2022届宁夏回族自治区银川一中高考三模数学（理）试题含解析

绝密★启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题卷

( 银川一中第三次模拟考试 )

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（       ）

A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤

2．在下列命题中，①若为复数，则为非负数；②互为共轭的两个复数的差为纯虚数；③若（，），则（是虚数单位），一定正确的个数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．已知，则的取值范围为（        ）

A． B． C． D．

4．已知水平放置的平面四边形，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则的周长为（       ）

A．2 B．6 C． D．8

5．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（       ）

A． B． C． D．

6．已知函数，则图象为下图的函数可能是（       ）

A． B．

C． D．

7．将6名学生分成2个小组，参加数学建模竞赛活动，每个小组由3名学生组成，则学生甲､乙在同一组的概率为（       ）

A． B． C． D．

8．四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，M为线段HG上一动点，则的最大值为（       ）

A．8 B．16 C． D．32

9．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．已知过抛物线焦点的直线与交于，两点，交圆于，两点，其中，位于第一象限，则的值不可能为（       ）

A．6 B．5 C．4 D．3

11．已知实数满足，，则的最小值为（     ）

A． B．1 C． D．2

12．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．下列说法错误的是（       ）

A．从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为

B．

C．使得不等式成立的的最大值为4

D．数列的前项和

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．设数列的前项和为，，则_____.

14．过椭圆（）的左焦点 作x 轴的垂线交椭圆于P， 为右焦点，若,则椭圆的离心率为________．

15．如图，在长方体中，，，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为________．

16．锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，有，且，则的取值范围为___________.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分)

17．在创建“全国文明城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：

（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）.

①求的值；

②利用该正态分布，求或；

（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.

参考数据与公式：.若，则，，.

18．在四边形中，，.

（1）若，求四边形的面积；

（2）记和的面积分别为和，求的最大值.

19．如图，在四棱锥中，平面，，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）长为何值时，直线与平面所成角最大？并求此时该角的正弦值．

20．已知函数，其中

(1)若有两个极值点，记为

①求的取值范围；

②求证：；

(2)求证：对任意恒有

21．如图，已知和抛物线是圆上一点，M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点．

（1）当直线与圆相切，且时，求的值；

（2）过P作抛物线的两条切线分别为切点，求证：存在两个，使得面积等于．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)将曲线和直线化为直角坐标方程；

(2)过原点引一条射线，分别交曲线和直线于，两点，射线上另有一点满足，求点的轨迹方程.

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知函数的最大值为M，正实数m，n满足m+n=M.

(1)若不等式有解，求a的取值范围；

(2)当时，对任意正实数p，q，证明：.

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.

【详解】

中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；

空集是任一集合的子集，所以正确；

是的子集，所以错误；

任何集合是其本身的子集，所以正确；

a是的元素，所以正确.

故选：A.

2．A

【解析】

【分析】

①举出反例即可判断；②结合复数的减法运算以及复数的类型即可判断；③根据虚数不能比较大小即可直接判断.

【详解】

①若,则，故①错误；②设，则，所以，若，则差为0，若，则差为纯虚数，故②错误；③虚数不能比较大小，故③错误；

故选：A.

3．C

【解析】

【分析】

由不等式的性质求解

【详解】

，

故，，得

故选：C

4．D

【解析】

根据斜二测画法可换元原图形，根据原图形计算周长即可.

【详解】

由直观图可得原图形如图，

根据斜二测画法可知，,

在中, ,

又,

所以四边形的周长为,

故选：D

5．D

【解析】

【分析】

根据程序框图的循环结构，依次计算，即得解.

【详解】

初始值：

满足：

满足：

满足：

……

满足：

输出：

故选：D

【点睛】

本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题.

6．D

【解析】

【分析】

根据函数图象得到函数为奇函数，根据选项中的函数奇偶性，可得排除A、B；求得函数的导数，结合函数的单调性，可排除C项，即可求解.

【详解】

由题意，函数，根据函数图象可得函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，

对于A中，函数不是奇函数，所以A不符合题意；

对于B中，函数不是奇函数，所以B不符合题意；

对于C中，函数此时函数为奇函数，

又由，当时，，此时函数在区间单调递增，而图象中先增后减，所以C不符合题意.

故选：D.

7．C

【解析】

【分析】

由于6名学生平均分2组的所有分法有，而甲､乙在同一组的分法有，然后利用古典概型的概率公式求解即可

【详解】

解：由题意得6名学生平均分2组的所有分法有，而甲､乙在同一组的分法有，

所以所求概率为，

故选：C.

8．B

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，标出四个点的坐标，写出向量的坐标，利用坐标表示，结合变量的范围，即得解

【详解】

如图所示以为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意

，其中

因此：

因此当时，的最大值为16.

故选：B

【点睛】

本题考查了坐标法求解向量的数量积，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算能力，属于中档题

9．C

【解析】

【详解】

解：满足题意时，取到2红1白或者2白1红，据此可得，记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为： .

本题选择C选项.

10．D

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的性质及基本不等式的应用，属于中档题．

设PQ的方程为可得，可得，利用基本不等式求得最小值，从而作出判定．

【详解】

易得抛物线的焦点,

设，，PQ的方程为，

．

，，则．

，

则．

故选：D．

【点睛】

PQ的方程为的形式，包括了斜率不存在的情况，可以避免分类讨论.

11．D

【解析】

【分析】

理解原代数式的含义，转化为函数形式，再分析其几何意义，构造函数即可求解.

【详解】

，

令 ，则，

其几何意义为点A 与点 之间距离的平方，

设 ，则点A和B分别在 和 的图像上，如下图，

显然 和互为反函数，其图像关于y=x对称，

则A与B的最短距离必然在直线y=x的垂线上，点A与点B关于y=x对称，

不妨设 ，则 ，

，设 ， ，

当 ， ，在x=1处取得最小值 ，

即 ，∴当 取最小值时，即是 取得最小值，

的最小值为 ；

故选：D.

12．C

【解析】

【分析】

找到规律，得到，推导出等比数列，求出通项公式，判断B选项，进而得到从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和，判断A选项，得到的通项公式，解不等式，判断C选项，利用等比数列前n项和公式进行判断D选项.

【详解】

由题可得，，，……，，

则，所以数列是以4为首项， 为公比的等比数列，则，显然B正确；

由题意可得：，即，，……，，

于是，为等比数列，

对A：连续三个正方形面积之和，A正确；

对C：令，则，而，C错误；

对D：，D正确．

故选：C

13．

【解析】

【分析】

利用求得.

【详解】

当时，，

当时，，

所以，

也符合上式，

所以.

故答案为：

14．

【解析】

【详解】

分析：把代入椭圆方程得P点坐标，进而根据推断出，整理得出，进而求得椭圆的离心率e的大小.

详解：由题意知点P的坐标为或，因为，所以，即，所以，所以或（舍去），故答案是.

点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在解题的过程中，需要应用点在椭圆上的条件为点的坐标满足椭圆的方程，代入求得P点的坐标，根据角的大小，得到边之间的关系，从而建立关于a,c的等量关系式，从而将其转化为关于e的方程，求解即可注意其取值范围，做相应的取舍.

15．2

【解析】

【分析】

连接，得出点、、在平面中，问题转化为在平面内直线上取一点，求点到定点的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，求出点关于直线的对称点的坐标，则答案可求．

【详解】

连接，则，点、、在平面中，

且，，，

如图1所示；在△中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，

如图2所示，则，，；

设点关于直线的对称点为，

的方程为，①

，直线的方程为，②

由①②组成方程组，解得，，

直线与的交点，．

对称点，

．

则的最小值为2．

故答案为：2．

16．

【解析】

【分析】

先利用三角函数恒等变形求出，利用正弦定理表示出，用三角函数求出的取值范围.

【详解】

因为，

所以.

因为,所以，所以.

所以.

因为为锐角三角形，所以，所以,所以.

所以，即.

因为为锐角三角形，所以，解得：

由正弦定理得：，.

所以.

因为，所以，所以.

因为，所以，

所以，所以.

即

在中，由两边之和大于第三边，所以.

综上所述：.

故答案为：

【点睛】

解三角形的最值问题包括两类：

（1）利用正弦定理转化为三角函数求最值；

（2）利用余弦定理转化为基本不等式求最值．

17．（1）①；②；（2）分布列答案见解析，数学期望为.

【解析】

【分析】

（1）①将每组左端点值乘以对应的频率，相加即可得出的值；

②计算得出，，利用原则可求得或的值；

（2）分析可知随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.

【详解】

（1）①；

②，所以，，，

所以，或

；

（2），由题意可知随机变量的可能取值有、、、、，

，，，

，，

.

18．（1）；（2）最大值为.

【解析】

（1）连接，利用余弦定理求得，利用余弦定理求得，进而求得，然后利用三角形的面积公式求得和的面积，相加即可得出四边形的面积；

（2）设，可得出，，利用余弦定理求出，进而可得而出关于的表达式，再将转化为的三角函数，利用二次函数的基本性质可得出的最大值.

【详解】

（1）连接，由余弦定理得，，

在中，，，由余弦定理得，

，

可得，，

故四边形面积为；

（2）设，在中，有，

由余弦定理得，

在中，有，，

故有，

即当时，有最大值.

【点睛】

本题考查三角形中的几何计算，考查四边形面积及其最值的计算，解答的关键就是将面积表示为某角为自变量三角函数，考查计算能力，属于中等题.

19．（1）证明见解析；（2），直线与平面所成角最大，此时该角的正弦值为.

【解析】

（1）根据已知条件，得到，再利用正切函数的性质，

求得，得到，进而可证得平面平面；

（2）建立空间坐标系，得到，，，进而得到平面的一个法向量为，进而可利用向量的公式求解

【详解】

（1）∵平面平面，∴，

又，

∴，∴，即（为与交点）．

又，∴平面，又因为平面，所以，

平面平面

（2）如图，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间坐标系，如图，

设，则，

则，，，设平面法向量为，

则，即，取，得平面的一个法向量为，

所以，

因为，当且仅当时等号成立，

所以，记直线与平面所成角为，则，故，

即时，直线与平面所成角最大，此时该角的正弦值为．

【点睛】

关键点睛：解题关键在于利用定义和正切函数的性质，得到平面，进而证明平面平面；以及建立空间直角坐标系，求出法向量，进行求解直线与平面所成角的最大值，难度属于中档题

20．(1)①；② 证明见解析；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）① 由题得有两个变号零点，设求出函数的单调性即得解；② 利用极值点偏移的方法证明；

（2）证明，再利用裂项相消求和即得证.

(1)

解：（1）由题得有两个变号零点，

所以有两个变号零点，

设

当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，

当时，，当时，，，

所以.

(2)设，

所以，

所以在单调递增，又，

所以 又，

所以

所以 因为，所以.

(2)

证明：由（1）知， 所以

所以对对任意恒有，

所以

所以.

21．（1）或；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）焦点F坐标为，设，利用圆的切线长公式、抛物线的定义建立方程求解即得；

（2）设，设直线、的斜率,由与抛物线相切求得，，知是方程的两根，得到，求得切点坐标，，得到直线方程并化简整理为，利用已知面积得到，与联立得，然后利用零点存在定理判定解的个数即可.

【详解】

（1）焦点F坐标为，设，则，

由抛物线定义，M到焦点距离等于到抛物线准线的距离，

所以，由，得，

所以或，所以或，

此时与准线垂直，所以或；

（2）设，则，

设直线方程为，代入，

得，

整理得①，

同理，直线方程为，有②，

由①②知，是方程的两根，

所以，

由切线意义知，在中，，则

所以，同理

直线方程为即即

到直线的距离

所以，与联立得

所以或，设，显然，

又在上递增，所以在上有唯一零点

所以存在两个，使得面积等于.

【点睛】

本题考查直线与圆，直线与抛物线的位置关系，面积问题，零点个数问题，难度较大，其中利用圆的切线长和抛物线的定义建立方程求解是第一问中的关键；第二问中关键点由同构方程，，知是方程的两根，从而得到;利用零点存在定理判定三次函数在给定区间上的零点个数问题.

22．(1)，

(2)（去掉）

【解析】

【分析】

（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换

（2）利用极径的应用建立等量关系，进一步求出直角坐标方程

(1)

由C的参数方程：，

∴C：，

由得∴.

(2)

设，，

则，，即，

由得即，

∴即，

∵∴M的轨迹方程为（去掉）.

23．(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用绝对值三角不等式求解；

（2）先利用绝对值三角不等式求得最大值，再利用作差法比较.

(1)

解：由绝对值不等式，

得，

故，

当且仅当时取“=”，

所以不等式有解的充要条件是，

解得或，

故实数a的取值范围为

(2)

证明：由题可得，

当且仅当时取“=”，

故，

所以M=1，m+n=1.

因为，

，

，

，

，

所以

故.