2023届高考数学二轮复习专题6解三角形作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题6解三角形作业含答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题）
1. 如果 D，C，B 在地平面同一直线上，DC=10 m，从 D，C 两地测得 A 点的仰角分别为 30∘ 和 45∘，则 A 点离地面的高 AB 等于
A. 10 mB. 53 mC. 53-1 mD. 53+1 m
2. 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b3csB=asinA，则 csB=
A. -12B. 12C. -32D. 32
3. 在 △ABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 的对边，若 acsA=bcsB=csinC，则 △ABC 是
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形
4. 在 △ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2-b2=3bc，sinC=23sinB，则 A=
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
5. 在 △ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2+b2-c2=ab=3，则 △ABC 的面积为
A. 34B. 34C. 32D. 32
6. 在 △ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边．若 bsinA=3csinB，a=3，csB=23，则 b=
A. 14B. 6C. 14D. 6
7. 已知 △ABC 中，a+b+csinA+sinB-sinC=asinB，其中 A，B，C 为 △ABC 的内角，a，b，c 分别为 A，B，C 的对边，则 C=
A. π3B. 2π3C. 3π4D. 5π6
8. △ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 csA=78，c-a=2，b=3，则 a=
A. 2B. 52C. 3D. 72
9. 在 △ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边 AC 上的高为
A. 322B. 332C. 32D. 33
10. 在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A，B，C 成等差数列，2a，2b，3c 成等比数列，则 csAcsC=
A. 0B. 16C. 12D. 23
11. 在 △ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcsC=3acsB-ccsB，BA⋅BC=2，则 △ABC 的面积为
A. 2B. 32C. 22D. 42
12. 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a=7，b=3，c=2，则 ∠A=
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
二、填空题（共4小题）
13. 在 △ABC 中，已知 csA=35，csB=513，AC=3，则 AB= ．
14. 在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2=b2+14c2，则 acsBc= ．
15. 在 △ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，如果 △ABC 的面积等于 8，a=5，tanB=-43，那么 a+b+csinA+sinB+sinC= ．
16. 已知平面四边形 ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且 AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则平面四边形 ABCD 面积的最大值为 ．
三、解答题（共6小题）
17. △ABC 中，角 A，B，C 所对边分别是 a，b，c，且 csA=13．
（1）求 cs2B+C2+cs2A 的值；
（2）若 a=3，求 △ABC 面积的最大值．
18. 已知 A，B，C，D 为同一平面上的四个点，且满足 AB=2，BC=CD=DA=1，设 ∠BAD=θ，△ABD 的面积为 S，△BCD 的面积为 T．
（1）当 θ=π3 时，求 T 的值；
（2）当 S=T 时，求 csθ 的值．
19. 如图 △ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，且 AD⋅AC=0，sin∠BAC=223，AB=32，BD=3．
（1）求 AD 的长；
（2）求 csC．
20. △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2bcsC+c=2a．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 BD 为 AC 边上的中线，csA=17，BD=1292，求 △ABC 的面积．
21. 在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 acsB+bcsA=2ccsC．
（1）求 C；
（2）若 △ABC 的面积为 23，a+b=6，求 ∠ACB 的角平分线 CD 的长度．
22. 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，D，E，F 分别在三边 AB，BC 和 CA 上，且 D 为 AB 的中点，∠EDF=90∘，∠BDE=θ0∘<θ<90∘．
（1）当 tan∠DEF=32 时，求 θ 的大小；
（2）求 △DEF 的面积 S 的最小值及使得 S 取最小值时 θ 的值．
答案
1. D【解析】ABtan30∘-ABtan45∘=10，解得 AB=53+1．
2. B【解析】由正弦定理，得：b3csB=asinA，所以 sinB3csB=sinAsinA．
所以 tanB=3，03. C【解析】acsA=bcsB=csinC，
所以 sinAcsA=sinBcsB=sinCsinC=1，
所以 tanA=tanB=1，
所以 A=B，
所以 △ABC 是等腰三角形．
4. A【解析】因为 sinC=23sinB，
所以 c=23b，
因为 a2-b2=3bc，
所以 csA=b2+c2-a22bc=23bc-3bc2bc=32．
因为 A 是三角形的内角，
所以 A=30∘．
5. B
【解析】在 △ABC 中，
因为 a2+b2-c2=ab=3，
所以 csC=a2+b2-c22ab=12，
所以 sinC=1-cs2C=32．
所以
S△ABC=12absinC=12×3×32=34.
6. D【解析】bsinA=3csinB⇒ab=3bc⇒a=3c⇒c=1，所以 b2=a2+c2-2accsB=9+1-2×3×1×23=6，b=6．
7. B【解析】因为 a+b+csinA+sinB-sinC=asinB，
由正弦定理可得，a+b+ca+b-c=ab，整理得 c2=a2+b2+ab，
所以 csC=-12，C=2π3．
8. A【解析】由余弦定理可知，
a2=b2+c2-2bccsA⇒a2=9+a+22-2⋅3⋅a+2⋅78⇒a=2.
9. B【解析】由题可得 csA=AB2+AC2-BC22AB⋅AC=12，
所以 sinA=1-122=32，
所以边 AC 上的高 h=ABsinA=332．
10. A
【解析】由题意可得 A，B，C 成等差数列，可得 B=60∘，
2a，2b，3c 成等比数列，2b2=3ac，
由正弦定理可得 32=3sinAsinC，
所以 sinAsinC=12，
所以 csA+C=csAcsC-sinAsinC，
因为 -12=csAcsC-12，
所以 csAcsC=0．
11. C【解析】因为 bcsC=3acsB-ccsB，
由三角形的正弦定理得 sinBcsC=3sinAcsB-sinCcsB，
即
sinBcsC+sinCcsB=3sinAcsB⇒sinB+C=3sinAcsB,⇒sinA=3sinAcsB⇒csB=13.
所以 sinB=1-cs2B=1-19=223，
由 BA⋅BC=2⇒AB×BC×csB=2⇒AB×BC=6，
S△ABC=12AB×BC×sinB=12×6×223=22.
12. C
【解析】由余弦定理得 csA=b2+c2-a22bc=9+4-72×2×2=12，
又因为 A∈0∘,180∘，得 A=60∘．
13. 145
【解析】由已知，sinA=45，sinB=1213，
则 sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB=5665．
由正弦定理，得 AB=ACsinCsinB=145．
14. 58
【解析】由余弦定理可得 a2=b2+14c2=a2+c2-2accsB+14c2，所以 2accsB=54c2，所以 acsBc=58．
15. 5654
【解析】因为 tanB=-43，所以 sinB=45，csB=-35，因为 a=5，S△ABC=8，所以 12×5c×45=8，解得 c=4，由余弦定理，得 b2=25+16-2×5×4×-35=65，即 b=65，由正弦定理，得 a+b+csinA+sinB+sinC=bsinB=6545=5654．
16. 230
【解析】设 AC=x, 在 △ABC 中，由余弦定理有 x2=22+42-2×2×4csB=20-16csB，
同理，在 △ADC 中，由余弦定理有 x2=32+52-2×3×5csD=34-30csD，
所以 15csD-8csB=7⋯①．
又平面四边形 ABCD 面积为 S=12×2×4sinB+12×3×5sinD=128sinB+15sinD，
所以 8sinB+15sinD=2s⋯②．
①② 平方相加得 64+225+240sinBsinD-csBcsD=49+4S2，所以 -240csB+D=4S2-240，
当 B+D=π 时，S 取最大值 230．
17. （1） cs2B+C2+cs2A=1+csB+C2+2cs2A-1=12-csA2+2cs2A-1=12-12⋅13+2132-1=-49.
（2） 由余弦定理，
32=a2=b2+c2-2bccsA=b2+c2-23bc≥2bc-23bc=43bc.
所以 bc≤94，
当且仅当 b=c=32 时 bc 有最大值 94，
csA=13，A∈0,π，
sinA=1-cs2A=1-132=223，
所以 S△ABCmax=12bcsinA=12⋅94⋅223=324．
18. （1） 在 △ABD 中，由余弦定理得
BD2=AB2+AD2-2AB⋅ADcsθ=12+22-2×1×2×12=3,
在 △BCD 中，由余弦定理得 cs∠BCD=BC2+CD2-BD22BC⋅CD=12+12-322×1×1=-12，
因为 ∠BCD∈0∘,180∘，
所以 ∠BCD=120∘．
所以 T=12BC⋅CDsin∠BCD=12×1×1×32=34．
（2） S=12AD⋅ABsin∠BAD=sinθ．
BD2=AB2+AD2-2AB⋅ADcsθ=5-4csθ，
cs∠BCD=BC2+CD2-BD22BC⋅CD=4csθ-32，
T=12BC⋅CDsin∠BCD=12sin∠BCD，
因为 S=T，
所以 sinθ=12sin∠BCD，
所以 4sin2θ=sin2∠BCD=1-cs2∠BCD=1-4csθ-322，
所以 csθ=78．
19. （1） 因为 AD⊥AC，
所以 sin∠BAC=sinπ2+∠BAD=cs∠BAD，
所以 cs∠BAD=223．
在 △ABD 中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2-2AB⋅AD⋅cs∠BAD，
即 AD2-8AD+15=0，解之得 AD=5 或 AD=3，
由于 AB>AD，
所以 AD=3．
（2） 在 △ABD 中，由正弦定理可知，BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，
又由 cs∠BAD=223 可知 sin∠BAD=13，
所以 sin∠ADB=ABsin∠BADBD=63，
因为 ∠ADB=∠DAC+∠C=π2+∠C，
即 csC=63．
20. （1） 2bcsC+c=2a，由正弦定理，得 2sinBcsC+sinC=2sinA，
因为 A+B+C=π，
所以 sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinC，2sinBcsC+sinC=2sinBcsC+csBsinC，sinC=2csBsinC．
因为 0因为 0 （2） 在三角形 ABD 中，由余弦定理得 12922=c2+b22-2c⋅b2csA，
所以 1294=c2+b24-17bc. ⋯⋯①
在三角形 ABC 中，由正弦定理得 csinC=bsinB，
由已知得 sinA=437，
所以 sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB=5314，
所以 c=57b. ⋯⋯②
由 ①② 解得 b=7,c=5.
所以 S△ABC=12bcsinA=103．
21. （1） 由正弦定理，acsB+bcsA=2ccsC，
可得 sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsC，
所以 sinA+B=2sinCcsC，
所以 sinC=2sinCcsC，
因为 0所以 csC=12，故 C=π3．
（2） 由已知 S=12absinC=34ab=23，
所以 ab=8，又 a+b=6，
解得 a=2,b=4 或 a=4,b=2.
当 a=2,b=4 时，由余弦定理可知 c2=4+16-2×2×4×12=12，
所以 c=23．
所以 b2=a2+c2，△ABC 为直角三角形，∠B=π2．
因为 CD 平分 ∠ACB，
所以 ∠BCD=π6．
在 Rt△BCD 中，CD=2csπ6=433．
当 a=4,b=2 时，同理可得 CD=2csπ6=433．
所以 ∠ACB 的角平分线为 CD 长为 433．
22. （1） 在 △BDE 中，由正弦定理得 DE=BDsin60∘sin120∘-θ=32sin60∘+θ，
在 △ADF 中，由正弦定理得 DF=ADsin60∘sin30∘+θ=32sin30∘+θ．
由 tan∠DEF=32，得 sin60∘+θsin30∘+θ=32，
整理得 tanθ=3，
所以 θ=60∘．
（2） S=12DE⋅DF=38sin60∘+θsin30∘+θ=323csθ+sinθcsθ+3sinθ=323cs2θ+sin2θ+4sinθcsθ=323+2sin2θ.
当 θ=45∘ 时，S 取最小值 323+2=6-332．