数学6.3空间向量的应用教学设计

第6章 空间向量与立体几何

6.1.1空间向量的线性运算

1．运用类比方法，理解向量及其运算由平面向空间推广的过程；

2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；

3．理解空间向量共线的充要条件.

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：应用空间向量的线性运算及其性质解决简单的立体几何问题.

一、新课导入

回顾：在平面中，我们如何定义向量？平面向量都有哪些运，运算法则又是什么？

答：向量的定义：我们把既有大小又有方向的量称为向量.

向量的运算：加法、减法、数乘、数量积.

运算法则：三角形法则、平行四边形法则.

想一想：共线向量的概念及两个向量共线的充要条件是什么？

答：共线向量：平行向量又称共线向量.

向量共线的充要条件：存在唯一一个实数λ，使得.

二、新知探究

问题1：类比平面向量的定义及运算和性质，是否能猜测空间向量的定义、表示方法及运算和性质？

答：空间向量的定义：在空间，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量，叫做空间向量.

空间向量的表示方法：与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示.凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示相同的向量.

空间向量的运算：加法、减法、数乘、数量积.

运算法则：三角形法则、平行四边形法则.

问题2：如何证明空间向量的运算性质与平面向量的类似？

答：如图，已知空间向量，在空间任取一点O，作.由O,A,B三点确定一个平面或三点共线可知道,空间任意两个向量都可以用平面内的两条有向线段来表示.

因此,与平面向量的运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为

加法：

减法：

数乘：

如图所示:

问题3：空间向量的运算律有哪些？

想一想：空间向量的运算律是否可以参考平面向量的运算律？

答：可以.

同样,空间向量的加法和数乘运算满足以下运算律：

(1)   

(2)   

(3)   

问题4：空间向量加法结合律如何证明？

加法结合律证明：(可借助空间四边形)

下定义：

向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.向量与平行,记作.(共线向量的方向相同或相反)

我们规定零向量与任意向量共线.

平面向量共线的充要条件在空间也是成立的,即有

共线向量定理：

对空间任意两个向量, 与共线的充要条件是存在实数λ，使.

【概念巩固】

练1：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，判断下列说法是否正确？

（1）          

（2）向量可以平移到同一平面内  

（3）向量、 可以平移到同一平面内   

（4）     

（5）

追问1：相等向量的定义？

答：方向相同且长度相等的有向线段都表示相等向量.

追问2：怎样进行空间两向量的加法减法运算？

答：第一步：将两个向量平移到同一平面内

第二步：运用三角形法则和平行四边形法则即可（减去一个向量等于加上这个向量的相反向量）所以，（1）（2）（4）（5）对，（3）错.

设计意图：通过对空间向量的平移，使学生更好的理解空间向量与平面向量之间的共同点，类推到空间向量的基本运算及运算方式与平面向量相同，并通过证明空间向量的加法结合律等，来引出空间向量的线性运算及共线向量定理.再通过实例，来巩固空间向量的相关概念.

三、应用举例

例1 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)       

(2)       

(3)       

分析：空间向量的运算法则有哪些？

答：三角形法则和平行四边形法则.

解：(1) =

    (2) 因为M是BB1的中点，

       所以,

       又,

       所以.

(3) ,

      向量、、如图所示.

例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别在线段A1B,D1B1上，且, ,P为棱B1C1的中点，求证：MN∥BP.

证明：

      因为，

      所以

      又因为P为棱B1C1的中点，所以

     从而与为共线向量.

     因为直线MN与BP不重合，所以MN∥BP.

设计意图：通过例题练习，对空间向量线性运算及其运算律的相关概念进行公布，并让学生学会应用空间向量的线性运算及其性质解决简单的立体几何问题.

方法总结：向量加法应用三角形法则与平行四边形法则，减去一个向量就是加上这个向量的相反向量，向量的数乘就是实数与向量的积，向量的线性运算结果均为一个向量.

四、课堂练习

1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为是（         ）.

①            

②            

③            

④            

2．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD1的中点，N是BD的中点，判断与是否共线？

参考答案：

1．         解：①

②

③

④

所以选①②

2．         解：连接AC

∵M，N分别是AD1，BD的中点

  四边形ABCD为平行四边形

∴N为AC的中点

∴

∴ 与共线.

五、课堂小结

（1）空间向量的定义：在空间，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量，叫做空间向量．

（2）空间向量的运算法则：三角形法则和平行四边形法则.

（3）向量与平行,记作∥.(共线向量的方向相同或相反).

我们规定零向量与任意向量共线.

（4）共线向量定理：

对空间任意两个向量, 与共线的充要条件是存在实数λ，使.

六、布置作业

教材第7页练习第1，2题．