合题,涉及二次函数的图象和性质,待定系数法,线段和角之间的关系,用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    第Ⅰ卷
    一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
    1.2022年5月1日上午7时,太原市主城区的气温为零上8℃,记作+8℃.此时吕梁山海拔最高点的气温为零下3℃,可记作(    )
    B. +3℃ B.+5℃ C.-3℃ D.-5℃
    1. 答案C
    【分析】根据正负数来表示具有意义相反的两种量:零上气温就记为正,则气温零下记为负,直接得出结论即可.
    【详解】解:∵零上8℃,记作+8℃,
    ∴零下3℃,记作-3℃,
    故选:C.
    【点睛】本题考查正负数的意义,解题的关键是掌握正数与负数表示意义相反的两种量,看清规定哪一个为正,则和它意义相反的就为负.
    2.将一个正方体截一个角,得到如图所示的几何体,则这个几何体的俯视图是(  )

    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【分析】找到从上面看所得到的图形即可,注意看见的棱用实线表示.
    【详解】解:从上面看可得到一个正方形,正方形里面有一条撇向的实线.
    故选:C.
    【点睛】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.
    3.2023年《政府工作报告》提出,“义务教育优质均衡发展”.根据预算报告,支持学前教育发展资金安排250亿元、增加20亿元,扩大普惠性教育资源供给.其中250亿元用科学记数法表示为(    )
    A.元 B.元 C.元 D.元
    【答案】D
    【分析】科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.
    【详解】解:250亿元用科学记数法表示为.
    故选:D.
    【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
    4.下列运算结果正确的是(  )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【分析】根据合并同类项、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可得.
    【详解】解:A、,则此项错误,不符合题意;
    B、,则此项错误,不符合题意;
    C、,则此项正确,符合题意;
    D、,则此项错误,不符合题意;
    故选:C.
    5.将分别标有“最”、“美”、“山”、“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中,这些球除汉字不同外其他完全相同,每次摸球前先搅匀,随机摸出一球,不放回,再随机摸出一球,两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的概率是(  )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【分析】画树状图,列出所有情况,根据概率公式计算即可.
    【详解】解:由题意得,组成“山西”有两种情况,总共有12种情况,
    最 美 山 西
    美 山 西 最 山 西 最 美 西 最 美 山
    ∴组成“山西”的概率为:






    故选A.
    【点睛】本题主要考查概率的计算,正确画出树状图及掌握概率计算公式是解决本题的关键.
    6.如图,将一副三角尺按图中所示位置摆放,点在上,,,,,.则的度数是(  )

    A. B. C. D.
    【答案】C
    【分析】利用三角板的度数可得,,由平行线的性质定理可得,利用三角形外角的性质可得结果.
    【详解】解:如图,

    ,,

    ,,




    故选:C.
    【点睛】本题主要考查了平行线的性质定理和外角的性质,求出,的度数是解本题的关键.
    7.甲、乙两种物质溶解度曲线如图所示。下列说法正确的是

    A.a2℃时,在100g水中加入30g甲,形成饱和溶液
    B.甲的溶解度受温度影响比乙小
    C.甲的溶解度大于乙的溶解度;
    D.a1℃时,甲、乙的溶解度相同
    答案.D
    【详解】A、a2℃时,甲的溶解度为40g,100g水中最多能溶解40g甲,在100g水中加入30g甲,形成不饱和溶液,错误;
    B、图中可知,甲的溶解度受温度影响比乙大,错误;
    C、小于a1时甲的溶解度小于乙的溶解度,错误
    D、a1℃时,甲、乙的溶解度相同,正确。
    故选:D。
    8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=52°,以点C为圆心,CA长为半径作弧交AB于点D,分别以点A和点D为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于点E,作直线CE交AB于点F,则∠ACF的度数是(  )

    A.24° B.26° C.14° D.18°
    【答案】C
    【分析】由尺规作图可知,CF⊥AB,则∠CFA=90°,由AB=AC,可得∠ACB=∠B=52°,即可得∠CAB=76°,在△ACF中,结合三角形内角和定理即可得出答案.
    【详解】解:由尺规作图可知,CF⊥AB,
    ∴∠CFA=90°,
    ∵AB=AC,∠B=52°,
    ∴∠ACB=∠B=52°,
    ∴∠CAB=76°,
    ∴∠ACF=180°﹣∠CFA﹣∠CAB=14°.
    故选:C.
    【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理,熟练掌握垂线的基本作图方法是解答本题的关键.
    9. 如图,扇形AOB中,∠AOB=90°,点C,D分别在OA,AB上,连接BC,CD,点D,O关于直线BC对称,AD的长为π,则图中阴影部分的面积为(  )

    A.6π−33 B.6π−63 C.12π−932 D.6π−334
    【答案】A.
    【分析】连接BD、OD,交BC与E,根据对称求出BD=OB,求出△DOB是等边三角形,求出∠DOB=60°,求出∠AOD=30°根据弧长公式求出OB=6,根据阴影部分的面积=S扇形BOD﹣S△BOE求得即可.
    【解答】解:连接BD、OD,交BC与E,
    由题意可知,BD=BO,
    ∵OD=OB,
    ∴OD=OB=DB,
    ∴∠BOD=60°,
    ∵∠AOB=90°,
    ∴∠AOD=30°,
    ∵AD的长为π,
    ∴30πr180=π,
    ∴r=6,
    ∴OB=6,
    ∴OE=12OB=3,BE=32=33,
    ∴阴影部分的面积=S扇形BOD+S△COE﹣S△BOE=60π×62360+12×3×3−12×3×33=6π−33.
    故选:A.

    【点评】本题考查了轴对称的性质,扇形面积的计算,弧长公式的计算,等边三角形的性质和判定,解直角三角形等知识点,能综合运用知识点进行计算是解此题的关键.
    10.已知二次函数的部分图象如图所示,对称轴为直线,有以下结论:①;②若t为任意实数,则有;③当图象经过点时,方程的两根为,(),则,其中,正确结论的个数是(    )

    A.0 B.1 C.2 D.3
    【答案】D
    【分析】利用抛物线开口方向得到a>0,利用抛物线的对称轴方程得到,利用抛物线与y轴的交点位置得到c<0,则可对①进行判断;利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断;由于二次函数与直线y=3的一个交点为(1,3),利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为(-3,3),从而得到x1=-3,x2=1,则可对③进行判断.
    【详解】∵抛物线开口向上,
    ∴,
    ∵抛物线的对称轴为直线,即,
    ∴,
    ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
    ∴,
    ∴,所以①正确;
    ∵时,y有最小值,
    ∴(t为任意实数),即,所以②正确;
    ∵图象经过点时,代入解析式可得,
    方程可化为,消a可得方程的两根为,,
    ∵抛物线的对称轴为直线,
    ∴二次函数与直线的另一个交点为,
    ,代入可得,
    所以③正确.
    综上所述,正确的个数是3.
    故选D.
    【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时,对称轴在y轴左;当a与b异号时,对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c).
    第Ⅱ卷
    四、 填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分,请把答案填在答题卡相应题号的横线上)
    11.计算的结果是__.
    【答案】
    【分析】根据二次根式的性质进行运算即可.
    【详解】解:原式,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了二次根式的运算,先根据二次根式的性质将式子中的根式化简,再进行计算是解答本题的关键.
    12.如图:的顶点、的坐标分别是,,,,函数的图像经过点,则的值为____________.

    【答案】
    【分析】过点作轴于,如图,先利用勾股定理得到,再利用等腰三角形的性质可得,再判断为等腰直角三角形得到,则可计算出,所以,然后利用反比例函数图像上点的坐标特征即可求出的值.
    【详解】解:过点作轴,垂足为,
    ∵点、的坐标分别是,,
    ∴,
    在中,,
    又∵,
    ∴,
    ∴,
    又∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    将点的坐标代入得:.
    故答案为:.

    【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征:反比例函数(为常数,)的图像是双曲线,图像上的点的横坐标的积是定值,即.也考查了反比例函数的性质,勾股定理,锐角三角函数,等腰三角形的判定和性质.理解和掌握反比例函数的性质和图像上点的坐标特征是解题的关键.

    13.如图,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,D是上一点,连接CD并延长至点E,使得AE=AD.若∠BDC=20°,则∠E=______°.

    【答案】80
    【分析】由同弧的圆周角相等得出∠BAC=∠BDC ,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠ABC=∠ACB的度数,由圆内接四边形性质得出∠ADC的度数,由补角的性质得出∠ADE的值,进而得出∠E的度数.
    【详解】解:∵∠BDC=20°,
    ∴∠BAC=20°,
    ∵AB=AC,
    ∴∠ABC=∠ACB=80°,
    ∴∠ADC=180°-80°=100°,
    ∵AE=AD,
    ∴∠E=∠ADE=180°-100°=80°,
    故答案为:80
    【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等,圆内接四边形定理,等腰三角形性质和三角形内角和定理,熟练各性质定理是解题的关键.
    14.山西省被列入《世界遗产名录》的世界文化遗产有:平遥古城、云冈石窟、五台山,小明计划利用5·1小长假和爸爸妈妈一起进行研学旅行,他在携程网上进行全家三口人的门票预订.得知平遥古城门票价格比云冈石窟门票价格多10元,五台山门票价格比平遥古城门票价格多5元,订票一共花了1155元.设云冈石窟的门票价格为x元,则列方程为__________.
    答案
    【解答】解:设云冈石窟的门票价格为x元,由题意得:

    故答案为:.
    【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,熟练找出等量关系是关键。
    15.如图,在正方形ABCD中,AD=10,点E在BC边上(不与端点重合),BF⊥AE于点F,连接DF,当△ADF是等腰三角形时,EC的长等于   .

    思路引领:根据正方形的性质分两种情况:①当DF=AD=10时,过点D作DG⊥AE于点G,证明△ABF≌△ADG(AAS),可得BF=AG,得AF=2BF,证明△ABF∽△BEF,求出BE;②当DF=AF时,根据正方形的性质证明点F在AC与BD的交点上,可得点E与点C重合,进而可以解决问题.
    解:在正方形ABCD中,AB=AD=10,
    ∵BF⊥AE,
    ∴AB>AF,
    ∴AD>AF,
    ∴当△ADF是等腰三角形时,分两种情况:
    ①当DF=AD=10时,
    如图,过点D作DG⊥AE于点G,
    ∵DF=AD,
    ∴AG=FG,

    ∵BF⊥AE,
    ∴∠DGA=∠AFB=90°,
    ∵∠ADG=90°﹣∠DAG=∠ABF,
    ∵AB=AD,
    ∴△ABF≌△ADG(AAS),
    ∴BF=AG,
    ∴AG=FG=BF,
    ∴AF=2BF,
    ∵AF2+BF2=AB2,
    ∴5BF2=100,
    ∴BF=25,
    ∵∠AFB=EFB=90°,∠ABE=90°,
    ∴∠ABF=90°﹣∠EBF=∠BEF,
    ∴△ABF∽△BEF,
    ∴BFEF=AFBF=ABBE,
    ∴25EF=2=10BE,
    ∴BE=5,
    ∴CE=BC﹣BE=5;
    ②当DF=AF时,
    ∵BF⊥AE,四边形ABCD是正方形,
    ∴点F在AC与BD的交点上,
    ∴点E与点C重合,
    ∴此时CE=0,
    ∴当△ADF是等腰三角形时,EC的长等于5.
    故答案为:5.
    总结提升:本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质,解题的关键是观察图形找到相似模型.
    五、 解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    16.(10分)(1)计算:.
    (2)对于试题:“先化简,再求值:,其中.”某同学写出了如下解答:
    解:[来源:Zxxk.Com]

    当时,原式.
    她的解答正确吗?如果正确,写出每步依据,如不正确,请你写出正确解答.
    (1)【答案】
    【分析】计算绝对值,特殊角的三角函数值,负整数指数幂,零指数幂,再合并即可.
    【详解】解:


    【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值,负整数指数幂的含义,实数的混合运算,掌握“实数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键.
    (2)分析:本题是一道与分式运算有关的探索解题过程正误题,观察所给出的解题过程,前两步的通分是正确的,但到第三步出现了错误,错误的原因是把分式的分母去掉了,违背分式加减运算中通分的法则.
    答案:不正确,正确解答过程是:
    =.
    当时,原式=.
    点睛:本题主要考查分式对分式运算的理解和掌握,分式的运算不能等同于解方程中的去分母.
    19. (7分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AD∥BC.
    (1)在图中,用尺规作线段BD的垂直平分线EF,分别交BD、BC于点E、F.(保留作图痕迹,不写作法)
    (2)连接DF,证明四边形ABFD为菱形.

    【解答】解:(1)如图:

    (2)证明:如图,连接DF,
    ∵AD∥BC,∴∠ADE=∠EBF,
    ∵AF垂直平分BD,∴BE=DE.
    在△ADE和△FBE中,,
    ∴△ADE≌△FBE(ASA),
    ∴AE=EF,
    ∴BD与AF互相垂直且平分,
    ∴四边形ABFD为菱形.

    【点睛】本题考查作图线段垂直平分线的作法,全等三角形判定,菱形的判定等知识点.掌握垂直平分线的性质是解题的关键.
    20. (9分)文明是一座城市的幸福底色,是一座城市的内在气质.吕梁市正创建“第七届全国文明城市”,某校为了提高学生的创文意识,举办了“创文知识”测评活动.现从七年级、八年级中各随机抽取20名学生的测评成绩(满分50分,45分及45分以上为优秀,40分及40分以上为合格)进行整理、描述和分析,给出了下面的部分信息.
    七年级20名学生的测评成绩(单位:分)分别为:
    44 50 40 40 50 45 45 45 49 45
    44 42 49 42 49 49 45 42 38 42
    八年级20名学生的测评成绩统计图如图所示:

    两个年级抽取的学生的测评成绩的平均数、众数、中位数如表:
    年级
    平均数
    众数
    中位数
    七年级
    44.75
    a
    45
    八年级
    44.9
    b
    c

    请你根据上面提供的所有信息,解答下列问题:
    (1)如表中的a=    ,b=    ,c=    ;
    (2)已知该校七年级、八年级共800名学生参加了此次测评活动,通过计算,请你估计此次测评活动成绩合格的学生人数;
    (3)从样本中测评成绩为满分的七年级、八年级中随机抽取两名学生,用画树状图或者列表的方法求两人在同一年级的概率.
    【答案】(1)45,47,46
    (2)740人
    (3)13
    【解析】
    【分析】
    (1)根据众数和中位数的定义进行求解即可;
    (2)用七、八年级的总人数乘以测评活动成绩合格的学生所占的百分比即可;
    (3)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数,找出符合条件的情况数,然后根据概率公式即可得出答案.
    (1)
    解:∵45分出现了次数最多,出现了5次,
    ∴七年级众数是45分,
    ∴a=45,
    ∵八年级47分出现了5次,出现的次数最多,
    则b=47;
    把八年级的20名学生的测评成绩从小到大排列,中位数是第10、11个数的平均数,
    则c=45+472=46(分).
    故答案为:45,47,46;
    (2)
    根据题意得:
    800×19+1840=740(人),
    答:估计此次测评活动成绩合格的学生人数有740人;
    (3)
    根据题意画图如下:

    共有12种等可能的情况数,其中两人在同一年级的有4种,
    则两人在同一年级的概率是412=13.
    【点睛】
    此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
    19.(8分)如图1,在山西运城永济的中条山麓有一座千年古寺,这座古寺内有一座千年古塔“多宝佛塔”,“多宝佛塔”有将近1500年的历史,比西安大雁塔早130年。九年级数学兴趣小组开展了测量“多宝佛塔”的高度”的实践活动,具体过程如下:
    方案设计:如图2,“多宝佛塔”CD垂直于地面,在地面上选取A,B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数(A,B,D在同一条直线上)
    数据收集:通过实地测量:地面上A,B两点的距离为102m,,∠CBD=63.4°
    问题解决:求“多宝佛塔”CD的高度,参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,,sin63.4°≈0.89,cos63.4°≈0.45,tan63.4°≈2.00,根据上述方案及数据,请你完成求解过程.
    图1 图2
    【答案】55米
    【分析】设CD=x米,用∠A,∠B的正切和x的式子分别表示AD和BD,根据AD+BD=102列方程解答.
    【详解】设CD=x米,
    在Rt△ACD中,,
    ∴tan∠CAD=CDAD则AD=CDtan∠CAD=xtan37°,
    在Rt△BCD中,∠CBD=63.4°,
    ∴tan∠CBD=CDBD,则BD=CDtan∠CBD=xtan63.4°,
    ∵AD+BD=AB,
    ∴xtan37°+xtan63.4°=102,
    解得:x=102×tan37°×tan63.4°tan37°+tan63.4°≈102×0.75×20.75+2=55,
    答:“多宝佛塔CD的高度约为55米.
    【点睛】本题考查了解直角三角形,熟练掌握正切定义及计算方法是解答此类问题的关键.
    20.(8分)为加快复工复产,某企业需运输一批物资.据调查得知,2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱;5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱.
    (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资;
    (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资,每辆大货车一次需费用5000元,每辆小货车一次需费用3000元.若运输物资不少于1500箱,且总费用小于54000元.请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少.最少费用是多少?
    【答案】见解析。
    【解析】(1)设1辆大货车一次运输x箱物资,1辆小货车一次运输y箱物资,
    由题意可得:
    2x+3y=6005x+6y=1350,
    解得:
    x=150y=100,
    答:1辆大货车一次运输150箱物资,1辆小货车一次运输100箱物资,
    (2)设有a辆大货车,(12﹣a)辆小货车,
    由题意可得:
    150a+100(12−a)≥15005000a+3000(12−a)<54000,
    ∴6≤a<9,
    ∴整数a=6,7,8;
    当有6辆大货车,6辆小货车时,费用=5000×6+3000×6=48000元,
    当有7辆大货车,5辆小货车时,费用=5000×7+3000×5=50000元,
    当有8辆大货车,4辆小货车时,费用=5000×8+3000×4=52000元,
    ∵48000<50000<52000,
    ∴当有6辆大货车,6辆小货车时,费用最小,最小费用为48000元.
    【点睛】本题考查了二元一次方程组、一次函数的应用,熟练寻找等量关系,一次函数性质是解题的关键.
    21.(8分·)【阅读材料】说明代数式 的几何意义,并求它的最小值.
    解:如图,建立平面直角坐标系,点是x轴上一点,则可以看成点P与点的距离,可以看成点P与点的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和,它的最小值就是求PA+PB的最小值.设点A关于x轴的对称点为A′,则,因此,求的最小值,只需求的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以的最小值为线段的长度.为此,构造直角三角形,因为,,所以,即原式的最小值为.
    根据以上阅读材料,解答下列问题:

    【基础训练】(1)代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点B __________的距离之和;(填写点B的坐标)
    【能力提升】(2)求代数式的最小值为__________;
    【拓展升华】(3)如图,在等腰直角中,,点M,N分别为,上的动点,且,.当的值最小时,求的长.

    【答案】(1);(2)10;(3)
    【分析】(1)先把原式化为 的形式,再根据材料结论即可得出结果;
    (2)先把原式化为的形式,再根据材料结论即可得出结果;
    (3)先过点A作于点H ,设,在和中,根据勾股定理表示出,,再根据材料结论即可得出结果.
    【详解】解:(1)原式化为 ,
    表示点到点的距离,
    表示点到点的距离,
    故答案为:
    (2)式化为
    表示点到点的距离,
    表示点到点的距离,
    点A关于x轴的对称点为,
    根据材料结论,最小值为的长度,,
    故答案为:10.
    (3)
    如图,过点A作于点H ,设,
    在等腰直角中,,,
    ∴,,
    在和中,根据勾股定理得:


    ∴,
    表示点到点的距离,
    表示点到点的距离,
    点A关于x轴的对称点为,
    根据材料结论,为线段的长度,
    直线的函数解析式为:,
    时,,即,
    ∴,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题,解答此题的关键是根据题中所给的材料画出图形,再利用数形结合求解.
    22.(12分)如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°,得到线段CQ,连接BP,DQ
    (1)如图a,求证:△BCP≌△DCQ;
    (2)如图,延长BP交直线DQ于点E.
    ①如图b,求证:BE⊥DQ;
    ②如图c,若△BCP为等边三角形,判断△DEP的形状,并说明理由,
    (3)填空:若正方形ABCD的边长为10,DE=2,PB=PC,则线段PB的长为 ___ .

    【答案】见试题解答内容
    【分析】(1)根据旋转的性质,证明∠BCP=∠DCQ,得到△BCP≌△DCQ;
    (2)①根据全等的性质和对顶角相等,即可得到答案;②根据等边三角形的性质和旋转的性质,求出∠EPD=45°,∠EDP=45°,即可判断△DEP的形状;
    (3)分两种情况进行讨论:点E在DQ上;点E在QD的延长线上,分别根据相似三角形的性质,等腰三角形的性质和勾股定理,求得BP的长即可.
    【详解】解:(1)证明:如图a,∵∠BCD=90°,∠PCQ=90°,
    ∴∠BCP=∠DCQ,
    在△BCP和△DCQ中,

    ∴△BCP≌△DCQ(SAS);

    (2)①如图b,∵△BCP≌△DCQ,
    ∴∠CBF=∠EDF,
    又∵∠BFC=∠DFE,
    ∴∠DEF=∠BCF=90°,
    ∴BE⊥DQ;
    ②如图c,∵△BCP为等边三角形,
    ∴∠BCP=60°,
    ∴∠PCD=30°,
    又∵CP=CD,
    ∴∠CPD=∠CDP=75°,
    又∵∠BPC=60°,∠CDQ=60°,
    ∴∠EPD=45°,∠EDP=45°,
    ∴△DEP为等腰直角三角形;

    (3)如图b,由∠CBF=∠EDF,∠DEF=∠BCF,可得△DEF∽△BCF,
    ∴=,即=,
    设DF=x,则BF=5x,CF=10﹣x,
    ∵Rt△BCF中,BF2=BC2+CF2,
    ∴(5x)2=102+(10﹣x)2,
    解得x1=,x2=﹣(舍去),
    ∴BF=5x=,
    ∵PB=PC,
    ∴∠PBC=∠PCB,
    又∵∠PBC+∠PFC=∠PCB+∠PCF=90°,
    ∴∠PFC=∠PCF,
    ∴PF=PC,
    ∴BP=PF=BF=;

    如图d,延长BE、CD,交于点F,
    由∠CBF=∠CDQ=∠EDF,∠DEF=∠BCF,可得△DEF∽△BCF,
    ∴=,即=,
    设DF=x,则BF=5x,CF=10+x,
    ∵Rt△BCF中,BF2=BC2+CF2,
    ∴(5x)2=102+(10+x)2,
    解得x1=﹣(舍去),x2=,
    ∴BF=5x=,
    ∵PB=PC,
    ∴∠PBC=∠PCB,
    又∵∠PBC+∠PFC=∠PCB+∠PCF=90°,
    ∴∠PFC=∠PCF,
    ∴PF=PC,
    ∴BP=PF=BF=.
    故答案为:或.


    【点睛】本题属于四边形综合题,主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质的综合应用,掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角,旋转的性质是解题的关键.解题时注意:旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
    23. (13分)综合与探究
    如图1,经过原点的抛物线与轴的另一个交点为,直线与抛物线交于,两点,已知点的横坐标为1,点为抛物线上一动点.

    (1)求出,两点的坐标及直线的函数表达式.
    (2)如图2,若点是直线上方抛物线上的一个动点,直线交直线于点,设点的横坐标为,求的最大值.
    (3)如图3,连接,抛物线上是否存在一点,使得,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1),,;
    (2)最大值为:;
    (3)或.
    【解析】
    【分析】(1)令可得的坐标,把代入抛物线的解析式可得的坐标,再利用待定系数法求解的解析式即可;
    (2)如图,过作轴交于,记于轴的交点为,则,可得,再建立,利用二次函数的性质可得答案;
    (3)如图,过作轴于,而,可得,过作轴于,可得,再解方程可得答案.
    【小问1详解】
    解:令,
    ∴,
    解得:,,
    ∴,
    ∵点的横坐标为1,
    ∴,
    ∴;
    设为,
    ∴,
    解得:,
    ∴直线为;
    【小问2详解】
    如图,过作轴交于,记于轴的交点为,
    则,
    ∴,

    ∵点的横坐标为,则,
    ∴,
    ∴,
    把代入,则,
    ∴,
    ∴,
    当时,最大,
    最大值为:;
    【小问3详解】
    如图,连接,,过作轴于,而,
    ∴,
    ∵,
    ∴,

    ∵,
    ∴,,
    过作轴于,
    ∴,
    当时,解得:,经检验符合题意;
    ∴,即,
    当时,解得:,经检验符合题意;
    ∴,即,
    综上:或.
    【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式,二次函数的性质与坐标轴的交点,相似三角形的判定与性质,锐角的正切的应用,分式方程的解法,掌握以上知识并灵活应用,注意分类讨论是解本题的关键
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