2023年高考第三次模拟考试卷-数学（上海B卷）（全解全析）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

数学·全解全析

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。

1．若（其中i表示虚数单位），则______．

【答案】1

【分析】计算，即可得到虚部.

【详解】因为，根据复数的概念可知，虚部为1.

故答案为：1.

2．从等差数列84，80，76，…的第____项开始，以后各项均为负值．

【答案】23

【解析】根据数列的前几项得出等差数列的首项与公差，求出数列的通项公式即可求解.

【详解】由题意可知，等差数列84，80，76，…的首项为，公差为，所以该数列的通项公式为，令，得，所以该数列从第23项开始，以后各项均为负值.

故答案为：23

【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，属于基础题.

3．已知圆锥的底面半径为2，底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥的侧面积为___．

【答案】

【分析】根据条件可以求出母线长，进而可以求出结果.

【详解】

如图所示，为底面圆心，，，则，

在中由等面积可知，

即，

又因为，即，

则，

则该圆锥的侧面积为，

故答案为：.

4．方程的解是________．

【答案】

【分析】根据对数真数大于零和对数函数的单调性可直接构造不等式组求得结果.

【详解】由得：，

即，解得：.

故答案为：.

5．当时，的最小值为______．

【答案】5

【分析】将所求代数式变形为，利用基本不等式即可求解.

【详解】解：因为，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

6．已知全集，集合，则__________.

【答案】

【分析】先化简集合，再利用集合补集的定义求解即可.

【详解】由解得，

所以，所以，

故答案为：

7．已知某商品的成本和产量满足关系，该商品的销售单价和产量满足关系式，则当产量等于__________时，利润最大.

【答案】200

【解析】利润

，当时，；时，；

即在上单调递增，上单调递减，所以当时，利润最大

8．罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计.曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是__________.

【答案】

【分析】先设曲线C上的动点为，则,再令, ,,计算可得的范围.

【详解】由题意知

设曲线C上的动点为，到原点的距离为，

则，

令，则，则，

可得，所以.

故答案为： .

9．已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是_______.

【答案】

【分析】对直线分斜率存在和不存在两种情况讨论，从而得到关于的不等式，求解不等式，即可得到答案．

【详解】若，即时，直线方程可化为，此时直线不经过第二象限，满足条件；

若，直线方程可化为，此时若直线不经过第二象限，

则且，解得.

综上满足条件的实数的范围是.

故答案为：

【点睛】本题考查直线的斜截式方程，考查分类讨论思想的运用，求解时注意对斜率分两种情况进行讨论，同时注意将答案进行整合，防止错解为.

10．设表示事件发生的概率，若，则__________.

【答案】

【分析】根据题意分别求出、进而利用即可求出结果.

【详解】因为，

，

则

故答案为：.

11．已知向量，则在方向上的数量投影为___________

【答案】

【分析】根据平面向量投影的定义计算即可

【详解】向量，

， ，

所以 在 方向上的数量投影为

；

故答案为：

12．若的展开式中的系数为，则实数的值为__________.

【答案】

【分析】法一：可使用二项式展开式的通项公式，通过已知条件，使用待定系数法，求解出参数的值；

法二：可以将此二项式看成6个这样的式子乘在一起，两项和看看怎样组合，能得到，即可完成等量关系的建立，从而完成参数的求解.

【详解】法一：展开式第项

时，，，，.

故答案为：2.

法二：展开式中，要想凑出，必须取三次方，也取三次方，于是算下系数就有，.

故答案为：2.

二、选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项。

13．已知，，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；

【详解】解：若，则x，y同号，则成立，所以“”是“”的必要条件；但成立时，x，y不异号，即，所以不一定成立，故“”不是“”的充分条件．因此“”是“”的必要而不充分条件．

故选：B．

14．设，且，则（    ）

A．－1 B． C．1 D．

【答案】C

【分析】根据题意，求出，则可以得到，

，进而可得的值.

【详解】，故，

得，得到，

，

所以，，

得，，，，

则

故选：C

15．对于函数，若自变量在区间上变化时，函数值的取值范围也恰为，则称区间是函数的保值区间，区间长度为.已知定义域为的函数的表达式为，给出下列命题：①函数有且仅有个保值区间；②函数的所有保值区间长度之和为.下列说法正确的是（    ）

A．结论①成立，结论②不成立 B．结论①不成立，结论②成立

C．两个结论都成立 D．两个结论都不成立

【答案】B

【分析】分析可知，分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据函数在上的值域为求出、的值，即可得出结论.

【详解】因为，所以，

①当时，当时，，则函数在上单调递减，

由题意可得，解得；

②当时，则当时，，必有，

则，所以，函数在上递减，在上单调递增，

由，可得，

当时，，

故当时，，，

故当时，函数在上的值域为，不合乎题意；

当时，有，得，

此时，当时，，，合乎题意.

综上，有个保值区间，故①错；

所有的保值间为和，长度之和为，故②对.

故选：B.

16．若实数x,y满足，则（    ）成立．

A． B．

C． D．.

【答案】B

【分析】运用基本不等式，对条件代数式变形，逐项求解.

【详解】由 和基本不等式 （当 时等号成立），

，当 时，有 ，当 时， ，A错误；

由 （当 同号时等号成立）得： ，

，B正确；

， （当 时等号成立） ，

，C，D错误；

故选：B.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）。

17．（本题满分14分，本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，为侧棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）

【答案】（1）证明见解析  （2）

【分析】（1）推导出，，由此能证明平面．

（2）以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．

【详解】（1）∵底面是等腰直角三角形，且，

∴，

∵平面，

∴，

∵，

∴平面．

（2）以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

由（1）得是平面的一个法向量，

，，

设平面的一个法向量，

则，

取，得，

设二面角的平面角为，

则，

由图形知二面角的大小是锐角，

∴二面角的大小为．

【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及求二面角的平面角，熟记线面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

自2015年上海启动《上海绿道专项规划（2035）》至今上海已建成绿道总长度近1600公里．根据《上海市气态空间专项规划（2021—2035）》，到2035年，上海绿道总长度将超过2000公里．届时，绿道会像城市的毛细血管一样，延伸到市民生活的各个角落，绿荫卜的绿道（步道、骑行道）给市民提供了散步休憩、跑步骑行运动的生态空间．某一线品牌自行车制造商在布局线下自行车体验与销售店时随机调研了1000位市民，调研数据如表1所示．166位有意愿购买万元级运动自行车的受访者的年龄（单位：岁），在各区间内的频数记录如表2所示．

表1

表2

(1)试估计有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄（结果精确到0.1岁）．

(2)将表1的2×2列联表中的数据补充完整，并判断是否有95%的把握认为“离家附近（2千米内）有骑行绿道与万元级运动自行车消费有关”？

附：，其中．

【答案】(1)

(2)列联表见解析，有95%的把握

【分析】（1）将年龄分组区间取中间值乘以频数，全部相加后除以总人数可得平均值；

（2）利用公式求出，然后里利用表中数据比较大小后得出结论.

【详解】（1）有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄

，

即有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄约岁；

（2）列联表如下表：

由表得

，

所以有95%的把握认为“离家附近（2千米内）有骑行绿道与万元级运动自行车消费有关”.

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，半圆是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径的长为百米.为了保护景点，基地管理部门从道路上选取一点，修建参观线路,且,均与半圆相切，四边形是等腰梯形，设百米，记修建每百米参观线路的费用为万元，经测算.

（1）用表示线段的长；

（2）求修建参观线路的最低费用.

【答案】(1) （）;(2) 万元．

【详解】试题分析：（1）建立坐标系：由题意得，点E的坐标为，                                     

设直线EF的方程为（），即．因为直线EF与半圆相切，所以圆心O到直线EF的距离为，解得． 代入可得，点F的坐标为．所以，

（2）设修建该参观线路的费用为万元．① 当，，由，则在上单调递减．② 当时，，所以， 因为，所以，且当时，；当时，，所以在上单调递减；在上单调递增由①②知，取最小值为．

试题解析：

设DE与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，DQ＝QE，以OF所在

直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．

（1）方法一：由题意得，点E的坐标为，                                     

设直线EF的方程为（），

即．因为直线EF与半圆相切，所以圆心O到直线EF的距离为，解得．

代入可得，点F的坐标为．所以，

即（）．                               

方法二：设切圆于，连结，过点作，垂足为．因为，，

                 ，所以Rt△EHF≌Rt△OGF， 所以．                                 

由，                           所以

（）．                             

（2）设修建该参观线路的费用为万元．

① 当，，由，则在上单调递减．

所以当时，取最小值为；                     

② 当时，，所以， 因为，所以，且当时，；当时，，所以在上单调递减；在上单调递增．所以当时，取最小值为．

由①②知，取最小值为．                           

答：（1）的长为百米；

（2）修建该参观线路的最低费用为万元．

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）

在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．

(1)若，求，；

(2)设满足的n的最小值为，求及 （其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）；

(3)是否存在实数a，b，c，使得数列{}为等比数列？若存在，求b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)，；

(2)，；

(3)存在，详见解析.

【分析】（1）根据题中定义进行求解即可；

（2）根据“和扩充”的方法，确定和的递推关系式，利用配凑法求得的通项公式，解不等式求得的最小值，然后根据“和扩充”的定义即得；

（3）根据“和扩充”的方法，利用等比数列求和公式结合条件可得，再根据等比数列的定义和性质进行求解即可.

【详解】（1）数列1,2,3，经第1次“和扩充”后得到数列为1,3,2,5,3，

数列1,2,3，经第2次“和扩充”后得到数列为1,4,3,5,2,7,5,8,3，

所以，；

（2）数列经每1次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，

由数列经“和扩充”后的项数为，

则经第次“和扩充”后增加的项数为，

所以，所以，

由（1）得，是首项为4，公比为2的等比数列，

所以，所以，

由，即，解得，即，

所以，

数列a，b，c经过第1次“和扩充”后得到数列，且，

数列a，b，c经过第2次“和扩充”后得到数列，且，

数列a，b，c经过第3次“和扩充”后得到数列

，且，

即；

（3）因为，，，，，

所以，

，

若使为等比数列，则或，

即或，

综上，存在实数a，b，c，满足或，使得数列{}为等比数列．

【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知点分别为双曲线Γ：的左、右焦点，直线与Γ有两个不同的交点A，B．

(1)当时，求到 l 的距离；

(2)若 O 为原点，直线 l 与 Γ 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 C，D，证明；当的面积最小时，直线 CD 平行于x轴；

(3)设 P 为 x 轴上一点，是否存在实数 ，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k 的值及点 P 的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3)存在，，.

【分析】（1）由题可得焦点坐标，可得直线方程，然后利用点到直线的距离即得；

（2）求得两渐近线方程，联立方程可得，进而即得；

（3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，联立直线与椭圆方程利用韦达定理，结合条件可得AB的中点，再由，则，求解即可．

【详解】（1）由双曲线Γ：的左焦点，右焦点，

当时， ，

∴，

∴直线，

故到l的距离；

（2）由双曲线Γ：得两渐近线的方程为，

∵直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D，

∴，

由得交点C的横坐标为，

由得交点D的横坐标为，

∴，当时取等号，

所以当的面积最小时，直线CD平行于x轴；

（3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，

设，

由，消去y得，

∴且，

解得且，

，

AB的中点，

所以AB的垂直平分线方程为，

令，则，

又，则，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得，又，

故，点，

即存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时．