2023届辽宁省部分学校高三下学期第二次模拟考试数学试题含解析

2023届辽宁省部分学校高三下学期第二次模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解不等式求得集合，进而求得.

【详解】，解得，所以，

由于，所以.

故选：A

2．已知（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点一定在（    ）

A．实轴上 B．虚轴上

C．第一、三象限的角平分线上 D．第二、四象限的角平分线上

【答案】D

【分析】设，由可解得，则，复数在复平面上对应的点为，即可判断

【详解】设，则，则，即，，

∴，复数在复平面上对应的点为，一定在第二、四象限的角平分线上，

故选：D

3．已知向量，，，则实数m的值为（    ）．

A． B． C． D．1

【答案】D

【分析】先求得的坐标，再由求解.

【详解】解：因为向量，，

所以，

又因为，

所以，

解得，

故选：D

4．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数点后面第七位，“割圆术”是用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，圆的内接正多边形边数越多误差越小．利用“割圆术”求圆周率，当圆的内接正多边形的边数为时，圆周率的近似值可表示为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用余弦定理得到正多边形的边长，通过二者周长相等近似估计圆周率.

【详解】设圆的半径为，正多边形的圆心角为，边长为，

所以，即，

故选：A.

5．已知，若，，则p是q的（    ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据不等式的解法和指数函数的额性质，分别求得集合，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由不等式，可得，解得或，

即命题为真命题时，构成集合或，

又由，根据指数函数的图象与性质，可得，

即命题为真命题时，构成集合

所以是的既不充分也不必要条件.

故选：D.

6．已知圆经过点，半径为2，若圆上存在两点关于直线对称，则的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】由题设得圆心轨迹为，且直线必过圆心，即直线与圆心轨迹有交点，利用点线距离求参数范围即可得结果.

【详解】设圆心的坐标为，则，

又圆上存在两点关于直线对称，则圆心必在直线上，

所以与有交点，则，解得，

故的最大值为.

故选：D

7．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断.

【详解】解：由图知：，

在中，，

所以，即，

故选：C

8．设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（    ）．

A．1348 B．1347 C．1346 D．1345

【答案】B

【分析】根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得在上的零点个数，再分区间和讨论即可.

【详解】在上满足，，

关于直线和直线对称，

，，

，

，所以的周期为6，

又在闭区间上只有，则，，

且当时，通过其关于直线对称，得其值对应着的值，

则在闭区间上只有，

同理可推得在也只有两个零点，

因为，则在共有个零点，

因为，且在的图象与的图象相同，

则在上有个零点，

则方程在闭区间上的根的个数为1347个.

故选：B.

【点睛】思路点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

二、多选题

9．中国疾控中心网站1月25日发布全国新型冠状病毒感染情况（2022年12月9日到2023年1月23日）．全国报告人群新型冠状病毒核酸检测阳性数及阳性率变化趋势如图．下列说法正确的是（    ）．

A．全国发热门诊就诊人数在2022年12月22日达到峰值，之后持续下降

B．全国报告人群核酸检测阳性率呈现先增加后降低趋势，阳性率2022年12月25日达到高峰后逐步下降

C．全国急诊就诊人数在2022年12月25日达到峰值，之后持续下降

D．全国报告人群核酸检测阳性数呈现先增加后降低趋势，阳性数2022年12月22日达到高峰后逐步下降

【答案】BD

【分析】题中没有提供全国发热门诊就诊人数及全国急诊就诊人数的相关数据，可判断AC；根据图中全国报告人群核酸检测阳性数及阳性率呈现先增加后降低趋势，可判断BD.

【详解】题中没有提供全国发热门诊就诊人数及全国急诊就诊人数的相关数据，故AC错误；

全国报告人群核酸检测阳性数及阳性率呈现先增加后降低趋势，阳性人数2022年12月22日达到高峰后逐步下降；检测阳性率2022年12月25日达高峰后逐步下降，由此可知BD正确.

故选：BD.

10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】运用累和法、裂项相消法，结合等差数列的前n项和公式逐一判断即可.

【详解】由题意可知：，于是有，

显然可得：， ，因此选项A不正确，选项B正确；

当 时，，

显然适合上式，，因此选项D不正确；

，

，因此选项C正确，

故选：BC

11．如图所示，在长方体中，，，点E是棱CD上的一个动点，F是BC的中点，，给出下列命题，其中真命题的（    ）．

A．当E是CD的中点时，过的截面是四边形

B．当点E是线段CD的中点时，点P在底面ABCD所在平面内，且平面，点Q是线段MP的中点，则点Q的轨迹是一条直线

C．对于每一确定的E，在线段AB上存在唯一的一点H，使得平面

D．过点M做长方体的外接球的截面，则截面面积的最小值为

【答案】BD

【分析】延长和交于，取的三等分点，连接，证得平面与平面为同一个平面，连接，得到过平面的截面为五边形，可判定A不正确；取的中点，连接，取的中点为，连接，，证得平面平面，得到，进而得到点的轨迹，可判定B正确；以为原点，建立的空间直角坐标系，设，其中，结合，求得的值，可判定C不正确；先求得长方体的外接球的半径为，结合球的性质，求得截面圆的面积最小值，可判定D正确.

【详解】对于A中，延长和交于，连接与交于，连接，并延长，可得三点共线，连接，如图所示，平面与平面为同一个平面，连接，可平面与长方体的各个面的交线分别为，

所以过平面的截面为五边形，所以A不正确；

对于B中，在长方体中，取的中点，连接，

取的中点为，连接，，则，

再取分别为的三等分点，连接，可得，

又由为的三等分点，所以，所以，，

因为平面，平面，所以平面，

同理可证：平面，

且平面，所以平面平面，

当点在上时，此时平面，所以平面，

取的中点，可得，

又由为的中点，所以点的轨迹为直线，所以B正确；

对于C中，如图所示，以为原点，建立的空间直角坐标系，

则，

设，其中，

可得，

若平面，则垂直于平面的所有直线，

由，可得，

因为，所以不成立，所以C不正确；

对于D中，设长方体的外接球的半径为，可得，

球心为，可得球心的坐标为，

则，

当与该长方体的外接球的截面圆垂直时，截面面积取得最小值，

设截面圆的半径为，可得，

所以截面圆的面积的最小值为，所以D正确.

故选：BD.

12．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去通近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式

由此可以判断下列各式正确的是（    ）．

A．（i是虚数单位） B．（i是虚数单位）

C． D．

【答案】ACD

【分析】对于A、B，将关于的泰勒展开式两边求导得的泰勒展开式，再验证结论是否正确；

对于C，由，再代入关于的泰勒展开式验证是否成立；

对于D，由，证明

即可.

【详解】对于A、B，由，

两边求导得，

，

，

又，

，

，故A正确，B错误；

对于C，已知，则.

因为，则，即成立，故C正确；

故C正确；

对于D，,，

，

当，；；；

，,

所以，所以成立，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】利用泰勒公式证明不等式方法点睛：

应用泰勒公式时要选好，有时可能需要结合题目给出信息进行相关变形，再代入验证，利用展开项的特征进行适当的放缩，证明不等式成立.

三、填空题

13．若的展开式中的常数项为24，则实数a的值为______．

【答案】

【分析】根据乘法分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】二项式展开式的通项公式是，

令；令（舍去）

所以.

故答案为：

14．已知函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为______．

【答案】

【分析】先根据函数的奇偶性求出再利用导数的几何意义求解斜率，最后点斜式写出直线方程.

【详解】由题意函数为奇函数可知

所以，所以，

则函数可化为，

则，

则由导数得几何意义可知曲线在点(0，0)处的切线斜率为-1.

所以曲线在点处的切线方程为

故答案为: .

15．点是抛物线上的点，则的最小值为______．

【答案】

【分析】先求得焦点坐标，然后根据抛物线的定义以及点到直线的距离公式求得正确答案.

【详解】设抛物线为，

，

其中的值为，表示点到直线的距离，

所以的最小值为到直线的距离，

即的最小值为，

所以的最小值为.

故答案为：

四、双空题

16．自“一带一路”倡议提出以来，中俄两国合作共赢的脚步越来越快．中俄输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，如图，管道沿A、E、F、B拐过直角（线段EF过O点，点E，O，F在同一水平面内），峡谷的宽分别为27m、8m，如图所示，设EF与较宽侧峡谷崖壁所成的角为，则EF得长______m，（用表示），要使输气管道顺利通过拐角，EF长度不能低于______m

【答案】         

【分析】在两个直角三角形中用分别表示OE、OF，进而求得EF，结合导数求出的极值点即为最值点，即可求出结果.

【详解】如图所示，

在中，，

在中，，

所以，，

令，，

则，

令，，则，

联立（）可得：，，

所以，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.

即：EF的长度不能低于.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知函数的图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象．

(1)求的解析式；

(2)的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）运用三角函数周期性、五点法求出解析式，运用图象平移变换及诱导公式求出解析式.

（2）运用二倍角公式、平方公式求得、、、的值，运用诱导公式及和角公式求得，结合正弦定理可求得c，运用三角形面积求解即可.

【详解】（1）由图可知，，解得：，

所以，即：，

将点代入得，

所以，，解得：，，

所以，

所以，

因为将函数的图像向左平移个单位长度后得函数的图像，

所以．

（2）因为，所以，

由，得，，

因为，

所以，即：，

所以由，得，

所以由，得，

所以，

由正弦定理，得，

所以△的面积．

18．已知数列是各项为正的等比数列，满足，．数列的前n项和为且满足，，对任意恒成立．

(1)求，的通项公式；

(2)数列满足，求证：．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）运用等比数列通项公式基本量计算可得数列的通项公式，进而求得的通项公式，运用与的关系求得的通项公式.

（2）运用放缩法及错位相减法求和可证明结果.

【详解】（1）因为数列是各项为正的等比数列，设公比为q，

又因为，

所以，即：，

解得或（舍），

所以，即：．

因为，，

①当时，，解得：，

②当时，因为，

所以，

两式作差可得：，即：，

所以从第二项起是常数数列，

所以，

所以（），

③将代入得，符合，

所以.

（2）证明：因为，

所以，

设，

则，

两式相减得：，

所以．

19．如图，PO是四棱锥的高，且，底面ABCD是边长为的正方形，，点M是BC的中点．

(1)设AD与OM交于E，求线段OE的长度；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）连接OA，OD，根据平面ABCD，，，再由四边形ABCD是正方形，M是BC中点，得，然后由≌和≌，得到等腰直角三角形求解；

（2）法一：过E作EQ垂直PM于Q，连接AQ，易得为二面角的平面角，在直角中，求得EQ，在直角中求得AE求解.法二：由（1）知，过O作直线ON平行AD，以O为坐标原点，分别以，，所在方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求得为平面PAM的一个法向量，再由平面PMO的一个法向量为，设二面角为，由求解.

【详解】（1）解：如图所示：

连接OA，OD，

因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，

所以，．

又，，所以．

由四边形ABCD是正方形，M是BC中点，得，

所以≌，得，

所以≌，，

所以，，

且，等腰直角三角形，．

（2）法一

过E作EQ垂直PM于Q，连接AQ，

因为，，，面，

所以平面，所以，

为二面角的平面角，

在直角中，，，求得，

在直角中得，，．

法二

由（1）知，过O作直线ON平行AD，如图．

以O为坐标原点，分别以，，所在方向为x轴，y轴，z轴的正方向

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

，，

设为平面PAM的一个法向量，则，

令，则，，，

平面PMO的一个法向量为，

设二面角为，则，

二面角的余弦值为．

20．根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X服从正态分布，并把钢管内径在内的产品称为一等品，钢管内径在内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图：

(1)通过检测得样本数据的标准差，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

(2)假如企业包装时要求把2个一等品和个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．

①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；

②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值，并求出最大值．

参考数据：

【答案】(1)0.71

(2)①；②．

【分析】（1）运用频率分布直方图求得其平均数及即可.

（2）运用对立事件的概率公式、古典概型概率及运用导数研究函数的单调性，进而求得最值即可.

【详解】（1）由题意估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：

，

所以，，

则，，，

则一等品内径在内，即，

二等品内径在内，即，

所以该企业生产的产品为正品的概率为：

．

（2）①从件正品中任选2个，有种选法，其中等级相同的有种选法，

所以某箱产品抽检被记录为B的概率为：．

②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，

则5箱产品恰有3箱被记录为B的概率为：

，

，

所以当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以当时，取得最大值，

此时，，解得或（舍去）．

所以当时，取得最大值.

21．已知椭圆的离心率为，直线，左焦点F到直线l的距离为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线与椭圆相交于A，B两点．C，D是椭圆T上异于A，B的任意两点，且直线AC，BC，AD，BD的斜率都存在．直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．设直线AC，BC的斜率为，．

①求的值；

②求直线MN的斜率．

【答案】(1)

(2)①；②

【分析】（1）由距离公式求出，再由离心率求出，即可求出，从而得解；

（2）首先求出，两点坐标，

①设，利用斜率公式计算可得；

②设，的斜率分别为，，设直线的方程为，直线的方程为，即可求出点坐标，同理求出点坐标，再由斜率公式计算即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

又左焦点到直线的距离为，有，

解得或（舍去），所以，，

椭圆方程为．

（2）由（1）知，椭圆的方程为，

由，解得或，所以，．

①，斜率都存在，即，存在．

设，显然，且，

从而．

②设，的斜率分别为，，

设直线的方程为，直线的方程为．

由，解得，

从而点的坐标为，

因为，，

设直线的方程为，即，

设直线的方程为，即，

用代，代得点的坐标为，

即点的坐标为，

所以．

22．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)设函数有两个极值点，，证明：．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）运用导数分类讨论、、时的单调性即可.

（2）根据已知条件将证明转化成证明（），运用导数研究的最大值与0比较即可.

【详解】（1）由题意知，定义域为，

，

令，则，

①当时，，，在上单调递减，

②当时，，的2个根为，，

此时，则，或，

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

③当时，，的2个根为，，

此时，，则，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

综上，①当时，在单调递减；

②当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减；

③当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）因为有两个极值点，，

所以由（1）可知，且，，

所以，

要证，即证，

只需证，，

令，，

则，

令，则恒成立，

所以在上单调递减，

又，，

由零点存在性定理得，使得，即，

所以时，，单调递增，

时，，单调递减，

则，

令，，

则当时，，

所以在上单调递增，

所以，

所以，即．

【点睛】隐零点问题求解三步曲：

（1）用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的取值范围．

（2）以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到f(x)的最值表达式．

（3）将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．