2023年高考第三次模拟考试卷-数学（新高考Ⅰ卷A卷）（考试版）A4

2023年高考数学第三次模拟考试卷

高三数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．若集合，，则的元素个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．设在复平面内对应的点为，则“点在第四象限”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

3．已知是各项不相等的等差数列，若，且成等比数列，则数列的前6项和（    ）

A．84 B．144 C．288 D．110

4．已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）

A． B． C． D．

5．函数的部分图象大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ）种．

A．20 B．4 C．60 D．80

7．刍(chú)甍(méng)是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．

已知一个刍甍底边长为，底边宽为，上棱长为，高为，则它的表面积是（    ）

A．        B．        C．        D．

8．如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（    ）．

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（    ）

A．营业收入增速的中位数为 B．营业收入增速极差为

C．利润总额增速越来越小 D．利润总额增速的平均数大于

10．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用，，分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（    ）

A．，，两两互斥 B．

C．与B是相互独立事件 D．

11．已知是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连结交C于点B，则（    ）

A．C的方程为 B．

C．的周长为 D．的内切圆半径为

12．已知函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则下列结论中一定正确的是（    ）

A． B．  C． D．

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若，则_____．

14．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则______.

15．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）

参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．

16．已知函数.若，则a的取值范围是___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．如图，在四边形中，已知，，．

（1）若，求的长；

（2）求面积的最大值．

18．记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列.

（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

19．如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若为线段上一点，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

20．第届亚运会将于年月日至月日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．

（1）求这人中至多有人通过初赛的概率；

（2）求这人中至少有人参加市知识竞赛的概率；

(3)某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：

方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励元；

方案二：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元．

若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．

21．已知抛物线的焦点为，准线与抛物线的对称轴的交点为，点在抛物线上，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线交抛物线于两点，点A在轴上的投影为，直线分别与直线（为坐标原点）交于点，与直线交于点，记的面积为，的面积为，求证：．

22．已知函数．

（1）若，，求实数a的取值范围；

（2）设是函数的两个极值点，证明：．