浙教版4.5 相似三角形的性质及应用教学设计

4.4相似三角形的性质及其应用（1）

教学目标：

1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.

2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.

3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.

重点与难点：

1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.

2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.

知识要点：

三角形相似的条件：

1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.

2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.[来源:Z*xx*k.Com]

3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.

重要方法：

1、相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.

2、相似三角形中的相似比和面积比的关系，应注意相似三角形这个前提，否则不成立.

教学过程：

一、问题情境

某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？

思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？ 

二、新课

1、如图，4 ×4正方形网格

看一看： 

 ΔABC与ΔA′B′C′有什么关系？为什么？（相似） 

算一算：

 ΔABC与ΔA′B′C′的相似比是多少？（）

ΔABC与ΔA′B′C′的周长比是多少?   （） 

面积比是多少？（2）

想一想：

上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？

结论：相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方

验一验：

  是不是任何相似三角形都有此关系呢？  你能加以验证吗？

已知：如图4-24,△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k.

求证：＝k，＝k2

例题

已知：如图，△ABC∽ △A′B′C′, △ABC与 △A′B′C′的相似比是k,AD、A′D′是对应高。

求证：＝k

证明：

∵△ABC∽△A′B′C′  ∴∠B= ∠B′ 

∵AD、A′D′是对应高。

∴∠ADB=∠A′D′B′=90O ∴ △ABD∽△A’B’D’ 

练一练：

1、已知两个三角形相似，请完成下列表格

注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要平方，而已知面积比，求相似比或周长比则要开方。 

2、如图，D、E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F.若AD＝3，AB＝5，求：

（1）；

（2）△ADE与△ABC的周长之比；

（3）△ADE与△ABC的面积之比.

例1 如图：是某市部分街道图，比例尺为1∶10000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积.  

[来源:学科网]

问题解决：如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m, ΔABC的周长为80m，面积为100m2,求ΔADE的周长和面积 

拓展延伸

1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变，则ΔEFC的面积等于多少？BDEF面积为多少？ 

2.若设SΔABC=S, SΔADE=S1, SΔEFC=S2.请猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？ 

证明：DE//BC      △ADE∽△ABC       ＝（）2       ＝ 

FE//BA      △CFE∽△CBA       ＝（）2       ＝

＋＝1

类比猜想

如图，DE//BC,FG//AB,MN//AC, 且DE、FG、MN交于点P。

若记SΔDPM= S1, SΔPEF= S2, SΔGNP= S3,SΔABC= S、S与S1、 S2、S3之间是否也有

类似结论？猜想并加以验证。 

练一练：

练一练（分组练习）

证明：相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比等于相似比。 

能力训练

1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是        ，对应中线的比是          ，对应角平分线的比是        ，周长比是        ，面积比是           。

2.两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是          ，周长比是             。

3.某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm，面积为12cm2，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？ 

4、在△ABC中，DE∥BC，E、D分别在AC、AB上，EC=2AE，则S△ADE∶S四边形DBCE的比为______

5、如图， △ABC中，DE∥FG∥BC，AD＝DF＝FB，则S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG=______

6.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰BA,CD交于点O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,则OF=_______.

7、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且AC=2AD.则ΔACD∽Δ______.它们的相似比K =_______. 

探究活动：

1、书本P115

已知△ABC,如图，如果要作与BC平行的直线把△ABC划分成两部分，使这两部分（三角形与四边形）的面积之比为1∶1该怎么作？如果要使划分成的两部分的面积之比为1∶2呢？如果要使划分成的两部分的面积之比为1∶n呢？（平行线等分线段、平行线分线段成比例定理）

2．阅读下面的短文，并解答下列问题：

　　我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．

　　如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a∶b)． 

＝（）2     ＝（）3

练习

(1)下列几何体中，一定属于相似体的是(　)

　　A．两个球体 B．两个锥体　   C．两个圆柱体D．两个长方体

(2)请归纳出相似体的三条主要性质：

①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于______；

②相似体表面积的比等于__       ____；

③相似体体积比等于___                 ．

(3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？(不考虑不同时期人体平均密度的变化)

设他的体重为x千克，根据题意得＝（）3

解得x＝60.75(千克)

三、小结

四、作业：

见作业本