2023届内蒙古呼和浩特市高三二模数学试题含解析

2023届内蒙古呼和浩特市高三二模数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算，再计算补集得到答案.

【详解】，则.

故选：B

2．已知复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】计算，确定虚部得到答案.

【详解】，故虚部为.

故选：C

3．如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．

根据该折线图，下列说法错误的是（    ）

A．城镇人口与年份呈现正相关 B．乡村人口与年份的相关系数接近

C．城镇人口逐年增长率大致相同 D．可预测乡村人口仍呈现下降趋势

【答案】B

【分析】根据折线图判断乡村人口与年份、城镇人口与年份的相关关系以及线性相关关系的强弱，逐项判断可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，由折线图可知，城镇人口与年份呈现正相关，A对；

对于B选项，因为乡村人口与年份呈负线性相关关系，且线性相关性很强，所以接近，B错；

对于C选项，城镇人口与年份呈现正相关，且线性相关性很强，相关系数接近，

故城镇人口逐年增长率大致相同，C对；

对于D选项，由折线图可知，乡村人口与年份呈负线性相关关系，可预测乡村人口仍呈现下降趋势，D对.

故选：B.

4．函数在上的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.

【详解】首先，所以函数是奇函数，故排除D，，故排除B，

当时，，故排除A，只有C满足条件.

故选：C

5．执行如图所示的程序框图，若输入k的值为1，则输出n的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】按照程序框图运行，当时，结束循环，输出.

【详解】输入，第一次循环：，，；

第二次循环：，，；

第三次循环：，，；

第四次循环：，结束循环，此时，.所以输出.

故选：B.

6．若双曲线：的右焦点与抛物线：的焦点重合，则实数（    ）

A． B． C．3 D．-3

【答案】D

【分析】根据双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合知焦点在轴上，对双曲线表达式进行变形，求出，再令即可求解.

【详解】双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，

所以双曲线方程化为：，

再转化为：，

所以， ，

所以，

所以，

所以

平方得

故选：D.

7．意大利数学家斐波那契（1170-1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、……，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列满足：，，，若，则（    ）

A．2025 B．2026 C．2028 D．2024

【答案】D

【分析】根据得到原式等于，得到答案.

【详解】，则

，故.

故选：D

8．已知向量，，若，且，则实数（    ）

A．3 B． C．5 D．

【答案】B

【分析】计算，根据垂直得到，解得答案.

【详解】，

，则，解得.

故选：B

9．已知角，且点在直线上，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据点在线上，以及的范围，求出的值，然后用正切和公式求出的值

【详解】解：因为点在直线上，代入可得：，，即，解得，

，

，，

．

故选：．

10．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】计算得到，根据面面垂直得到平面，设外接球半径为，的外接圆半径为，计算，得到表面积.

【详解】，，则，

，故，

平面平面，面平面，平面，

则平面，

设外接球半径为，的外接圆半径为，

则，解得，外接球表面积为.

故选：D

11．用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【分析】对所选颜色的种数进行分类讨论，先涂、、三点，再确定、、三点颜色的选择方法种数，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果.

【详解】分以下几种情况讨论：

①若种颜色全用上，先涂、、三点，有种，

然后在、、三点中选择两点涂另外两种颜色，有种，最后一个点有种选择，

此时共有种；

②若用种颜色染色，由种选择方法，先涂、、三点，有种，

然后在、、三点中需选择一点涂最后一种颜色，有种，不妨设涂最后一种颜色的为点，

若点与点同色，则点只有一种颜色可选，

若点与点同色，则点有两种颜色可选，

此时共有种；

③若用种颜色染色，则有种选择方法，先涂、、三点，有种，

点有种颜色可选，则、的颜色只有一种选择，

此时共有.

由分类加法计数原理可知，共有种涂色方法.

故选：D.

12．已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用导数画出图象，由方程，解得 或 ，根据题意，由有两个解求解.

【详解】解：因为，

所以，令，得，

当时，，递增；当时，，递减；

所以当时，取得极大值，图象如图所示：

方程，即为，

解得 或 ，

由函数的图象知： 只有一个解，

所以有两个解，

所以 ，解得，

故选：A

二、填空题

13．在的展开式中，的系数为，则______．

【答案】/

【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】的展开式中，含的项为，

所以.

故答案为：

14．已知和均为等差数列，，，，则数列的前60项的和为________．

【答案】7260

【分析】确定是等差数列，计算首项和公差，求和得到答案.

【详解】和均为等差数列，则是等差数列，

首项为，公差为，

故前60项的和为.

故答案为：

15．一组数的分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值．直观来说，一组数的分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于位置的数．例如：中位数就是一个50%分位数.2023年3月，呼和浩特市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高．他们的满意度指标数分别是8，4，5，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的分位数是________．

【答案】6

【分析】首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.

【详解】依题意这个数据从小到大排列为、、、、、、、、、，

又，所以这组数据的分位数是第个数.

故答案为：

16．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：．当，，时，下列关于曲线的判断正确的有________．

①曲线关于轴和轴对称

②曲线所围成的封闭图形的面积小于8

③曲线上的点到原点的距离的最大值为

④设，直线交曲线于、两点，则的周长小于8

【答案】①②③

【分析】确定，在曲线上，①正确，曲线在一个长为，宽为的矩形内部，②正确，利用三角换元计算得到③正确，确定椭圆在曲线内，④错误，得到答案.

【详解】曲线：，

对①：取曲线上点，则，在曲线上，故曲线关于轴和轴对称，正确；

对②：取，，取，，故曲线在一个长为，宽为的矩形内部，故其面积小于，正确；

对③：设曲线上一点为，则，设，

到原点的距离的平方为，，

，当时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为，正确.

对④：对于曲线和椭圆，设点 在上，

点在上，

，故， 所以，

设点在上，点在上，

，所以，即，

故椭圆在曲线内(除四个交点外)， 如图：

设直线交椭圆 于两点，交轴于，

为椭圆的两个焦点，

由椭圆的定义可知：，，

所以的周长为8，由图可知，的周长不小于8，错误；

故答案为：①②③

【点睛】关键点睛：本题考查了超椭圆的概念，对称性，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定椭圆在曲线内，再利用椭圆的知识求解是解题的关键.

三、解答题

17．如图，在直三棱柱中，，，，点为的中点．

(1)求证平面；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）确定，得到平面，得到，再根据得到线面垂直.

（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，确定平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1），，，则，所以，

平面，且平面，则

，平面，故平面，

又平面，所以，

由于四边形为正方形，所以，

，平面，故平面.

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

可知，，，，

，，，

设为平面的法向量，，

令，可得；

设为平面的法向量，

令，可得，

所以，

又因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为.

18．在中，内角，，的对边分别为，，，已知外接圆的半径为1，且．

(1)求角；

(2)若，是的内角平分线，求的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理得到，整理得到，得到答案.

（2）根据正弦定理得到，，计算角度得到，得到答案.

【详解】（1），则，

即，

则由余弦定理可得，所以．

又，，所以，即，

又，所以．

（2）由正弦定理可得：，解得，，

，故为锐角，，

在中，，

是的内角平分线，故，，

故．

19．文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有个字脱落．

(1)若，用随机变量表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量的分布列及期望；

(2)若，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．

【答案】(1)分布列见解析，

(2)0.6

【分析】(1)利用超几何概率分布模型求解即可；

(2)根据掉落的两个字的不同情况进行分类讨论求解.

【详解】（1）方法一：

随机变量X的可能取值为0，1，2，

，，，

随机变量X的分布列如下表：

随机变量X的期望为

法二：

随机变量X服从超几何分布，所以.

（2）设脱落一个“学”为事件，脱落一个“好”为事件，脱落一个“数”为事件，

事件为脱落两个字，

，，

，，，

所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为

，

法二：

掉下的两个字不同的概率为，

所以标语恢复原样的概率为．

20．已知函数，．

(1)若，判断函数的单调性；

(2)当时，求函数的最小值，并证明：．

【答案】(1)在上为增函数，在上为减函数

(2)；证明见解析

【分析】（1）求导得到，确定，取得，得到单调区间；

（2）确定函数单调区间，计算，，得到最小值，确定，设，求导得到单调区间，计算最值得到证明.

【详解】（1），

即，因为，所以在上成立．

令得，

当时，，在上为增函数，

当时，，在上为减函数.

（2）当时，，．

在单调递增，在单调递减，，，

故函数的最小值为，

，即，即．

即．

要证，只需证，

只需证在上恒成立

令，则，所以单调递减，

所以，故恒成立，

所以，原不等式得证．

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，通过函数的构造将不等式的证明转化为函数的最值是解题的关键.

21．已知抛物线：和椭圆：，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的中垂线交椭圆于，两点．

(1)若恰是椭圆的焦点，求的值；

(2)若，且恰好被平分，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）计算焦点得到，解得答案.

（2）设直线：，联立方程得到根与系数的关系，设的中点，代入计算得到，由点在椭圆内，得到，确定，再计算面积得到答案.

【详解】（1）在椭圆中，，所以，由，得．

（2）设直线：，，，代入抛物线方程得．

，则，

设的中点，则，，

设，，则直线的斜率为，，，

相减得到，即.

即，解得，

由点在椭圆内，得，解得，

因为，所以值是1，

面积．

【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和抛物线方程，面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用点差法得到是解题的关键，弦中点问题我们一般使用点差法，需要熟练掌握.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

(2)设直线：（为参数）与曲线，的交点从上到下依次为，，，，求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据将曲线的参数方程化为普通方程，根据，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程分别代入曲线、的普通方程，根据直线的参数方程中参数的几何意义计算可得.

【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），又，

所以曲线的普通方程为．

曲线的极坐标方程为，有，

由得曲线的直角坐标方程为．

（2）将直线：（为参数）代入曲线的方程得，

即．解得两根为，，

由的几何意义得，，

同理将直线：（为参数）代入曲线的方程得，

解得两根为，，

所以由的几何意义得，，，，对应的值为，，，，

故．

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)设的最小值为M，若正实数a，b满足，证明：．

【答案】(1)

(2)证明过程见详解

【分析】（1）对进行分类讨论，再结合图象求解绝对值不等式即可；

（2）由（1）可知，可得，再利用基本不等式证明即可．

【详解】（1）由题意知，

令，得或，

结合图象可知的解集为．

（2）由题意可知，，，

，则令，，则，

，

当且仅当，即，时等号成立．