2023届河南省开封市高三第三次模拟考试数学（理）试题含解析

2023届河南省开封市高三第三次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知，则复数z的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的四则运算及定义计算即可.

【详解】由可得，即虚部为.

故选：A

2．已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】C

【分析】首先判断集合，再求解集合，根据真子集个数公式，即可求解.

【详解】因为，，的周期为4，当时，函数值分别是，则，因此,

所以集合的真子集个数为个.

故选：C

3．设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三角函数的定义先解得，再求正切值即可.

【详解】由三角函数定义可知：，又α是第二象限角，

故，所以.

故选：B

4．记为等比数列的前n项和，已知，则（    ）

A．30 B．31 C．61 D．62

【答案】D

【分析】根据条件列出关于首项和公比的方程组，即可求解.

【详解】设等比数列的首项为，公比为，

依题意，且，得，

则.

故选：D

5．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线经过且与双曲线右支相交于两点，若，则三角形的周长为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．不能确定

【答案】C

【分析】由双曲线方程确定实半轴长，结合双曲线的定义及弦长，即可求得三角形的周长.

【详解】双曲线的实半轴长，

由双曲线的定义，可得

所以，

则三角形的周长为.

故选：C.

6．函数在上的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性，特殊值的函数值的符号及函数的零点分析，利用排除法即可得解.

【详解】因为，

所以为奇函数，故排除C；

当时，令，则或或，

由图可知，A符合，D不符合；

又，故排除B；

故选：A.

7．将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是（    ）

A．24 B．50 C．72 D．150

【答案】D

【分析】考虑分组为1、1、3和1、2、2两种情况，分别讨论即可得到答案.

【详解】可以分组为1、1、3，或1、2、2两种情况，

若分组为1、1、3，则有；

若分组为1、2、2，则有；

则不同分法为60+90=150种.

故选：D

8．已知，，且，，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】使用基本不等式求解，注意等号成立条件.

【详解】，

∵，∴等号不成立，故；

，

∵，∴等号不成立，故，

综上，.

故选：A.

9．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三视图可得该几何体是圆锥的一部分，结合三视图的数据，即可求解.

【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：

该几何体的底面是圆心角为，半径为的扇形，高是4的锥体，

底面面积，

所以其体积．

故选：D.

10．已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，且，则（    ）

A．－1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性和对称性，得到函数是周期函数，由，得，可求.

【详解】函数为奇函数，为偶函数，

，即，则，

即函数的图像关于中心对称，且关于对称，则的周期为4，

有，，

则，

所以.

故选：C

11．已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别取三角形，四边形的外心，，利用正弦定理得到，即可得到，然后利用勾股定理得到，最后根据球的表面积公式求表面积即可.

【详解】

设四棱锥的外接球球心为，取中点，连接，取三角形，四边形的外心，，连接，，，，，

因为正方体的棱长为1，点为中点，所以，，，，，，所以，外接球的表面积.

故选：C.

12．等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且，O为坐标原点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三角换元设点A、B坐标，根据向量数量积的坐标表示计算求范围即可.

【详解】由题意可得：为直角三角形，且，

不妨设，其中

如图所示，则由等腰直角三角形的性质可得，

所以

，所以，则.

故选：B

二、填空题

13．已知向量，写出一个与垂直的向量的坐标______．

【答案】（答案不唯一）

【分析】先设出向量，利用垂直得出关系式，根据关系式可得答案.

【详解】设与垂直的向量的坐标，

因为，所以，令可得，

故答案为：.（答案不唯一）

14．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，若直线AB经过抛物线的焦点，则______．

【答案】2

【分析】将直线与抛物线联立求出的坐标，由直线过抛物线的焦点，可得横坐标等于焦点的坐标，然后求出的值．

【详解】联立，解得或，可得,，

联立，解得,，

当直线过抛物线的焦点时，，解得，

所以当时，直线恒过抛物线的焦点．

故答案为：.

15．已知点P在圆上，点当最小时，______．

【答案】

【分析】数形结合，易得当直线与圆相切时最小，求得此时.

【详解】

如图所示，由题意圆：的圆心，半径，

当直线与圆相切时，即为切点时，最小，

此时与轴平行，，

,

,

,.

故答案为：.

16．若数列满足，（，，P为常数），则称为“等方差数列”．记为正项数列的前n项和，已知为“等方差数列”，且，，则的最小值是______．

【答案】

【分析】根据“等方差数列”的定义，结合已知求得，再根据相减法求得通项公式，从而得的表达式，结合函数求导确定数列的单调性，即可求得的最小值.

【详解】因为，，所以，则，

又为“等方差数列”，所以，即，所以，

则，即，故，又，所以；

当时，；

当时，符合上式，故，

则，

设，所以，则，

又得，所以时，，即，函数单调递增，

即数列在上为递增数列，当时，此时取最小值，又，所以的最小值是.

故答案为：.

三、解答题

17．某校为了解学生每天的校内体育锻炼情况，随机选取了100名学生进行调查，其中男生有50人．下面是根据调查结果绘制的学生日均校内体育锻炼时间（单位：分钟）的频率分布直方图．将日均校内体育锻炼时间在[60，80]内的学生评价为“锻炼时间达标”，已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生．

(1)若该校共有1000名学生，请估计该校“锻炼时间达标”的学生人数；

(2)根据样本数据完成下面的2×2列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关？

附：

【答案】(1)150人

(2)列联表见解析，没有90%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关.

【分析】（1）根据频率分布直方图求锻炼时间达标的学生的概率再结合总的学生人数可得；

（2）完成联表求卡方，根据临界值表判断相关性即可.

【详解】（1）由频率分布直方图得：

“锻炼时间达标”的学生的概率估计为，

所以该校“锻炼时间达标”的学生人数估计为（人），

（2）样本数据中：“锻炼时间达标”的学生人数为（人），其中女生有5人，男生有10人，

“锻炼时间未达标”的女生人数为50－5=45（人），男生人数为50－10=40（人），

所以2×2列联表为：

，

所以没有90%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关.

18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且7sinA=3sinC．

(1)求；

(2)若的面积为，求b．

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理结合a，b，c成等差数列可解决；

（2）利用三角形面积公式即可解决.

【详解】（1）因为a，b，c成等差数列，所以，

又7sinA=3sinC，结合正弦定理得，

联立，得.

从而.

（2）由（1）可得，

的面积为，解得，所以.

19．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB=4，BC=6．

(1)证明：平面平面；

(2)若直线AB与平面EPF所成角为60°，求二面角F－PE－B的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作出辅助线，由直径得到线线垂直，结合圆柱的母线与底面垂直，得到线面垂直，进而得到面面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值.

【详解】（1）（1）证明：连接AF，

∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，

∴AB为圆O的直径，

∴，

又EF是圆柱的母线，

∴平面ABF，

∵平面ABF，

∴，

又∵，平面，

∴平面ADF，

又∵P是线段AD的中点，

∵平行，

∴平面ADF即为平面EPF，

∴平面EPF，

∵平面BEF，

∴平面平面BEF．

（2）由（1）知平面EPF，

∴AF为AB在平面EPF内的射影，

∴AB与平面EPF所成角为，

由已知，AB=4，BC=6，

∴，，

以F为坐标原点，FB，FA，FE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，

∵平面EPF，

所以是平面EPF的一个法向量，

设是平面EPB的一个法向量，则,

令x=1得，

∴，

所以二面角F－PE－B的余弦值为．

20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆C上一点（除左、右顶点），直线PF₁，PF₂与椭圆C的另一个交点分别为A，B，且，，当m=1时，．

(1)若椭圆C的离心率为，求椭圆C的标准方程；

(2)若，求椭圆C的标准方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由条件建立方程组解方程求即可；

（2）分别设直线方程及点坐标，联立椭圆方程利用韦达定理表示三点纵坐标的关系，根据向量的定比分点得出：，化简求值即可.

【详解】（1）当m=1时，轴，可设P点坐标为）代入椭圆方程得：

，所以，即，又因为，，

解得：，，，所以椭圆C的标准方程为：．

（2）

设，，，

由得：，所以，

同理可得：，由可得

所以，

所以，又，解得：或（舍），

所以椭圆C的标准方程为：．

21．已知函数．

(1)讨论函数f（x）的单调性；

(2)若，且存在0<m<n，使得f（x）与f（f（x））的定义域均为[m，n]，求实数a的取值范围．

【答案】(1)分类讨论，答案见解析；

(2).

【分析】（1）先求导得，再分类讨论的大小求单调区间即可；

（2）由题意先得出，构造函数，将问题转化为且，讨论判断的单调性求即可.

【详解】（1）函数的定义域为，

当a≥0时，，此时在上单调递增；

当a<0时，，，

此时在上单调递增，在上单调递减．

综上可知：当a≥0时，在上单调递增；

当a<0时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）由（1）知：当a≥0时，在上单调递增，

存在0<m<n，使得的定义域为[m，n]，所以，

的定义域也为[m，n]，需满足：

，即

设函数，则上式转化为且，

由可知：

①当a≥1时，，函数在上单调递增，不成立；

②当0≤a<1时，函数在上单调递增，在上单调递减，

因为，所以，得，

取，则，

设，，所以在上单调递减，

所以，所以，成立．

综上可知：a的取值范围为

【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，属于压轴题.

第二问的关键：首先在于利用函数的单调性得出，

观察结构同型构造新函数转化为和，

再讨论的单调性；

其次在于取点，构造函数证得.

需要勤于总结和积累经验才能更好的解决此类问题.

22．以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形．如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形OPQ为勒洛三角形，且，Q在极轴上，C为的中点．以极点O为直角坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系．

(1)求所在圆P的直角坐标方程与直线CQ的极坐标方程；

(2)过O引一条射线，分别交圆P，直线CQ于A，B两点，证明：为定值．

【答案】(1)，；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据极坐标公式，求点的直角坐标，根据圆心坐标和过极点，即可求圆的方程；先求的直角坐标方程，再转化为极坐标方程；

（2）首先设A，B两点的极坐标分别为，，再根据极坐标方程，分别求和，，即可求解.

【详解】（1）∵，∴P的直角坐标为，又等边的边长为2，

∴圆P的直角坐标方程为：，

∵CQ的直角坐标方程为：即，即，

∴CQ的极坐标方程为：；

（2）设A，B两点的极坐标分别为，，

∵圆P的直角坐标方程为：，

∴圆P的极坐标方程为：，即，

∴，

直线CQ的极坐标方程为，∴，

∴

综上所述：为定值4．

23．已知函数．

(1)若，解不等式；

(2)若b=1，且不等式的解集非空，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角形不等式得，，结合已知条件可得结果；

（2）由题意，存在x使不等式成立，即成立，而，则，分类讨论求解即可.

【详解】（1）根据三角形不等式得，，

∵，∴恒成立，不等式的解集为.

（2）当时，不等式的解集非空，

即存在x使不等式成立，即成立，

∵，，

∴，即，

当，，，∴，

当，，∴，

当，，，∴，

综上所述：a的取值范围是．