2022-2023学年宁夏回族自治区银川一中高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年宁夏回族自治区银川一中高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（ ）
A．B．1
C．D．2
【答案】D
【分析】由复数的概念与除法运算法则求解即可
【详解】因为是纯虚数，
所以，解得，
故选：D
2．抛物线的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的相关知识即可求得焦点坐标.
【详解】由已知可得，且抛物线的开口向下，
故焦点坐标为，
故焦点坐标为，
故选：D
3．若如图所示的框图运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S为28时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论.
【详解】由题意可知输出结果为，
第1次循环，，
第2次循环，，
第3次循环，，
此时S满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为,
故选︰A．
4．函数的导函数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据除法求导法则以及基本初等函数的求导公式即可求解.
【详解】由得，
故选：B
5．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由双曲线方程可得其中一条渐近线方程，根据点到直线的距离公式，即可求得答案.
【详解】不妨取双曲线的一条渐近线为，即，
故点到的距离为，
故选：C
6．某单位为了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，如下表，由表中数据得回归直线方程中，预测当气温为时，用电量的度数是（ ）
A．70B．6.8C．64D．62
【答案】A
【分析】求出的值，进而求得，将代入可得答案.
【详解】由图表可得，
故，则，
将代入可得，
即预测当气温为时，用电量的度数是70度，
故选：A
7．函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．为函数的零点
B．函数在上单调递减
C．为函数的极大值点
D．是函数的最小值
【答案】B
【详解】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值与导数的关系可判断C，D.
由的图象可知，当时，，
当时，，故为函数的极大值点，A错误；
当时，，故函数在上单调递减，B正确；
当时，，当时，，
故为函数的极小值点，C错误；
当时，，当时，，
故为函数的极小值点，而也为函数的极小值点，
与的大小不定，故不一定是函数的最小值，D错误,
故选：B
8．若点P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，且，则此椭圆的离心率e=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知为直角三角形，而，，借助边长关系即可求离心率.
【详解】,则，则为直角三角形，
因为，假设，则，
根据椭圆定义得，，
故，
故选：C.
9．某公司生产一种产品，固定成本为元，每生产一单位的产品，成本增加元，若总收入与年产量的关系是，，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的导数，然后分析单调性，得出正确答案即可.
【详解】设总利润为（） ，（），
令，可得，当时，,当时，，
故当时，取得最大值.
故选：D.
【点睛】本题考查利用导数求最值的问题，解题关键是正确求出导数，从而得出单调性，属于常考题.
10．如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及图象可得，结合已知条件求得，即可.
【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，
设，则由已知得，由抛物线的定义得，
故，
在直角三角形中，，，
又因为，
则，从而得，
又因为，
所以.
故选：B.
11．已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当时，（是函数的导函数）成立.若，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题可得的图象关于轴对称，令，可得是奇函数，利用导数可得单调性，由此能求出结果．
【详解】的图象关于直线对称，
的图象关于轴对称，
，
令，，
是奇函数，
当时，，
在单调递减，则在也单调递减，
∵，，，
∴，
∴，
故选：D．
12．过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先写出直线的方程，联立双曲线的方程消去y,由k=1得到，即.
由k=3得到，即，再求离心率的范围.
【详解】双曲线右焦点为，过右焦点的直线为，与双曲线方程联立消去y可得到，由题意可知，当k=1时，此方程有两个不相等的异号实根，所以，得0＜a＜b，即；当k=3时，此方程有两个不相等的同号实根，所以，得0＜b＜3a，；又，所以离心率的取值范围为．故答案为C
【点睛】(1)本题主要考查双曲线的离心率的范围，考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求离心率常用的方法用公式法和方程法.
二、填空题
13．函数的单调递减区间是______．
【答案】
【分析】求出函数的导数，在定义域内令求得的范围，可得函数的减区间．
【详解】的定义域是，
，
令，解得：，
所以在递减，故答案为
【点睛】本题主要考查函数的单调性，考查了导数的应用，属于简单题．利用导数求函数单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，令求得的范围，可得函数的减区间.
14．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于两点，若中点坐标为，则椭圆M的方程为________________.
【答案】
【分析】利用“点差法”即可得出：,结合，求得，即可得出答案．
【详解】由题意可知直线的斜率，
设，代入椭圆方程可得∶，
而，，
两式相减得：，
即得，即，又，
联立解得∶，
故椭圆M的方程为：，
故答案为：
15．已知函数，则的极大值为________________
【答案】
【分析】求出函数导数，令导数等于0，判断出极大值点，进而求得极大值，即得答案.
【详解】由函数得函数，
令，则或，
当时，，当时，，当时，
故为函数的极大值点，极大值为，
故答案为：
16．抛物线上有一动点，其焦点为，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】根据抛物线的定义得到，进而结合几何图形可确定最小值.
【详解】
由题可知，抛物线焦点为，准线为，
过作准线的垂线为交准线为点，
根据抛物线的定义可知，
所以，
因为为抛物线上的动点，所以当为点时，
取到最小值为,
故答案为: .
三、解答题
17．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值为，正数满足，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和两种情况，脱去绝对值符号，解不等式，即得答案.
（2）确定n的值，可得，可得，将变为，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）当时，,
当时，，
不等式等价于 或，
解得，或，故，
∴原不等式的解集为.
（2）由（1）得，，当时，，
所以的最小值为4，，
故，可得，
因为，
，
当且仅当时，即，取等号，
∴的最小值为.
18．求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)点和点的椭圆的标准方程；
(2)准线方程为的抛物线的标准方程；
(3)求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设椭圆的方程为：，将点的坐标代入，求得，可得答案；
（2）确定抛物线的焦点位置和参数p的值，即可求得抛物线方程.
（3）设与共渐近线的双曲线的方程为，将点代入双曲线中，求得参数的值，即得答案.
【详解】（1）设椭圆的方程为：，
因该椭圆经过点和，
于是得，解得，即有，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）抛物线的准线方程为，
所以抛物线的焦点在轴的正半轴，且焦点到准线的距离是，
所求抛物线的标准方程为：
（3）设与共渐近线的双曲线的方程为，
将点代入双曲线中，可得，即，
代入可得，双曲线的方程为.
19．已知函数
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
【详解】（1）解：当时，，
所以，
所以，，
故在点处的切线方程是，即；
（2）解：因为定义域为，
所以，
因为，
当，即当时，由，解得或，
当时，恒成立，
当，即当时，由，解得或，
综上，当时，的递增区间是，，
当时，的递增区间是，
当时，的递增区间是，；
20．已知椭圆C：，，分别为其左､右焦点，短轴长为2，离心率，过作倾斜角为60°的直线 l ，直线 l 与椭圆交于A，B两点.
(1)求线段AB的长；
(2)求的周长和面积.
【答案】(1)；
(2)的周长为，面积为.
【分析】（1）由题可得，然后根据离心率结合条件可得椭圆方程，进而可得直线方程，然后利用韦达定理法及弦长公式即得；
（2）利用椭圆的定义及三角形面积公式即得.
【详解】（1）∵椭圆的短轴长为2，
∴，又∵，
∴，
∴椭圆C的方程为：，，，
设，，直线 l 的方程为：，
由，可得，
所以，，
所以
；
（2）由于，分别为椭圆的左､右焦点，
所以的周长为，
因为到直线l：的距离为，
所以的面积.
21．已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．
（1）求函数；
（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求导后，根据和，解得即可得解；
（2）转化为，再利用导数求出函数在上的最大值，然后解不等式可得结果.
【详解】（1）∵，
由，得且，解得，，
又，∴，
∴；
（2）存在，使得，等价于，
∵，
当时，，当时，，
∴在上递减，在上递增，
又，，
∴在上的最大值为，
∴，解得，
所以的取值范围是．
【点睛】本题考查了由函数的极值求函数的解析式，考查了利用导数研究不等式能成立问题，属于基础题.
22．已知椭圆的左、右焦点分别为、，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过作两条斜率不为且互相垂直的直线分别交椭圆于、和、，线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
【分析】（1）设点，其中，，且，利用两点间的距离公式可求得的值，利用抛物线的定义求出的值，由椭圆的定义可求得的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，其中，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，同理可得出点的坐标，求出直线的方程，即可求得直线所过定点的坐标.
【详解】（1）解：抛物线焦点为，故，易知点，
设点，其中，，且，
，整理可得，
即，，解得，所以，，
所以，，则，，
因此，椭圆的方程为.
（2）解：设直线的方程为，其中，设点、，
联立，
，所以，，
，故点，
同理可得点，
所以，，
所以，直线的方程为，即，
因此，直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
气温（）
20
16
12
4
用电量（度）
14
28
44
62