2023年高考第三次模拟考试卷-数学（上海A卷）（参考答案）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

数学·参考答案

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．

2．

3．

4．

5．

6．

7．

8．

9．

10．

11．.

12．

二、选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项。

13．A

14．B

15．C

16．B

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）。

17．（本题满分14分，本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

【答案】(1)；对称中心为，；

(2).

【分析】（1）结合函数的部分图像特征可求的解析式及对称中心；

（2）根据图象变换可得的解析式，从而方程可求.

【详解】（1）根据函数的部分图像，

可得，∴.（2分）

再根据五点法作图，，∴，

故.

令，解得，此时.

所以函数的对称中心为，.（6分）

（2）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，

再向左平移个单位，得到的图像，（9分）

令，

所以，解得

故方程在的解集为.（14分）

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；

（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得.

【详解】（1）证明：因为，即 ①，

当时， ②

得，，（3分）

即，

即,

所以，且，

所以是以1为公差的等差数列. （6分）

（2）由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，（10分）

所以，

所以当或时，取得最小值，.（14分）

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意可知平面，，再证平面，即可证平面平面；

（2）设中点为G，以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，并取平面的一个法向量为，由题意可得，即可求解.

【详解】（1）证明：∵平面平面，，平面平面，

∴平面．

∵平面，∴，（3分）

又为圆O的直径，∴，

而，平面，∴平面，

∵平面，∴平面平面．（6分）

（2）设中点为G，以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

设，则，，，，

∴，，（8分）

设平面的法向量为，则，

即，令，可得

取平面的一个法向量为，（11分）

，即，解得，

则当的长为时，二面角的大小为．（14分）

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）

【答案】(1)；

(2)

(3)证明见解析，

【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点坐标得到关于的方程组，解出即可；

（2）设直线，根据向量共线关系得到联立直线与椭圆方程得到韦达定理式，结合即可解出值，则得到直线方程；

（3）首先考虑直线的斜率不存在时的情况，设直线,联立椭圆得到，根据相切关系得，化简得，再将直线与圆联立得到韦达定理式，代入两直线斜率乘积表达式化简即可得到其为定值.

【详解】（1）由题意得，，；

联立解得，则.（4分）

（2）直线与斜率不存在不合题意，设直线，

设则，

，则（6分）

，

则，解得，

则直线的方程（9分）

（3）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，

若,则易得，

则，

若,则,,则.（12分）

当直线斜率存在时,设直线,

设，直线与椭圆联立得

，

由直线与椭圆相切,则，

化简得:，

直线与圆联立:,得:，

，

而的斜率分别为,

则，

将代入得，

将代入得，

综上:为定值,该定值为.（16分）

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

【答案】(1)

(2)见解析

(3)

【分析】（1）将代入，解出切点坐标即可;

（2）当时，根据函数的单调性可以求极小值和极大值，再结合零点的存在性定理即可得证;

（3）将恒成立问题转化为最值问题，然后根据，以及的范围，结合单调性，求出最小值即可.

【详解】（1）

当时，

（2分）

设切点为

切线方程为：

代入切点，得：

，解得：；；

所以切线方程为：（4分）

（2）；

所以函数在，，，函数单调递减；

在，，函数单调递增；（6分）

且函数单调递减，

所以最多只有一个零点；

所以函数只有一个零点，且（10分）

（3）

且对任意且

即：

在，函数单调递增

，函数单调递减；（14分）

当时，

所以恒成立，实数的最大值为.（18分）

【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查满足条件的实数的最大值的求法，考查推理论证能力，考查等价转化思想，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用，属于难题。