2023届宁夏回族自治区银川一中高三二模数学（文）试题含解析

2023届宁夏回族自治区银川一中高三二模数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由对数函数的定义域求得B，再根据并集的定义求得结果.

【详解】由题意可得：

故选：D

2．已知向量，，，若，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】由向量的坐标运算计算即可.

【详解】由题意，得，

所以，解得，

所以.

故选：C.

3．某单位职工老年人有60人，中年人有100人，青年人有40人，为了了解职工的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】根据分层抽样的概念计算即可.

【详解】由题意可得抽查的老年人人数为：.

故选：A

4．函数的部分图象大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.

【详解】因为的定义域为R.定义域关于原点对称，

，

所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D，

当时，令可得或，

所以时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A，

故选：C.

5．从甲、乙、丙、丁四名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用古典概型的概率求解.

【详解】解：从甲、乙、丙、丁四名同学中选2人的基本事件有（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（乙、丙），（乙、丁），（丙、丁），共6种，

甲被选中的基本事件有（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），共3种，

所以甲被选中的概率为，

故选：D

6．若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的等于．

A．20 B．21 C．22 D．23

【答案】C

【详解】试题分析：由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：①被3除余1，②被5除余2，最小为两位数，所输出的，故选C.

【解析】程序框图.

【名师点睛】本题考查程序框图，属中档题；识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点.解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答.对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景.

7．若实数，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据线性规划的方法作出可行域，数形结合即可.

【详解】如图所示，易得可行域（图中阴影部分），故当时，取得最小值-6.

故选：B

8．直线与圆的位置关系为（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

【答案】C

【分析】先求出直线过的定点，再通过定点和圆的位置关系来确定直线与圆的位置关系.

【详解】由直线得，

令，得，

故直线恒过点，

又，

即点在圆内，

故直线与圆的位置关系为相交.

故选：C.

9．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.

【解析】三角函数图像与性质

10．已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由等差和等比数列通项公式可推导得到的通项公式，利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得结果.

【详解】是以为首项，为公比的等比数列，，

是以为首项，为公差的等差数列，，，

.

故选：A.

11．已知焦点在轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，则双曲线的离心率是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】由题意求出双曲线的一条渐近线的倾斜角，可得渐近线的斜率，根据离心率的计算公式可得答案.

【详解】由题意设一条渐近线的倾斜角为，

则另一条渐近线的倾斜角为，由双曲对称性可得，

则一条渐近线的斜率为，

设双曲线的长半轴长为a，短半轴长为b，则，

故离心率为，

故选：A

12．如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠面积公式为，球缺的体积公式为，其中R为球的半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为，则这两个球缺的体积之比为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件求得，，代入体积公式计算即可.

【详解】设小球缺的高为，大球缺的高为，则，①

由题意可得：，即：，②

所以由①②得：，，

所以小球缺的体积，

大球缺的体积，

所以小球缺与大球缺体积之比为.

故选：C.

二、填空题

13．已知复数（是虚数单位），则____________．

【答案】

【分析】由题意结合复数的运算法则求解复数的模即可.

【详解】由题意结合复数的求模公式和性质可得：

.

【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14．已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数______．

【答案】2

【分析】由函数是幂函数，则，解出的值，再验证函数是否为偶函数，得出答案.

【详解】由函数是幂函数，则，得或，

当时，函数，其定义域为，，则是偶函数，满足条件；

当时，函数是奇函数，不合题意.

故答案为：2.

15．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线AB与CD的夹角为__________．

【答案】

【分析】把展开图恢复到原正方体，得到AEDC，从而得到∠BAE或其补角是异面直线AB与CD所成的角，从而可解.

【详解】

如图所示，把展开图恢复到原正方体．

连接AE，BE．由正方体可得且，

∴四边形ADCE是平行四边形，∴AEDC．

∴或其补角是异面直线AB与CD所成的角．

由正方体可得：，∴是等边三角形，∴．

∴异面直线AB与CD所成的角是60°．

故答案为：60°

16．已知数列的前项和为，，且（为常数）．若数列满足，且，则满足条件的的取值集合为________．

【答案】

【分析】首先利用已知条件求出的值，进一步求出数列的通项公式，

再利用因式分解的方法求出结果.

【详解】当时，.又，

所以，解得.所以，

所以．所以，即，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，

另时，也满足上式，

所以数列的通项公式为.

又，所以，

所以

又，所以，解得.又，

所以满足条件的n的取值集合为．

故答案为：

三、解答题

17．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.

（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

【答案】(1) ，；(2) ，.

【分析】(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.

【详解】(1)由题得，解得，由，解得.

(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，

乙离子残留百分比的平均值为

【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.

18．在中，角，，的对边分别是，，，已知．

(1)求角的大小；

(2)若，，为的中点，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得的大小.

（2）利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求得.

【详解】（1），结合余弦定理，

可得，整理得，

所以．

又，所以．

（2）因为．在中，据余弦定理可得：

，故．

又是的中点，故，

所以，故．

19．如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径．

(1)弦上是否存在点，使得∥平面，请说明理由；

(2)若，，求点到平面的距离．

【答案】(1)存在；理由见解析

(2)

【分析】（1）当点D为的中点时，平面，根据面面平行的判定定理、性质定理分析证明；

（2）利用等体积法，则即可求得结果.

【详解】（1）当点为的中点时，平面，证明如下：

取的中点，连接，

，分别为，的中点，则，

平面，平面，平面，

又，平面，平面，平面，

，，平面，平面平面，

由于平面，故平面．

（2）中，，，则，可得，

中，，则，

中，，则，

中，,

则，，

设点到平面的距离为，

由等体积法得：，即，解得．

所以点到平面的距离为.

20．设曲线过两点，直线与曲线交于两点，与直线交于点.

（1）求曲线的方程；

（2）记直线的斜率分别为，求证：，其中为定值.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）由已知建立方程组可求得曲线的方程；

（2）令，则，联立整理得，设，，表示，，可求得定值．

【详解】解：（1）由已知得，解得，

所以曲线的方程为；

（2）令，则，联立，整理得，

设，则，

∴，

，

又，

∴，∴等于定值2，得证.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合问题，关键在于由直线的方程与椭圆的方程联立后，由根与系数的关系表示直线的斜率，求得定值．

21．已知函数.

(1)若是的极值点，求的单调区间和极值；

(2)若恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）先求出a的值，利用导数求出单调区间和极值；

（2）对a分类讨论：i.；ii. ；iii. ；iv. ；分别讨论a的取值范围，即可求解.

【详解】（1）函数定义域为，.

因为是的极值点，所以，解得：.

此时.

令，解得：或.

列表得：

所以在上单增，在上单减，在上单增.

所以的极大值为；的极小值为；

即的增区间为，；减区间为.

的极大值为；的极小值为.

（2）恒成立，即时，恒成立.

令，则.

i.当时，由得：，所以的单减区间为；由得：，所以的单增区间为，故，得；

ii. 当时，由得：，所以的单减区间为；由得：或，所以的单增区间为，.此时，不合题意；

iii. 当时， 恒成立，所以在R上单调递增，此时，不合题意；

iv. 当时，由得：，所以的单减区间为；由得：或，所以的单增区间为，，此时，不合题意；

综上所述：恒成立，a的取值范围为.

【点睛】导数的应用主要有：

（1）利用导函数几何意义求切线方程；

（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；

（3）利用导数求参数的取值范围.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，常数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.

(1)写出的极坐标方程和的直角坐标方程；

(2)若直线和相交于两点，以为直径的圆与直线相切，求的值.

【答案】(1)的极坐标方程为，，的直角坐标方程为

(2)

【分析】（1）消去参数得到的普通方程，再利用公式得到极坐标方程，注意定义域，再求出的直角坐标方程；

（2）将代入的极坐标方程，求出的坐标，得到为直径的圆的圆心和半径，根据相切关系得到方程，求出答案.

【详解】（1）将曲线的参数方程消去，得的普通方程为，

且因为，所以，

将，，代入，

得，即，，即为的极坐标方程，

由直线的方程化简得，

化简得，即为的直角坐标方程.

（2）将直线代入，

得，即.

故以为直径的圆圆心为，半径.

圆心到直线的距离，由已知得，解得.

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若的最小值为2，且，求的最小值．

【答案】(1)

(2)9

【分析】（1）根据零点分区间，分类求解即可，

（2）根据绝对值三角不等关系可得，进而结合基本不等式即可求解.

【详解】（1）当时，等价于，

当时，，则，

当时，，则，

当时，，则，

综上所述，不等式的解集为．

（2），

当且仅当等号成立，

，即，

，，

，

当且仅当，即，即，时，等号成立，

故的最小值为9