2023年 中考数学模拟试题（山西卷）解析版

这是一份2023年 中考数学模拟试题（山西卷）解析版，共28页。试卷主要包含了59×1013元B．5，61×1013元D．4，1cm等内容，欢迎下载使用。

 2023年 中考数学模拟试题（山西卷）解析版
（时间 120 分， 总分 120 分）
亲爱的同学：
在你答题前，请认真阅读下面的注意事项.
1. 本试卷由第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分组成.共三大题，满分120分.考试用时120分钟.
2. 答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号.
3. 答第I卷（选择题）时，选出每小题答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答在“试卷”上无效.
4. 答第II卷（非选择题）时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上.答在“试卷”上无效.
5. 认真阅读答题卡上的注意事项.
预祝你取得优异成绩！
第 I 卷选择题（共 30 分）
一、 选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列结果为2的是（　　）
A．﹣（+2） B． C．|﹣2| D．﹣|﹣2|
答案：C
【分析】根据绝对值的性质和相反数的性质逐一计算可得．
【详解】A、﹣（+2）＝﹣2，此选项不符合题意；
B、≠2，此选项不符合题意；
C、|﹣2|＝2，此选项符合题意；
D、﹣|﹣2|＝﹣2，此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查绝对值和相反数，解题的关键是熟练掌握绝对值和相反数的性质．
2. 观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
答案：B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐一判断即可．
【详解】解：第一个图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此图案不符合题意；
第二个图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故此图案符合题意；
第三个图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此图案不符合题意；
第四个图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此图案不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
3.去年，面对严峻复杂的国内外环境，特别是疫情严重冲击，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，我国经济社会发展主要目标任务完成情况好于预期，初步核算，全年国内生产总值约102万亿元，其中第三产业约占55%，由此可知，第三产业总值为（　　）
A．4.59×1013元 B．5.61×1014元
C．5.61×1013元 D．4.59×1014元
答案：C
【分析】先计算出，第三产业总值为56.1万亿元，再用科学记数法的表示形式．
【详解】解：经计算，第三产业总值为102 ´55 %=56.1（万亿元）=5.61 ´1013元，
故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 如图，是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是（   ）

A． B． C． D．无法确定
答案：B
【分析】根据黄金分割的定义得到PA2=PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PB•AB，即可得到S1=S2．
【详解】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA2=PB•AB，
又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，
∴S1=PA2，S2=PB•AB，
又∵PA2=PB•AB，
∴S2= PA2．
∴S1=S2．
故选B．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
5. 如图所示为在数轴上表示的某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（　　）

A． B．
C． D．
答案：C
【分析】数轴上表示的解集是2≤x＜3，再根据不等式组的求法，先分别求出不等式组中每个不等式的解，即可得到不等式的解集，最后根据所求不等式组的解集是否与题干中的解集进行判断，即可得到答案.
【详解】解：数轴上表示的解集是2≤x＜3，
A、，
∵解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞3，
∴不等式组无解，故本选项不符合题意；
B、
∵解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是2＜x≤3，故本选项不符合题意；
C、
∵解不等式①得：x≥2，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集是2≤x＜3，故本选项符合题意；
D、
∵解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥3，
∴不等式组无解，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查数轴和求不等式组的解集，解题的关键是读懂数轴，掌握解不等式组的方法.
6. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为(     )

A．10° B．15° C．18° D．30°
答案B
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
7. 化简的结果是（    ）
A．2 B． C． D．
答案：A
【分析】先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
【详解】解：



故选：A
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
8. 如图，AB是的直径，点C在上，连接AC、BC，过点O作交于点D，点C、D在AB的异侧．若，则的度数是（    ）

A．66° B．67° C．57° D．48°
答案：C
【分析】先求出，得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆周角定理求出的度数即可．
【详解】解：连接，如图所示：

，
，
是的直径，
，
∴∠CAO=90°−∠B=66°．
，
，
，
；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容．
9. 小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（　　）

A． B． C． D．
答案：A
【分析】画出树状图，共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，即可得出答案．
【详解】解：画树状图如图：
共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，
∴小李获胜的概率为；
故选A．

【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．
10. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
答案：A
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD的面积与扇形OBC的面积之和再减去△BDO的面积，本题得以解决．
【详解】解：作OE⊥AB于点F，

∵在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．
∴∠AOD=90°，
∴∠BOC=30°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
在Rt中，OA=2，∠OAB=30°，
∴OD=OA•tan30°=2×=2，
∴AD=2OD=4，
在Rt中，OA=2，∠OAB=30°，
∴OF= =，
∴AF=
∴AB=2AF=6，
∴BD=AB-AD=6-4=2，
∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC-S△BDO=，
故选A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
第Ⅱ卷选择题（共 90 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
11. 计算____________________
答案：
【分析】首先利用完全平方公式进行乘方运算，再进行二次根式的加减运算．
【详解】解：原式=
=．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解决问题的关键是掌握正确的运算顺序．
12.如图，四边形是正方形，在轴正半轴上，在轴负半轴上．反比例函数在第二象限的图象与分别交于点．若，则线段的长度为________．


答案：4
【分析】先根据反比例函数图像的对称性结合题意得到∠COE=30°，设OE=a，则CE=，OC=，即可确定E点坐标，然后将E点坐标代入求得a的值即可．
【详解】解：∵，反比例函数图像关于y=-x对称
∴∠COE=
设OE=a（a＞0），则| CE | =，| OC | =，
∴E点坐标为（-，）
反比例函数在第二象限的图象与交于点E
∴，解得a=4或a=-4（舍去）．
故填4．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图像的对称性是解答本题的关键．
13. 2022年5月30日是第六个全国科技工作者日，主题为“创新争先，自立自强”．为了庆祝第六个全国科技工作者日，某学校准备举办科技知识竞赛活动，班需要从甲，乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的此次活动，甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，从他们的稳定性考虑，应该选择的同学是____________．

答案：乙
【分析】通过图示中的数据分别计算出两名同学选拔成绩的平均数和方差，根据方差越小越稳定，即可得解．
【详解】∵甲的选拔成绩：85，100，80，60，100，
∴，
∴．
∵乙的选拔成绩：80，80，90，85，90，
∴，
∴，
∵，，
∴从他们的稳定性考虑，选择乙同学．
【点睛】本题考查了方差的定义，它反映了一组数据的波动大小，熟练掌握方差越小，波动性越小是解本题的关键．
14. 某学校要为生物科学活动社团提供实验器材，计划购买A，B两种型号的放大镜，A型号的放大镜每个20元，B型号的放大镜每个15元，且所需购买A型号放大镜的数量是B型号放大镜数量的2倍，且总费用不超过1100元，则最多可以购买A型号放大镜______个．
答案：40
【分析】设出A型放大镜为x个，根据不等关系列出不等式，求解即可．
【详解】设A型放大镜x个，则B型放大镜为x个，
根据题意可得：20x+15×x≤1100．
解得：x≤40．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是找出其中的不等量关系，并列出不等式．
15. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别是边和的中点，连接，在上取点G，连接，若，则的长为__________．

答案：
【分析】连接交于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，推出是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接交于，

四边形是正方形，
，，
点、分别是边，的中点，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
∵，
∴
∴
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 本题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分）
（1）计算：
答案：(1)
【详解】（1）


(2)下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
因式分解：
解：原式             第一步
                                    第二步
                                   第三步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是___________法．
任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______________________．
任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程．
答案：(2)     完全平方；提公因式     因式分解不彻底（或还可以进行因式分解）    
【分析】（1）先根据绝对值的意义，零指数幂、负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值进行化简，然后再进行运算即可；
（2）按照给出的解答过程，进行分析解答即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）任务一：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法；
任务二：小明因式分解的结果不彻底，还可以进行因式分解；
任务三：原式

=
故答案为：任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解不彻底（或a2−b2还可以进行因式分解）；任务三：8(a+b)(a−b)．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，因式分解，熟练掌握实数混合运算法则，平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．
17.（7分）如图，平分，E，F分别是射线，上的点，连接交于点N．

(1)尺规作图：作平分，并交于点P；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的情况下，若，，连接．试判断四边形的形状，并加以证明．
答案：(1)见解析
(2)四边形是菱形，见解析
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）先根据角平分线的定义求出，从而得出，结合三角形外角的性质可求，由等角对等边可得，证明是等边三角形，可得，从可证四边形是平行四边形，最后根据菱形的定义即可得证．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求，

（2）解：四边形是菱形．
证明：如图，

∵平分，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，灵活运用所学知识进行解答是解题的关键．
18.(9分)某超市购进甲、乙两种保健醋，已知甲种保健醋每瓶的价格比乙种保健醋每瓶的价格贵0.5元，分别用1800元购进甲，乙两种保健醋，购进的甲种保健醋的瓶数是乙种保健醋瓶数的．这两种保键的售价如下表：
品名
甲种保健醋
乙种保健醋
售价（元）
8.0
6.5

(1)求这两种保健醋每瓶的进价分别是多少元；
(2)该超市计划购进这两种保健醋共100瓶，进货总价不超过480元，设购进甲种保健醋m瓶，总利润为w元．
①求w与m之间的函数解析式（不必写出自变量m的取值范围）；
②求全部售完这批保健醋后获得最大利润的进货方案，并求出最大利润．
答案：(1)甲种保健醋每瓶的进价是5元，乙种保健醋每瓶的进价是4.5元
(2)①；②购进甲种保健醋60瓶，乙种保健醋40瓶，才能使全部售完这批保健醋后获得最大利润，最大利润是260元

【分析】（1）设乙种保健醋每瓶的进价是x元，得到甲种保健醋每瓶的进价是元，根据题意列出分式方程求解；
（2）①根据利润=售价-进价可以得出关于w与m之间的函数解析式；
②根据该超市计划购进这两种保健醋共100瓶，进货总价不超过480元，列出一元一次不等式来求解．
【详解】（1）解：设乙种保健醋每瓶的进价是x元，则甲种保健醋每瓶的进价是元，根据题意得
，
解得，
经检验是原方程的解，
∴．
答：甲种保健醋每瓶的进价是5元，乙种保健醋每瓶的进价是4.5元；
（2）解：①，
∴．
所以，w与m之间的函数解析式是；
②由题可知．
解得．
∵，
∴w随m的增大而增大．
∴时，w最大．
∴．
答：购进甲种保健醋60瓶，乙种保健醋40瓶，才能使全部售完这批保健醋后获得最大利润，最大利润是260元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
19. (8分）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，某校组织了“禁毒防毒”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如下统计图．

(1)本次抽样调查的学生人数是________，请补全条形统计图；
(2)学校准备针对毒品危害分别举行一次专题培训和一次实践活动，并分别随机抽一位竞赛成绩不合格的同学参与发言，请用树状图或列表法求出恰好两次活动抽中同一人发言的概率；
(3)该校共有2000名学生，请你估计该校本次竞赛中成绩达到合格的学生人数．
答案：(1)100人，见解析
(2)
(3)估计该校本次竞赛中成绩达到合格的学生人数约为1900人

【分析】（1）由已知C等级的人数为25人，所占百分比为25%，25÷25%可得本次抽样调查的学生人数；再求B，D等级的人数；
（2）依据题意列出表格后求得概率；
（3）利用样本估计总体的思想，用样本的优秀率估计总体的优秀率可得结论．
【详解】（1）解：∵由条形统计图可得C等级的人数为25人，由扇形统计图可得C等级的人数占比为25%，
∴本次抽样调查的学生人数为25÷25%=100．
∵B等级的人数占比为35%，
∴B等级的人数为：100×35%=35（人）．
∴D等级的人数：100-35-35-25=5（人）．
补全条形统计图如下：

故答案为：100．
（2）解：列表如下：设五名不合格同学分别为A、B、C、D、E
2
1
A
B
C
D
E
A
A，A
A，B
A，C
A，D
A，E
B
B，A
B，B
B，C
B，D
B，E
C
C，A
C，B
C，C
C，D
C，E
D
D，A
D，B
D，C
D，D
D，E
E
E，A
E，B
E，C
E，D
E，E

由上表可知，一共出现25种等可能的情况，其中同一个同学有5种情况；
（恰好同一个人发言）；
（3）解：（人）
估计该校本次竞赛中成绩达到合格的学生人数约为1900人．
【点睛】本题主要考查了统计的相关知识，包括总体，个体，样本，样本容量，利用列表法或画树状图求事件的概率，用样本估计总体的思想，条形统计图等，准确地理解相关的数量指标，并熟练的应用是解题的关键．
20. （8分）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角内部有一点D，在其两边和上各取任意一点E，F，连接．
求证：．

小丽的证法
小红的证法
证明：
如图2，连接并延长至点M，
，
（    依据    ），
又∵，
，
∴．
证明：
∵，
（量角器测量所得），
∴，
（计算所得）．
∴（等量代换）．

任务：
(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________；
(2)下列说法正确的是____________．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理
B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，该定理的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理
D．小红的证法只要将点D在的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理
(3)如图，若点D在锐角外部，与相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索之间的关系．

答案：(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
(2)A
(3)不成立，

【分析】（1）连接并延长至点M，根据三角形外角的性质解答即可；
（2）按照定理的证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，即可得答案；
（3）根据三角形外角的性质得，，整理可得答案
【详解】（1）解：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）根据定理证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，故A正确；
（3）不成立，
是的一个外角，
，
为的一个外角，
，
（或）．
【点睛】本题考查了三角形的外角，解题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
21. (8分）小林在使用笔记本电脑时，为了散热，他将电脑放在散热架CAD上，忽略散热架和电脑的厚度，侧面示意图如图1所示，已知电脑显示屏OB与底板OA的夹角为135°，OB=OA=25cm，OE⊥AD于点E，OE=12.5cm.

（1）求∠OAE的度数；
（2）若保持显示屏OB与底板OA的135°夹角不变，将电脑平放在桌面上如图2中的所示，则显示屏顶部比原来顶部B大约下降了多少？(参考数据：结果精确到0.1cm.参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，，)
答案：（1）∠OAE=30°；（2）19.1cm
【分析】（1）根据题中数据，在△OEA中，将∠OAE的正弦值求出，从而得出∠OAE的度数.
（2）过点O作MN⊥OE，过点B作BH⊥MN于点H，过点B＇作B＇F⊥AD，交AD的延长线于点F. 通过∠BOH的度数，计算出BH的长度，在△B＇O＇F中，求出∠B＇O＇F的度数，从而求出B＇F的长度，利用OE和BH的长度之和得出B点距离桌面的高度，最后求出下降的高度.
【详解】解：（1）∵OE⊥AD于点E，OA=OB=25cm，OE=12.5cm，
在Rt△OEA中，.
∴∠OAE=30°.
（2）如图，过点O作MN⊥OE，过点B作BH⊥MN于点H，过点B＇作B＇F⊥AD，交AD的延长线于点F.
∵∠BOA=135°，∠AOE=60°，∠MOE=90°
∴∠BOH=360°－∠BOA －∠AOE －∠MOE =75°
∵在Rt△BOH中，
∴
=25×sin75°≈25×0.97=24.25（cm）
∵=135°
∴=45°
∵在Rt△中，
∴=25×≈25×0.705=17.625（cm）
∴BH+OE－B＇F≈24.25+12.5－17.625=19.125≈19.1（cm）
答：显示屏顶部比原来顶部B大约下降了19.1cm.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22. (12分)综合与实践
在一次综合实践活动课上，数学王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，要求同学们仅通过折纸的方法来确定该正方形一边上的一个三等分点．
“启航”小组的同学在经过一番思考和讨论交流后，进行了如下的操作：
第一步：如图1，将正方形纸片ABCD的一条边AD对折，使点A和点D重合，得到AD的中点E，然后展开铺平；

第二步：如图2，将CD边沿CE翻折到CF的位置；

第三步：如图3，再将BC沿过点C的直线翻折，使点B和点F重合，折痕与AB边交于点G．

他们认为：该点G就是AB边的一个三等分点．
(1)试证明上面的结论：
(2)“奋进”小组的同学是这样操作的：
第一步：先将正方形纸片ABCD的一条边AD对折，使点A和点D重合，找到AD的中点E；
第二步：再折出正方形纸片ABCD的对角线AC，以及点B和点E的连线BE，这两条折痕相交于点F；
第三步：最后，过点F折出AB的平行线GN，分别与AD，BC交于点G和点N．
①请根据上面的描述，在图4中画出所有的折痕，确定点G和点N的位置；
②请结合①中所画的图形，判断点G是否为AD边的三等分点，并说明理由．
答案：(1)证明见解析；
(2)①画图见解析；②点G是AD边上的一个三等分点，理由见解析

【分析】（1）设正方形的边长为a，BG的长为x，根据轴对称和正方形的性质，推导得，再根据勾股定理的性质计算，即可得到答案；
（2）①结合题意，根据轴对称的性质作图，即可得到答案；
②根据正方形、相似三角形、矩形的性质，通过证明△AEF∽△CBF、△AFG∽△CFN，从而完成证明．
（1）
设正方形的边长为a，BG的长为x
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵点E是AD的中点，
∴
∵CD翻折至CF，CB翻折至CF，
∴，，，．
∴
∴点E，F和G三点共线
∴．
在中，由勾股定理得，即
解得：
∴点G是AB边上的一个三等分点；
（2）
①根据题意，折痕和点G和点N的位置如图：
；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴，．
∴△AEF∽△CBF
∴
∵点E是AD的中点，
∴．
∴．
∵，
∴△AFG∽△CFN
∴
∵，，且，
∴四边形AGNB是矩形
∴
又∵，
∴
∴
∴点G是AD边上的一个三等分点．
【点睛】本题考查了矩形、正方形、轴对称、勾股定理、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、相似三角形的性质，从而完成求解．
22. (13分)综合与探究
如图，抛物线y=−x2+x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．

(1)求A，B，C三点及抛物线顶点的坐标；
(2)点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(0 (3)试探究：在y轴上是否存在点P，使得∠PAO=∠ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)A(−1，0)，B(3，0)，C(0，4)；抛物线顶点坐标为(1，)；
(2)当△CBD的面积最大时，m的值为；
(3)点P的坐标为(0，)，(0，-)．

【分析】（1）将y=0、x=0代入，求解可得A，B，C三点坐标，将解析式化成顶点式即可求得抛物线顶点坐标；
（2）利用待定系数法求得直线BC的函数表达式，用m表示出点D、M的坐标，利用三角形面积公式以及二次函数的性质求解即可；
（3）作BN平分∠OBC交OC于点N，过点N作NE⊥BC于点E，利用面积法求得，得到CN=，ON=，再证明△P1OA∽△NOB，利用相似三角形的性质即可求解．
（1）
解：将y=0代入y=−x2+x+4，得0=−x2+x+4．
解得：x1=−1，x2=3．
∴A(−1，0)，B(3，0)．
将x=0代入y=−x2+x+4，得y=4．
∴C(0，4)．
∵y=−x2+x+4=− (x−1) 2+，
∴抛物线顶点坐标为(1，)；
（2）
解：过点D作DM∥y轴，交BC于点M．

设直线BC的函数表达式为y=kx+b．
将B(3，0)，C(0，4)代入y=kx+b，
得解得，
∴直线BC的函数表达式为y=−x+4．
∵点D在抛物线上，
∴D(m，−m2+m+4)．
∵DM∥y轴，
∴M(m，−m+4)．
∵S△CBD=S△CMD+S△BMD=DM⋅|xB−xC|=DM，
∴当DM最大时，S△CBD最大．
∵DM=(−m2+m+4)−(−m+4)=−m2+4m=− (m−)2+3．
∵−<0，
∴当△CBD的面积最大时，m的值为；
（3）
解：∵B(3，0)，C(0，4)，
∴OB=3，OC=4，
∴BC==5，
作BN平分∠OBC交OC于点N，过点N作NE⊥BC于点E，

∵NO⊥OB，NE⊥BC，BN平分∠OBC，
∴NO= NE，
∴，
∵，
∴，
又∵CN+ON=OC=4，
∴CN=，ON=，
∵∠P1AO=∠ABC=∠NBO，∠P1OA=∠NOB=90°，
∴△P1OA∽△NOB，
∴，即，
∴P1O=，
同理求得P2O=，
∴P1(0，)，P2(0，-) ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像及性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．