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浙教版九年级上册4.5 相似三角形的性质及应用课堂检测
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这是一份浙教版九年级上册4.5 相似三角形的性质及应用课堂检测，共26页。试卷主要包含了小明想利用太阳光测量楼高等内容，欢迎下载使用。
4.5相似三角形的性质及应用
1．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．
2．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）
3．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
4．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．
5．如图，直立在B处的标杆AB＝2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD＝8m，FB＝2.5m，人高EF＝1.5m，求树高CD．
6．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面高度EF＝1.5m，量得CE＝2m，EC1＝6m，C1E1＝3m．
（1）△FDM∽△ ，△F1D1N∽△ ；
（2）求电线杆AB的高度．
7．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）
8．如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
9．小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA＝25米．当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）．
10．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
11．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？
（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．
（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
12．有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC＝120cm，高AD＝80cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示．
（1）求矩形纸片较长边EH的长；
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．
13．阅读以下文字并解答问题：
在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．
小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米．
（2）画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．
（3）请选择丙树的高度为
A．6.5米 B．5.75米 C．6.05米D．7.25米
（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．
14．小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆AB的影子正好落在坡面CD和地面BC上，已知CD和地面成30°角，CD＝4m，BC＝10m，且此时测得1m高的标杆在地面的影长为2m，求AB的长度．
15．如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
16．如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长BC＝20米，斜坡坡面上的影子CD＝8米，太阳光AD与水平地面BC成30°角，斜坡CD与水平地面BC成45°的角，求旗杆AB的高度．（＝1.732，＝1.414，＝2.449，精确到1米）．
17．数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，有以下两种方案：
方案一：小明在地面直上立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上（如图1）．测量：人与标杆的距离DF＝1m，人与旗杆的距离DB＝16m，人的目高和标杆的高度差EG＝0.9m，人的高度CD＝1.6m．
方案二：小聪在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米（如图2）．
请你结合上述两个方案，分别画出符合题意的示意图，并求出旗杆的高度．
18．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12m，塔影长DE＝18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB．
19．已知：直角三角形的铁片ABC的两条直角边BC、AC的长分别为6和8，如图所示，分别采用（1）（2）两种方法，剪出一块正方形铁片，为使剪去正方形铁片后剩下的边角料较少，试比较哪种剪法较为合理，并说明理由．
20．数学兴趣小组成员，为了从一张腰长为2的等腰直角三角形的纸片中剪出一个尽可能大的正方形，探究出甲、乙两种剪法（图甲、图乙）
（1）请计算说明甲、乙两种解法哪种剪出的正方形纸片更大．
（2）李明同学想从一张直角边分别为3、4的三角形纸片中，剪出一个边长为1.7的正方形能做到吗？若能，请说明理由，并在图中用虚线画出所剪正方形；若不能，请说明不能的理由．
21．如图1是一个某物体的支架实物图，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中点C是支杆PD上一可转动点，点P是中间竖杆BA上的一动点，当点P沿BA滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，PC与BC重合于竖杆BA，经测量PC＝BC＝50cm，CD＝60cm，设AP＝xcm，竖杆BA的最下端B到地面的距离BO＝ycm．
（1）求AB的长；
（2）当∠PCB＝90°时，求y的值；（参考数据：1.414，结果精确到0.1cm）
（3）当点P运动时，试求出y与x的函数关系式．
22．将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，AP＝6cm，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度．
23．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC＝8.7m，窗口高AB＝1.8m，求窗口底边离地面的高BC．
24．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝70°，∠B＝50°，∠E＝30°，分别过两个三角形的一个顶点画直线l、m，使直线l将△ABC分为两个小三角形，直线m将△DEF分成两个小三角形，并使△ABC分成的两个小三角形分别与△DEF分成的两个小三角形相似，并标出每个小三角形各个内角的度数．（画图工具不限，不要求写作法，只要画出一种分法．）
参考答案
1．方法一：
解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA
∴MA∥CD∥BN
∴EC＝CD＝x
∴△ABN∽△ACD，
∴
即
解得：x＝6.125≈6.1．
经检验，x＝6.125是原方程的解，
∴路灯高CD约为6.1米．
方法二：
解：连接MN，并延长交CD于点F，设DF＝xm，
则MN∥AB，AB＝MN＝1.25m，MF＝AC，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA
∴∠EMA＝∠MDF＝45°
∴DF＝MF＝AC＝xm，
DC＝DF+AM＝x+1.75m，
∵MF∥AC
∴＝＝，
即＝，
解得：x＝4.375m，
∴DC＝4.375+1.75＝6.125m≈6.1m，
∴路灯高CD约为6.1米．
2．解：由题意得：∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，
∴△CAD∽△MND，
∴，
∴，
∴MN＝9.6（米），
又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，
∠EFB＝∠MFN，
∴△EFB∽△MFN，
∴，
∴
∴EB≈1.75（米），
∴小军身高约为1.75米．
3．解：（1）如图1，
∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
＝，即＝，
∴AP＝AB，
∵NQ∥AC，
∴△BNQ∽△BCA，
∴＝，即＝，
∴BQ＝AB，
而AP+PQ+BQ＝AB，
∴AB+12+AB＝AB，
∴AB＝18．
答：两路灯的距离为18m；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，
∴△NBM∽△NAC，
∴＝，即＝，解得BN＝3.6．
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．
4．解：在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴＝，
即＝，
解得BC＝4，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，
即树高5.5m．
5．解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF＝GB＝DH＝1.5米，EG＝FB＝2.5米，GH＝BD＝8米，
∴AG＝AB﹣GB＝2.4﹣1.5＝0.9米，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴＝，
∴＝，
解得：CH＝3.78米，
∴DC＝CH+DH＝3.78+1.5＝5.28米．
答：故树高DC为5.28米．
6．解：（1）∵DC⊥AED1C1⊥AEBA⊥AE
∴DC∥D1C1∥BA，
∴△FDM∽△FBG，△F1D1N∽△F1BG．
（2）根据题意，∵D1C1∥BA，
∴△F1D1N∽△F1BG．
∴．
∵DC∥BA，
∴△FDM∽△FBG．
∴．
∵D1N＝DM，
∴＝，
即．
∴GM＝16m．
∵，
∴．
∴BG＝13.5m．
∴AB＝BG+GA＝15（m）．
答：电线杆AB的高度为15m．
7．解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
∵AB∥CD，DG⊥AB，AB⊥AC，
∴四边形ACDG是矩形，
∴EH＝AG＝CD＝1.2，DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30，
∵EF∥AB，
∴，
由题意，知FH＝EF﹣EH＝1.7﹣1.2＝0.5，
∴，解得，BG＝18.75，
∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0．
∴楼高AB约为20.0米．
8．解：∵CD∥EF∥AB，
∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴，，
又∵CD＝EF，
∴，
∵DF＝3m，FG＝4m，BF＝BD+DF＝（BD+3）（m），BG＝BD+DF+FG＝（BD+7）（m），
∴，
∴BD＝9m，BF＝9+3＝12m，
∴，
解得，AB＝6.4m．
9．解：∵∠BAC＝∠BCE＝90°，∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴，
即，
∴AB＝16米．
答：教学大楼的高度AB是16米．
10．解：设正方形的边长为xmm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝48，
所以，这个正方形零件的边长是48mm．
11．解：（1）如图1，设正方形的边长为xmm，则PN＝PQ＝ED＝x，
∴AE＝AD﹣ED＝80﹣x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得x＝48．
∴加工成的正方形零件的边长是48mm；
（2）如图2，设PQ＝x，则PN＝2x，AE＝80﹣x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：x＝，
∴2x＝，
∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；
（3）如图3，设PN＝x（mm），矩形PQMN的面积为S（mm2），
由条件可得△APN∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：PQ＝80﹣x．
则S＝PN•PQ＝x（80﹣x）＝﹣x2+80x＝﹣（x﹣60）2+2400，
故S的最大值为2400mm2，此时PN＝60mm，PQ＝80﹣×60＝40（mm）．
12．解：（1）设EF＝2x，EH＝5x，
∵矩形对边EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝15，
EH＝5x＝15×5＝75cm，
所以，矩形纸片较长边EH的长为75cm；
（2）小聪的剪法不正确．
理由如下：设正方形的边长为a，AR＝AD﹣RD＝80﹣2×15＝50cm，
AK＝50﹣a，
由题意知，△APQ∽△AEH，
∴＝，
即＝，
解得a＝30，
与边EH平行的中位线＝×75＝37.5cm，
∵37.5≠30，
∴小聪的剪法不正确．
13．解：（1）∵一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米，
∴甲树的高度为：4.08÷0.8＝5.1（m）．
故答案为：5.1；
（2）如图1：设AB为乙树的高度，BC＝2.4，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD＝1.2
由题意得：＝＝，
解得：BE＝3，
故乙树的高度AB＝AE+BE＝4.2米；
（3）如图2，设AB为丙树的高度，EF＝0.2，
由题意得：＝，
∴DE＝0.25（m），则CD＝0.25+0.3＝0.55（m），
∵四边形AGCD是平行四边形，
∴AG＝CD＝0.55（m），
又由题意得＝＝，
所以BG＝5.5（m），
所以AB＝AG+BG＝0.55+5.5＝6.05（m），
故选：C．
（4）如图3：设AB为丁树的高度，BC＝2.4m，CD＝3.2m，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
由题意得：＝＝，
解得：BE＝3（m），
＝，
解得CF＝2.56（m），
故AE＝CF＝2.56米，
故丁树的高度AB＝AE+BE＝BE+CF＝5.56（米）．
14．解：作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
∵DC＝4m，∠DCF＝30°，
∴DF＝2m，
∴BE＝DF＝2m，CF＝＝2m，
∴ED＝BF＝BC+CF＝（10+2）m．
∵同一时刻的光线是平行的，水平线是平行的，
∴光线与水平线的夹角相等，
又∵标竿与影长构成的角为直角，AE与ED构成的角为直角，
∴AE与影长DE构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似，
∴＝，
解得AE＝（5+）m，
∴AB＝AE+BE＝（7+）m．
答：AB的长为（7+）m．
15．解：过C作CE⊥AB于E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°，
∴四边形CDBE为矩形，
∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，
设AE＝x，则1：1.5＝x：21，
解得x＝14，
∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米．
16．解：延长AD交BC于E点，则∠AEB＝30°，
作DQ⊥BC于Q，
在Rt△DCQ中，∠DCQ＝45°，DC＝8，
∴DQ＝QC＝8sin45°＝8×＝4，
在Rt△DQE中，QE＝≈9.8（米）
∴BE＝BC+CQ+QE≈35.5（米）
在Rt△ABE中，AB＝BEtan30°≈20（米）
答：旗杆的高度约为20米．
17．解：方案一：如图1所示：
由已知得：CD∥EF∥AB，
∴△ECG∽△ACH，
∴，即，
解得：AH＝14.4米，
∴AB＝AH+BH＝14.4+1.6＝16（米）；
答：旗杆的高度是16米；
方案二：如图所示，延长AC，BD相交于点E，
则CD：DE＝1：1.5，得DE＝1.5CD＝3米，
由已知CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴，即，
解得：AB＝16．
答：旗杆的高度是16米．
18．解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．
由题意得：．
∴DF＝DE×1.6÷2＝14.4（m）．
∴GF＝BD＝CD＝6m．
又∵．
∴AG＝1.6×6＝9.6（m）．
∴AB＝14.4+9.6＝24（m）．
答：铁塔的高度为24m
19．解：图1中，设DE＝CD＝EF＝CF＝x，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴x＝，
图2中，作CM⊥AB垂足为M交DE于N．设正方形DEFG边长为y．
在RT△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，CM＝＝4.8，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴，
∴y＝．
∵x＞y，
∴图1中正方形面积大，
故图1的剪法较为合理．
20．解：（1）如图甲所示：设正方形的边长为x，则AE＝2﹣x，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，＝，
解得x＝1，
∴S正方形＝1；
如图乙所示：
∵等腰直角三角形的边长为2，
∴AB＝＝＝2，
设正方形的边长为x，则AD＝＝﹣，
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，＝，
解得x＝
∴S正方形＝（）2＝；
∵1＞，
∴甲种剪法面积更大；
（2）能．
如图丙所示：
设正方形的边长为x，则AE＝3﹣x，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，＝，
解得x＝≈1.71＞1.7，
∴能剪出一个边长为1.7的正方形．
21．解：（1）∵当P运动到点A时，PC与BC重合于竖杆BA，
∴由题意可得：AB＝PC+BC＝50+50＝100（cm）；
（2）如图，过点E作CE⊥PB于点E，
由题意可得：PD＝110cm，PC＝50cm，
∵∠PCB＝90°，PC＝BC＝50cm，
∴∠CPB＝∠CBP＝45°，∵PE＝50cos45°＝25（cm），
∵CE⊥PB，PO⊥DO，
∴△PCE∽△PDO，∴＝，
＝，
解得：PO＝55，
∵PB＝PC÷cos45°＝50，
∴y＝BO＝5550≈7.1（cm），
答：y的值约为7.1cm；
（3）由（2）可知，在运动过程中始终有：△PCE∽△PDO，
故＝，
∵OP＝PB+0B＝100﹣x+y，
则＝，
∵PC＝BC，AP＝x，BO＝y，
∴PE＝，
整理可得：y＝﹣0.1x+10．
22．解：过点P作PN⊥AB于点N，
由题意可得：AP＝6cm，AB＝10cm，
则BP＝＝8cm，
∴NP×AB＝AP×BP，
∴NP＝＝＝4.8（cm），
∴12﹣4.8＝7.2（cm）．
答：容器中牛奶的高度为：7.2cm．
23．解：∵AE∥BD，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
∵EC＝8.7m，ED＝2.7m，
∴CD＝6m．
∵AB＝1.8m，
∴AC＝BC+1.8m，
∴，
∴BC＝4，即窗口底边离地面的高为4m．
24．解：如图所示（答案不唯一）：
则直线l、m为所求作的直线．
4.5相似三角形的性质及应用
1．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．
2．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）
3．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
4．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．
5．如图，直立在B处的标杆AB＝2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD＝8m，FB＝2.5m，人高EF＝1.5m，求树高CD．
6．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面高度EF＝1.5m，量得CE＝2m，EC1＝6m，C1E1＝3m．
（1）△FDM∽△ ，△F1D1N∽△ ；
（2）求电线杆AB的高度．
7．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）
8．如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
9．小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA＝25米．当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）．
10．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
11．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？
（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．
（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
12．有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC＝120cm，高AD＝80cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示．
（1）求矩形纸片较长边EH的长；
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．
13．阅读以下文字并解答问题：
在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．
小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米．
（2）画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．
（3）请选择丙树的高度为
A．6.5米 B．5.75米 C．6.05米D．7.25米
（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．
14．小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆AB的影子正好落在坡面CD和地面BC上，已知CD和地面成30°角，CD＝4m，BC＝10m，且此时测得1m高的标杆在地面的影长为2m，求AB的长度．
15．如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
16．如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长BC＝20米，斜坡坡面上的影子CD＝8米，太阳光AD与水平地面BC成30°角，斜坡CD与水平地面BC成45°的角，求旗杆AB的高度．（＝1.732，＝1.414，＝2.449，精确到1米）．
17．数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，有以下两种方案：
方案一：小明在地面直上立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上（如图1）．测量：人与标杆的距离DF＝1m，人与旗杆的距离DB＝16m，人的目高和标杆的高度差EG＝0.9m，人的高度CD＝1.6m．
方案二：小聪在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米（如图2）．
请你结合上述两个方案，分别画出符合题意的示意图，并求出旗杆的高度．
18．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12m，塔影长DE＝18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB．
19．已知：直角三角形的铁片ABC的两条直角边BC、AC的长分别为6和8，如图所示，分别采用（1）（2）两种方法，剪出一块正方形铁片，为使剪去正方形铁片后剩下的边角料较少，试比较哪种剪法较为合理，并说明理由．
20．数学兴趣小组成员，为了从一张腰长为2的等腰直角三角形的纸片中剪出一个尽可能大的正方形，探究出甲、乙两种剪法（图甲、图乙）
（1）请计算说明甲、乙两种解法哪种剪出的正方形纸片更大．
（2）李明同学想从一张直角边分别为3、4的三角形纸片中，剪出一个边长为1.7的正方形能做到吗？若能，请说明理由，并在图中用虚线画出所剪正方形；若不能，请说明不能的理由．
21．如图1是一个某物体的支架实物图，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中点C是支杆PD上一可转动点，点P是中间竖杆BA上的一动点，当点P沿BA滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，PC与BC重合于竖杆BA，经测量PC＝BC＝50cm，CD＝60cm，设AP＝xcm，竖杆BA的最下端B到地面的距离BO＝ycm．
（1）求AB的长；
（2）当∠PCB＝90°时，求y的值；（参考数据：1.414，结果精确到0.1cm）
（3）当点P运动时，试求出y与x的函数关系式．
22．将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，AP＝6cm，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度．
23．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC＝8.7m，窗口高AB＝1.8m，求窗口底边离地面的高BC．
24．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝70°，∠B＝50°，∠E＝30°，分别过两个三角形的一个顶点画直线l、m，使直线l将△ABC分为两个小三角形，直线m将△DEF分成两个小三角形，并使△ABC分成的两个小三角形分别与△DEF分成的两个小三角形相似，并标出每个小三角形各个内角的度数．（画图工具不限，不要求写作法，只要画出一种分法．）
参考答案
1．方法一：
解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA
∴MA∥CD∥BN
∴EC＝CD＝x
∴△ABN∽△ACD，
∴
即
解得：x＝6.125≈6.1．
经检验，x＝6.125是原方程的解，
∴路灯高CD约为6.1米．
方法二：
解：连接MN，并延长交CD于点F，设DF＝xm，
则MN∥AB，AB＝MN＝1.25m，MF＝AC，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA
∴∠EMA＝∠MDF＝45°
∴DF＝MF＝AC＝xm，
DC＝DF+AM＝x+1.75m，
∵MF∥AC
∴＝＝，
即＝，
解得：x＝4.375m，
∴DC＝4.375+1.75＝6.125m≈6.1m，
∴路灯高CD约为6.1米．
2．解：由题意得：∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，
∴△CAD∽△MND，
∴，
∴，
∴MN＝9.6（米），
又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，
∠EFB＝∠MFN，
∴△EFB∽△MFN，
∴，
∴
∴EB≈1.75（米），
∴小军身高约为1.75米．
3．解：（1）如图1，
∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
＝，即＝，
∴AP＝AB，
∵NQ∥AC，
∴△BNQ∽△BCA，
∴＝，即＝，
∴BQ＝AB，
而AP+PQ+BQ＝AB，
∴AB+12+AB＝AB，
∴AB＝18．
答：两路灯的距离为18m；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，
∴△NBM∽△NAC，
∴＝，即＝，解得BN＝3.6．
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．
4．解：在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴＝，
即＝，
解得BC＝4，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，
即树高5.5m．
5．解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF＝GB＝DH＝1.5米，EG＝FB＝2.5米，GH＝BD＝8米，
∴AG＝AB﹣GB＝2.4﹣1.5＝0.9米，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴＝，
∴＝，
解得：CH＝3.78米，
∴DC＝CH+DH＝3.78+1.5＝5.28米．
答：故树高DC为5.28米．
6．解：（1）∵DC⊥AED1C1⊥AEBA⊥AE
∴DC∥D1C1∥BA，
∴△FDM∽△FBG，△F1D1N∽△F1BG．
（2）根据题意，∵D1C1∥BA，
∴△F1D1N∽△F1BG．
∴．
∵DC∥BA，
∴△FDM∽△FBG．
∴．
∵D1N＝DM，
∴＝，
即．
∴GM＝16m．
∵，
∴．
∴BG＝13.5m．
∴AB＝BG+GA＝15（m）．
答：电线杆AB的高度为15m．
7．解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
∵AB∥CD，DG⊥AB，AB⊥AC，
∴四边形ACDG是矩形，
∴EH＝AG＝CD＝1.2，DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30，
∵EF∥AB，
∴，
由题意，知FH＝EF﹣EH＝1.7﹣1.2＝0.5，
∴，解得，BG＝18.75，
∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0．
∴楼高AB约为20.0米．
8．解：∵CD∥EF∥AB，
∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴，，
又∵CD＝EF，
∴，
∵DF＝3m，FG＝4m，BF＝BD+DF＝（BD+3）（m），BG＝BD+DF+FG＝（BD+7）（m），
∴，
∴BD＝9m，BF＝9+3＝12m，
∴，
解得，AB＝6.4m．
9．解：∵∠BAC＝∠BCE＝90°，∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴，
即，
∴AB＝16米．
答：教学大楼的高度AB是16米．
10．解：设正方形的边长为xmm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝48，
所以，这个正方形零件的边长是48mm．
11．解：（1）如图1，设正方形的边长为xmm，则PN＝PQ＝ED＝x，
∴AE＝AD﹣ED＝80﹣x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得x＝48．
∴加工成的正方形零件的边长是48mm；
（2）如图2，设PQ＝x，则PN＝2x，AE＝80﹣x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：x＝，
∴2x＝，
∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；
（3）如图3，设PN＝x（mm），矩形PQMN的面积为S（mm2），
由条件可得△APN∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：PQ＝80﹣x．
则S＝PN•PQ＝x（80﹣x）＝﹣x2+80x＝﹣（x﹣60）2+2400，
故S的最大值为2400mm2，此时PN＝60mm，PQ＝80﹣×60＝40（mm）．
12．解：（1）设EF＝2x，EH＝5x，
∵矩形对边EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝15，
EH＝5x＝15×5＝75cm，
所以，矩形纸片较长边EH的长为75cm；
（2）小聪的剪法不正确．
理由如下：设正方形的边长为a，AR＝AD﹣RD＝80﹣2×15＝50cm，
AK＝50﹣a，
由题意知，△APQ∽△AEH，
∴＝，
即＝，
解得a＝30，
与边EH平行的中位线＝×75＝37.5cm，
∵37.5≠30，
∴小聪的剪法不正确．
13．解：（1）∵一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米，
∴甲树的高度为：4.08÷0.8＝5.1（m）．
故答案为：5.1；
（2）如图1：设AB为乙树的高度，BC＝2.4，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD＝1.2
由题意得：＝＝，
解得：BE＝3，
故乙树的高度AB＝AE+BE＝4.2米；
（3）如图2，设AB为丙树的高度，EF＝0.2，
由题意得：＝，
∴DE＝0.25（m），则CD＝0.25+0.3＝0.55（m），
∵四边形AGCD是平行四边形，
∴AG＝CD＝0.55（m），
又由题意得＝＝，
所以BG＝5.5（m），
所以AB＝AG+BG＝0.55+5.5＝6.05（m），
故选：C．
（4）如图3：设AB为丁树的高度，BC＝2.4m，CD＝3.2m，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
由题意得：＝＝，
解得：BE＝3（m），
＝，
解得CF＝2.56（m），
故AE＝CF＝2.56米，
故丁树的高度AB＝AE+BE＝BE+CF＝5.56（米）．
14．解：作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
∵DC＝4m，∠DCF＝30°，
∴DF＝2m，
∴BE＝DF＝2m，CF＝＝2m，
∴ED＝BF＝BC+CF＝（10+2）m．
∵同一时刻的光线是平行的，水平线是平行的，
∴光线与水平线的夹角相等，
又∵标竿与影长构成的角为直角，AE与ED构成的角为直角，
∴AE与影长DE构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似，
∴＝，
解得AE＝（5+）m，
∴AB＝AE+BE＝（7+）m．
答：AB的长为（7+）m．
15．解：过C作CE⊥AB于E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°，
∴四边形CDBE为矩形，
∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，
设AE＝x，则1：1.5＝x：21，
解得x＝14，
∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米．
16．解：延长AD交BC于E点，则∠AEB＝30°，
作DQ⊥BC于Q，
在Rt△DCQ中，∠DCQ＝45°，DC＝8，
∴DQ＝QC＝8sin45°＝8×＝4，
在Rt△DQE中，QE＝≈9.8（米）
∴BE＝BC+CQ+QE≈35.5（米）
在Rt△ABE中，AB＝BEtan30°≈20（米）
答：旗杆的高度约为20米．
17．解：方案一：如图1所示：
由已知得：CD∥EF∥AB，
∴△ECG∽△ACH，
∴，即，
解得：AH＝14.4米，
∴AB＝AH+BH＝14.4+1.6＝16（米）；
答：旗杆的高度是16米；
方案二：如图所示，延长AC，BD相交于点E，
则CD：DE＝1：1.5，得DE＝1.5CD＝3米，
由已知CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴，即，
解得：AB＝16．
答：旗杆的高度是16米．
18．解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．
由题意得：．
∴DF＝DE×1.6÷2＝14.4（m）．
∴GF＝BD＝CD＝6m．
又∵．
∴AG＝1.6×6＝9.6（m）．
∴AB＝14.4+9.6＝24（m）．
答：铁塔的高度为24m
19．解：图1中，设DE＝CD＝EF＝CF＝x，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴x＝，
图2中，作CM⊥AB垂足为M交DE于N．设正方形DEFG边长为y．
在RT△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，CM＝＝4.8，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴，
∴y＝．
∵x＞y，
∴图1中正方形面积大，
故图1的剪法较为合理．
20．解：（1）如图甲所示：设正方形的边长为x，则AE＝2﹣x，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，＝，
解得x＝1，
∴S正方形＝1；
如图乙所示：
∵等腰直角三角形的边长为2，
∴AB＝＝＝2，
设正方形的边长为x，则AD＝＝﹣，
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，＝，
解得x＝
∴S正方形＝（）2＝；
∵1＞，
∴甲种剪法面积更大；
（2）能．
如图丙所示：
设正方形的边长为x，则AE＝3﹣x，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，＝，
解得x＝≈1.71＞1.7，
∴能剪出一个边长为1.7的正方形．
21．解：（1）∵当P运动到点A时，PC与BC重合于竖杆BA，
∴由题意可得：AB＝PC+BC＝50+50＝100（cm）；
（2）如图，过点E作CE⊥PB于点E，
由题意可得：PD＝110cm，PC＝50cm，
∵∠PCB＝90°，PC＝BC＝50cm，
∴∠CPB＝∠CBP＝45°，∵PE＝50cos45°＝25（cm），
∵CE⊥PB，PO⊥DO，
∴△PCE∽△PDO，∴＝，
＝，
解得：PO＝55，
∵PB＝PC÷cos45°＝50，
∴y＝BO＝5550≈7.1（cm），
答：y的值约为7.1cm；
（3）由（2）可知，在运动过程中始终有：△PCE∽△PDO，
故＝，
∵OP＝PB+0B＝100﹣x+y，
则＝，
∵PC＝BC，AP＝x，BO＝y，
∴PE＝，
整理可得：y＝﹣0.1x+10．
22．解：过点P作PN⊥AB于点N，
由题意可得：AP＝6cm，AB＝10cm，
则BP＝＝8cm，
∴NP×AB＝AP×BP，
∴NP＝＝＝4.8（cm），
∴12﹣4.8＝7.2（cm）．
答：容器中牛奶的高度为：7.2cm．
23．解：∵AE∥BD，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
∵EC＝8.7m，ED＝2.7m，
∴CD＝6m．
∵AB＝1.8m，
∴AC＝BC+1.8m，
∴，
∴BC＝4，即窗口底边离地面的高为4m．
24．解：如图所示（答案不唯一）：
则直线l、m为所求作的直线．
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