2022-2023学年辽宁省葫芦岛市东北师范大学连山实验高中高一下学期月考数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省葫芦岛市东北师范大学连山实验高中高一下学期月考数学试题

一、单选题

1．化成的形式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据角度制和弧度制的关系求解.

【详解】因为，所以，

故选:B.

2．已知向量，则与共线且反向的单位向量为 （     ）

A． B．

C．或 D．

【答案】B

【分析】可设与共线且反向的单位向量，由，即可求解.

【详解】因为，所以可设与共线且反向的单位向量，

又

解得，或（舍去），

故.

故选：B

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分、必要条件结合任意角的正弦函数分析判断.

【详解】若，则成立；

若，则或，故不一定成立；

综上所述：“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．已知锐角满足，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，由，利用两角和差余弦公式可求得结果.

【详解】为锐角，，，

又，

.

故选：A.

5．要得到的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】将整理成，然后利用平移变换即可求解.

【详解】由于函数，

故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象.

故选：D．

6．已知中，，，则此三角形为（    ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】根据向量的数量积及模的运算即可得出结果.

【详解】设为中点,则可知,即为等腰三角形,

又,

所以,

故，所以．

综上可知三角形为等边三角形．

故选：B.

7．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意可得,，

，

，．故A正确．

【解析】三角函数单调性．

8．已知函数，下列说法错误的是（    ）

A．是偶函数 B．是周期为π的函数

C．在区间上单调递减 D．的最大值为

【答案】D

【分析】对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据即可判断B正确，对选项C，，，即可判断C正确，对选项D，当时，，再结合是周期为π的函数，即可判断D错误.

【详解】对选项A，，定义域为R，

，

所以为偶函数，故A正确.

对选项B，因为，

所以

所以，

所以的周期为，故B正确.

对选项C，，，

因为， 所以在区间上单调递减，

故C正确.

对选项D，当时，，

因为，，此时.

当时，，

因为，，此时.

因为是周期为π的函数，所以，故D错误.

故选：D

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．一定时，单位圆中的正弦线也一定 B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等

C．和有相同的余弦线 D．具有相同正切线的两角的终边在同一条直线上

【答案】AD

【分析】根据三角函数线的定义即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A，单位圆中，一定时，单位圆中的正弦线一定，所以A正确．

对于B，与有相同的正弦线，但，所以B错

对于C，和的余弦线相反，所以C错，

对于D，一三象限角的正切线相同，二四象限角的正切线相同，即具有相同正切线的两个角终边一定在同一条直线上，所以D正确．

故选：AD

10．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得，的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得，的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.

【详解】因为，

所以，则，

因为，所以，，

所以，故A正确；

所以，

所以，故D正确；

联立，可得，，故B正确；

所以，故C错误.

故选：ABD.

11．函数相邻两个最高点之间的距离为，则以下正确的是（     ）

A．的最小正周期为

B．是奇函数

C．的图象关于直线对称

D．在上单调递增

【答案】ABD

【分析】根据相邻两个最高点之间的距离为得到函数的最小正周期，从而求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.

【详解】解：因为函数相邻两个最高点之间的距离为，

即函数的最小正周期为，故A正确；

所以，解得，则，

所以为奇函数，故B正确；

又，所以函数关于点对称，即C错误；

若，则，因为在上单调递增，

所以在上单调递增，故D正确；

故选：ABD

12．八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形，其中，则下列结论中正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据正八边形性质，向量的共线，加法法则判断AC，计算出向量的数量积和模判断BD．

【详解】由正八边形性质知，A正确，而与同向，不可能等于，C错；

，B正确；

．D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．已知角的终边经过点，则________

【答案】

【分析】根据三角函数的定义式及特殊角的三角函数值直接求解.

【详解】由已知角的终边经过点，

即角的终边经过点，

所以，

故答案为：.

14．已知平面向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，求点Q的坐标________

【答案】

【分析】根据夹角可得三角函数值，进而根据和差角公式以及三角函数的定义即可求解.

【详解】由,则与轴正方向之间的夹角满足，

将向量绕原点O沿逆时针方向旋转得，则与轴正方向之间的夹角为，且，所以， ，

故，

所以，

故答案为：

四、双空题

15．如图已知长为，宽为的长方体木块在桌面上做无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，则点A走过的路程为______，走过的弧所在的扇形的总面积为________.

【答案】         

【分析】由弧长、面积公式计算各段弧长、面积，相加可得．

【详解】

由题意可得，长方形的对角线长度为，

第一段弧长，面积；

第二段弧长，面积，

第三段弧长，面积，

点走过的弧的总长为，走过的弧所对应的扇形的总面积．

故答案为：，．

五、填空题

16．已知平面向量满足，,，，则的最大值为______

【答案】

【分析】根据向量共线得，进而根据模长公式即可得，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】由，设，故，则，

所以，

故当时，此时取到最大值，故的最大值为 ，

故答案为：

六、解答题

17．求值：

(1)求 的值；

(2)求 的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦的和差角公式即可求解，

（2）根据辅助角公式以及同角之间的关系即可化简求解.

【详解】（1）由得

（2）

18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决.已知              .

(1)求的值；

(2)当为第三象限角时，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式化简可得，再根据齐次式化简求值；

（2）利用诱导公式化简，再根据同角三角函数关系式化简求值.

【详解】（1）若选①，由已知，即，

所以；

若选②，由已知，即，，则，

所以；

若选③，由已知，即，则，

所以；

（2）由（1）得，

又为第三象限角，则，，

所以.

19．已知，是同一平面内的两个向量，其中，

(1)若，求在上的投影向量；

(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)且

【分析】（1）根据投影向量的定义即可结合数量积求解，

（2）根据数量积的性质，结合共线即可求解.

【详解】（1）由，所以，

在上的投影数量为，

故在上的投影向量为

（2），

当时，则存在唯一的实数使得，解得，故当时，与共线，且方向相同，此时夹角为0，

综上可知：与的夹角为锐角时，且

20．如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面，它的右侧有一点且距离地面.风车翼片的一个端点从开始计时，按逆时针方向旋转.

(1)试写出点距离地面的高度关于时刻（min）的函数关系式；

(2)在点旋转一周的时间内，有多长时间点距离地面不超过？

【答案】(1)

(2)分钟.

【分析】（1）以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，先求出为终边的角为，接着利用三角函数的定义求出点纵坐标，即可求解；

（2）解法一：用三角函数的性质求解，可得到距离地面超过持续时间，即可求解；解法二：用三角函数的性质求解，即可得到距离地面不超过持续时间.

【详解】（1）以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为轴，过圆心且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系.

以轴非负半轴为始边，设为终边的角为，则，故；

点时刻所转过的圆心角为：，

若时刻时蚂蚁爬到圆环点处，那么以轴非负半轴为始边，

为终边的角为，则点纵坐标为，

所以

（2）解法1：令，即

所以，解得，

所以在一周时间范围内，距离地面超过持续时间为：分钟，

所以不超过8m的时间是分钟..

解法二：即

所以，解得

在一周内，距离地面不超过持续时间为：分钟，

所以不超过8m时间是分钟.

21．已知函数.

(1)求的对称轴方程；

(2)将函数的图象的横坐标缩短为原来的后，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间；

(3)若关于x的方程在上恰有2个实数根，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)，

(3)

【分析】（1）根据整体法即可求解，

（2）由，即可根据值求解所在区间上的单调性，

（3）根据正弦型函数的性质即可求解.

【详解】（1），令,解得，故对称轴方程为

（2）由题意可知 ，

令,解得，

取，则，取时，得，

故在上的单调递增区间为，

（3）当，即时，单调递增，

当，即时，单调递减，

且当或时，，故当，有两个实数根，此时，

当时，单调递减，至多一个实数根，

综上可知：在上恰有2个实数根，则

22．如图在中，.

(1)求;

(2)已知点D是AB上一点，满足，点E是CB上一点，满足，

①当时，求;

②是否存在非零实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2),

【分析】（1）利用余弦定理求出的长即得；

（2）①时，根据向量的线性运算求出，的线性表示，由数量积的运算即可求解；

②假设存在非零实数，使得，利用，分别表示出和，求出时的值即可．

【详解】（1）中，,

由余弦定理得，

，即；

（2）①时，，，

，

，

②假设存在非零实数，使得，

由，得，

；

又，

；

化简得，

解得或（不合题意，舍去）；

即存在非零实数，使得．