课后素养落实(七)　直线的方向向量与平面的法向量

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若A(－1,0,2)，B(1,4,10)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)

A．(1,2,4)   B．(1,4,2)

C．(2,1,4)   D．(4,2,1)

A　[由已知得＝(1,4,10)－(－1,0,2)＝(2,4,8)＝2(1，2,4)，

故选项A中的向量与共线，是直线l的一个方向向量．]

2．(多选题)在空间直角坐标系O­xyz中，下列向量中是y轴方向向量的是(　　)

A．(0,1,0)   B．(0，－1,0)

C．(1,2,0)   D．(0,1,1)

AB　[y轴方向向量可以表示为(0，k,0)(k≠0)，

所以(1,2,0)，(0,1,1)不是y轴方向向量．]

3．已知直线l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若两直线l1∥l2，则x，y的值分别是(　　)

A．6和－10   B．－6和10

C．－6和－10   D．6和10

A　[由两直线l1∥l2，得两向量a，b平行，即＝＝，所以x，y的值分别是6和－10.]

4．已知点A(1,2,1)，B(2,3,1)，C(3,0,2)，若直线l⊥平面ABC，直线l的方向向量为a＝(2，m，k)，则实数m等于(　　)

A．－2  B．－1  C．1  D．2

A　[由题意知＝(1,1,0)，＝(2，－2,1)．

由a⊥，a⊥得所以]

5．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则y＋z等于(　　)

A．－3  B．0  C．1  D．3

B　[由题意，得＝(－1，－2－y，z－3)，

则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0.]

二、填空题

6．在空间直角坐标系O­xyz中，平面xOy的一个法向量是________．(写出一个即可)

(0,0,1)　[答案不唯一，只要与向量(0,0,1)平行的非零向量都可以．]

7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为________________．

或　[设单位法向量n0＝(x，y，z)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．

由|n0|＝1，n0·＝0，且n0·＝0，得

解得或]

8．在空间直角坐标系O­xyz中，已知平面α的一个法向量是n＝(1，－1,2)，且平面α过点A(0,3,1)．若P(x，y，z)是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是________．

x－y＋2z＋1＝0　[由题意知·n＝0，即x－y＋2z＋1＝0.]

三、解答题

9．在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,0)，B(1,2,3)，P是线段AB上的一点，且满足AP∶PB＝1∶2.试求AB的一个方向向量和点P的坐标．

[解]　＝(－1，－1,3)是直线AB的一个方向向量，

由AP∶PB＝1∶2，得＝.

设点P(x，y，z)，则(x－2，y－3，z)＝(－1，－1,3)．

x－2＝－，y－3＝－，z＝1，∴x＝，y＝，z＝1.

∴P.

10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：是平面B1D1C的法向量．

[证明]　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1，1,1)，C1(0,1,1)，

所以＝(－1,1,1)，＝(1,1,0)，＝(1,0,1)，

所以·＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0，

·＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0，

所以⊥，⊥，即AC1⊥D1B1，AC1⊥CB1，

又B1D1∩CB1＝B1，B1D1，CB1⊂平面B1D1C，所以AC1⊥平面B1D1C，

所以是平面B1D1C的法向量．

11．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(　　)

A．(1，－4,2)   B.

C.   D．(0，－1,1)

D　[因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，

若n是平面α的一个法向量，则必须满足

把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.]

12．(多选题)已知向量＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)

A.   B.

C.   D.

AB　[设平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)，

则由题意得取z＝1，得x＝，y＝－1，

则n＝，|n|＝，

所以平面ABC的一个单位法向量是或.]

13．已知点A，B，C的坐标分别是(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为________．

　[∵A(0,1,0)，B(－1,0,1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，

∴＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，＝(－x,1，－z)．

∵⊥，⊥，

∴·＝(－x,1，－z)·(－1，－1,1)＝0，

·＝(－x,1，－z)·(2,0,1)＝0，

∴∴

∴点P的坐标为.]

14．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为________．

90°　[建立如图所示的空间直角坐标系，

设BB1＝2，则AB＝2，点B(0，－，0)，C1(0，，2)，B1(0，－，2)，A(－，0,0)，

＝(，－，2)，＝(0,2，2)，

·＝0－4＋4＝0，

所以AB1与C1B所成角的大小为90°.]

15．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点．

(1)求BM，BN的长；

(2)求△BMN的面积．

[解]　以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)．则B(0,1,0)，M(1,0,1)，N.

(1)∵＝(1，－1,1)，＝，

∴||＝＝，

||＝＝.

故BM的长为，BN的长为.

(2)∵cos∠MBN＝cos〈，〉＝＝＝，

∴sin∠MBN＝＝，

故S△BMN＝·|BM|·|BN|·sin∠MBN＝×××＝.

即△BMN的面积为.