2023届宁夏回族自治区银川一中高三二模数学（理）试题含解析

2023届宁夏回族自治区银川一中高三二模数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数z在复平面内对应的点为，是z的共轭复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出复数及，再利用复数除法运算求解作答.

【详解】依题意，，则，

所以.

故选：A

2．已知集合，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知可推得，代入即可解得，代入即可得出答案.

【详解】由题意可知，，即，所以，

所以，.

故选：D.

3．已知命题的否定为“”,则下列说法中正确的是（    ）

A．命题为“,”且为真命题

B．命题为“,”且为假命题

C．命题为“,”且为假命题

D．命题为“,”且为真命题

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定为全称命题排除AD,再举出反例即可得到答案.

【详解】∵命题的否定为特称命题,

∴:,,排除AD;

因为当时,,

∴为假命题,排除B.

故选:C.

4．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出基本事件总数， 再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解.

【详解】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，

随机选取两个不同的数，基本事件总数，

其和为奇数包含的基本事件有：，共6个，

所以.

故选：B

5．执行如图所示程序框图，则输出的S的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】执行程序即可算出其输出值结果.

【详解】由题意可知，流程图的功能为计算的值，

裂项求和可得：.

故选：B.

6．下列函数中，定义域和值域不相同的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.

【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；

对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；

对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；

对于D：的定义域为；

当时，；当时，；

所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；

故选：D．

7．已知向量，，且，则实数的值为（    ）

A．8 B． C．4 D．

【答案】A

【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.

【详解】因为，

，.

所以.

所以.

故选：A

8．已知焦点在轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，则双曲线的离心率是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】由题意求出双曲线的一条渐近线的倾斜角，可得渐近线的斜率，根据离心率的计算公式可得答案.

【详解】由题意设一条渐近线的倾斜角为，

则另一条渐近线的倾斜角为，由双曲对称性可得，

则一条渐近线的斜率为，

设双曲线的长半轴长为a，短半轴长为b，则，

故离心率为，

故选：A

9．如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠面积公式为，球缺的体积公式为，其中R为球的半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为，则这两个球缺的体积之比为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件求得，，代入体积公式计算即可.

【详解】设小球缺的高为，大球缺的高为，则，①

由题意可得：，即：，②

所以由①②得：，，

所以小球缺的体积，

大球缺的体积，

所以小球缺与大球缺体积之比为.

故选：C.

10．已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（    ）

A．-2 B． C． D．1

【答案】B

【分析】由判别式可解得，由根与系数关系可得，由的范围结合不等式的性质变形可得答案．

【详解】由题意可得，

解得或，

设两个为，，由两根为正根可得

，解得，

综上知，.

故两个根的倒数和为

，

，，，

故，

，

故两个根的倒数和的最小值是.

故选：B

11．为了降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，给光源加上一个不透光材料做的灯罩，可以起到十分显著的效果.某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角这一水平夹角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角用表示.若图中，，且，则（    ）

A．44 B．66 C．88 D．110

【答案】B

【分析】根据二倍角公式得到，代入式子得到，解得答案.

【详解】，即，所以，

 ，解得，

故选：B.

12．曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】结合可确定曲线上的点的位置，结合双曲线和圆的图象可确定曲线的图象，采用数形结合的方式可求得结果.

【详解】由题意得：，即，即曲线上的点为圆上或圆外的点，

由得：或，

由得：或或或，

由此可得曲线的图象如下图所示，

由图象可知：当时，直线与曲线有四个不同交点；

实数的取值范围为.

故选：B.

二、填空题

13．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______．

7816    6572    0802    6314    0702    4369    1128    0598

【答案】11

【分析】根据题设的抽取方式，结合随机表法依次写出所得编号，即可得答案.

【详解】由题设，依次取出的编号为08、02、14、07、11、05，

所以第5个个体的编号为11.

故答案为：11

14．在等比数列中，是函数的极值点，则＝__________．

【答案】

【分析】由题，利用导数及韦达定理可得，后利用等比中项性质可得答案.

【详解】，

由题是方程的两个不等实根，

则由韦达定理，所以

又是的等比中项且与同号，则.

故答案为：.

15．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线AB与CD的夹角为__________．

【答案】

【分析】把展开图恢复到原正方体，得到AEDC，从而得到∠BAE或其补角是异面直线AB与CD所成的角，从而可解.

【详解】

如图所示，把展开图恢复到原正方体．

连接AE，BE．由正方体可得且，

∴四边形ADCE是平行四边形，∴AEDC．

∴或其补角是异面直线AB与CD所成的角．

由正方体可得：，∴是等边三角形，∴．

∴异面直线AB与CD所成的角是60°．

故答案为：60°

16．若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为___________.

【答案】1

【分析】构造函数，设切点为，设，设切点为，结合条件得到是函数和的图象与曲线交点的横坐标，利用对称性得出关于直线对称，从而得出，，然后计算出．

【详解】设，则，设切点为，则，

则切线方程为，即，

直线过定点，

所以，所以，

设，则，设切点为，则，

则切线方程为，即，

直线过定点，

所以，所以，

则是函数和的图象与曲线交点的横坐标，

易知与的图象关于直线对称，而曲线也关于直线对称，

因此点关于直线对称，

从而，，

所以．

故答案为：1.

三、解答题

17．已知为等差数列的前n项和，，．

(1)求的通项公式；

(2)若，的前n项和为，证明：．

【答案】(1)；

(2)详见解析.

【分析】（1）设数列的公差为，将已知条件转化为关系，即可求解；

（2）根据通项公式，用裂项相消法求出和，即可证明结论.

【详解】（1）由设数列的公差为，则

解得，，

所以是首项为3，公差为2的等差数列，

所以；

（2）由，可得，

所以

,

又，故.

18．某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：

(1)从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；

(2)从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；

(3)下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

(3)3月3日

【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.

（2）根据题意得到，，，，再写出分布列数学期望即可.

（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.

【详解】（1）令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，

从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，

甲乙微信记步数都不低于10000，

故.

（2）由（1）知：，

，，，

的分布列为：

（3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在，，，，

（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，

人，人，人，

由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，

根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.

由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，

根据折线图知：只有3月3日和3月6日，

所以3月3日符合要求.

19．已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，抛物线C过点．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且，证明：直线l过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）将代入抛物线即可求解；

（2）设，直线l的方程为，将直线l与抛物线进行联立可得，结合可得，即可求证

【详解】（1）因为抛物线C过点，

∴，解得，

∴抛物线C的标准方程为．

（2）设，直线l的方程为，

联立，化为，

，

∴，

∵，

∴，，

解得，满足，

∴直线l的方程为，

∴直线过定点．

20．如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径.

(1)弦上是否存在点D，使得平面，请说明理由；

(2)若，，点，A，B，C都在半径为的球面上，求二面角的余弦值.

【答案】(1)存在，理由见解析

(2)

【分析】（1）根据面面平行的判定定理、性质定理分析证明；

（2）根据题意结合长方体的外接球可得，建系，利用空间向量求二面角.

【详解】（1）当点D为的中点时，平面，证明如下：

取AB的中点D，连接OD，

∵O，D分别为，的中点，则，

平面，平面，

∴平面，

又∵，

平面，平面，

∴平面，

，平面，

∴平面平面，

由于平面，故平面.

（2）∵是的直径，可得，即，

且，，故，，

又∵平面，且平面，

∴，

即，，两两垂直，且点，A，B，C都在半径为的球面上，

可知该球为以、、为长、宽、高的长方体的外接球，

则，可得，

以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系，

则，，，，

得，，

设为平面的一个法向量，则，

令，则，可得，

且为平面的一个法向量，

设二面角为，

则，

所以二面角的余弦值为.

21．已知函数.

（1）若在处有极值，问是否存在实数m，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.；

（2）若，设.

①求证：当时，；

②设，求证：

【答案】（1）存在，；（2）①证明见解析；②证明见解析.

【分析】（1）根据微积分基本定理求得，由，求得参数；利用导数求函数的在区间上的最值，结合一次不等式在区间上恒成立问题，即可求得参数的范围；

（2）①求得，利用导数求得的单调性，即可容易证明；

②由①中所求，可得，利用对数运算，即可证明.

【详解】由题可知，.

（1）由，可得，.

又当时，，

故在区间单调递减，在单调递增.

故函数在处取得极值，所以.

∵，.

∴，

当时，由上述讨论可知，单调递增，

故

不等式对任意及恒成立，

即：，

即：对恒成立，令，

，

即，且，

整理得，且，

解得：，即为所求.

（2）①∵，

当时，，在上单调递减，

即证.

②由①可得：

令：，得，即：

=

即证.

【点睛】本题考查由极值点求参数值，利用导数由恒成立问题求参数范围，以及利用导数证明不等式以及数列问题，属压轴题.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，常数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.

(1)写出的极坐标方程和的直角坐标方程；

(2)若直线和相交于两点，以为直径的圆与直线相切，求的值.

【答案】(1)的极坐标方程为，，的直角坐标方程为

(2)

【分析】（1）消去参数得到的普通方程，再利用公式得到极坐标方程，注意定义域，再求出的直角坐标方程；

（2）将代入的极坐标方程，求出的坐标，得到为直径的圆的圆心和半径，根据相切关系得到方程，求出答案.

【详解】（1）将曲线的参数方程消去，得的普通方程为，

且因为，所以，

将，，代入，

得，即，，即为的极坐标方程，

由直线的方程化简得，

化简得，即为的直角坐标方程.

（2）将直线代入，

得，即.

故以为直径的圆圆心为，半径.

圆心到直线的距离，由已知得，解得.

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若的最小值为2，且，求的最小值．

【答案】(1)

(2)9

【分析】（1）根据零点分区间，分类求解即可，

（2）根据绝对值三角不等关系可得，进而结合基本不等式即可求解.

【详解】（1）当时，等价于，

当时，，则，

当时，，则，

当时，，则，

综上所述，不等式的解集为．

（2），

当且仅当等号成立，

，即，

，，

，

当且仅当，即，即，时，等号成立，

故的最小值为9