2023年高考第三次模拟考试卷-数学（上海B卷）（参考答案）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

数学·参考答案

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．1

2．23

3．

4．

5．5

6．

7．200

8．

9．

10．

11．

12．

二、选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项。

13．B

14．C

15．B

16．B

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）。

17．（本题满分14分，本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

【答案】（1）证明见解析  （2）

【分析】（1）推导出，，由此能证明平面．

（2）以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．

【详解】（1）∵底面是等腰直角三角形，且，

∴，

∵平面，

∴，

∵，

∴平面．（6分）

（2）以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

由（1）得是平面的一个法向量，

，，（8分）

设平面的一个法向量，

则，

取，得，

设二面角的平面角为，

则，

由图形知二面角的大小是锐角，

∴二面角的大小为．（14分）

【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及求二面角的平面角，熟记线面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

【答案】(1)

(2)列联表见解析，有95%的把握

【分析】（1）将年龄分组区间取中间值乘以频数，全部相加后除以总人数可得平均值；

（2）利用公式求出，然后里利用表中数据比较大小后得出结论.

【详解】（1）有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄

，

即有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄约岁；（6分）

（2）列联表如下表：

由表得，

所以有95%的把握认为“离家附近（2千米内）有骑行绿道与万元级运动自行车消费有关”.（14分）

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

【答案】(1) （）;(2) 万元．

【详解】试题分析：（1）建立坐标系：由题意得，点E的坐标为，                                     

设直线EF的方程为（），即．因为直线EF与半圆相切，所以圆心O到直线EF的距离为，解得． 代入可得，点F的坐标为．所以，

（2）设修建该参观线路的费用为万元．① 当，，由，则在上单调递减．② 当时，，所以， 因为，所以，且当时，；当时，，所以在上单调递减；在上单调递增由①②知，取最小值为．

试题解析：

设DE与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，DQ＝QE，以OF所在

直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．

（1）方法一：由题意得，点E的坐标为，                                     

设直线EF的方程为（），

即．因为直线EF与半圆相切，所以圆心O到直线EF的距离为，解得．

代入可得，点F的坐标为．所以，

即（）．     （6分）      

方法二：设切圆于，连结，过点作，垂足为．因为，，

                 ，所以Rt△EHF≌Rt△OGF， 所以．                                 

由，                           所以

（）．      （6分）

（2）设修建该参观线路的费用为万元．

① 当，，由，则在上单调递减．

所以当时，取最小值为；                     

② 当时，，所以， 因为，所以，且当时，；当时，，所以在上单调递减；在上单调递增．所以当时，取最小值为．

由①②知，取最小值为．                           

答：（1）的长为百米；

（2）修建该参观线路的最低费用为万元．（14分）

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）

【答案】(1)，；

(2)，；

(3)存在，详见解析.

【分析】（1）根据题中定义进行求解即可；

（2）根据“和扩充”的方法，确定和的递推关系式，利用配凑法求得的通项公式，解不等式求得的最小值，然后根据“和扩充”的定义即得；

（3）根据“和扩充”的方法，利用等比数列求和公式结合条件可得，再根据等比数列的定义和性质进行求解即可.

【详解】（1）数列1,2,3，经第1次“和扩充”后得到数列为1,3,2,5,3，

数列1,2,3，经第2次“和扩充”后得到数列为1,4,3,5,2,7,5,8,3，

所以，；（4分）

（2）数列经每1次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，

由数列经“和扩充”后的项数为，

则经第次“和扩充”后增加的项数为，

所以，所以，

由（1）得，是首项为4，公比为2的等比数列，

所以，所以，

由，即，解得，即，

所以，

数列a，b，c经过第1次“和扩充”后得到数列，且，

数列a，b，c经过第2次“和扩充”后得到数列，且，

数列a，b，c经过第3次“和扩充”后得到数列

，且，

即；（9分）

（3）因为，，，，，

所以，

，

若使为等比数列，则或，

即或，

综上，存在实数a，b，c，满足或，使得数列{}为等比数列．（16分）

【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3)存在，，.

【分析】（1）由题可得焦点坐标，可得直线方程，然后利用点到直线的距离即得；

（2）求得两渐近线方程，联立方程可得，进而即得；

（3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，联立直线与椭圆方程利用韦达定理，结合条件可得AB的中点，再由，则，求解即可．

【详解】（1）由双曲线Γ：的左焦点，右焦点，

当时， ，

∴，

∴直线，

故到l的距离；（4分）

（2）由双曲线Γ：得两渐近线的方程为，

∵直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D，

∴，

由得交点C的横坐标为，

由得交点D的横坐标为，

∴，当时取等号，

所以当的面积最小时，直线CD平行于x轴；（10分）

（3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，

设，

由，消去y得，

∴且，

解得且，

，

AB的中点，

所以AB的垂直平分线方程为，

令，则，

又，则，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得，又，

故，点，

即存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时．（18分）