2022-2023学年辽宁省葫芦岛市绥中县第一高级中学高二下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省葫芦岛市绥中县第一高级中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ）

A．-1 B．-3 C．1 D．

【答案】D

【分析】利用导数的定义求解.

【详解】解：因为，

所以，

故选：D

2．记正项等比数列的前n项和为，若，则该数列的公比（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合等比数列的意义列出关于的方程，求解作答.

【详解】正项等比数列中，，由得，

整理得，即，解得，

所以数列的公比.

故选：C

3．已知等差数列满足，则（    ）

A．36 B．42 C．48 D．54

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质结合题设求得公差，即可求得，继而根据等差数列的性质求得答案.

【详解】由题意等差数列满足，

故，

则等差数列的公差为，

故，

故选：B

4．根据表中提供的数据求出y关于x的线性回归直线方程为，则m的值是（    ）

A．2.5 B．2.85 C．3 D．3.05

【答案】A

【分析】求出，代入线性回归方程求出，即可求解.

【详解】，回归中心点满足线性回归方程，

，

.

故选:A.

【点睛】本题考查线性回归直线的性质，熟记回归中心点在线性回归直线上，属于基础题.

5．已知数列为等差数列，首项，若，则使得的的最大值为（    ）

A．2007 B．2008 C．2009 D．2010

【答案】B

【分析】根据等差数列的首项和性质,结合可判断出,.结合等差数列的前n项和公式,即可判断的最大项.

【详解】数列为等差数列,若

所以与异号

首项,则公差

所以

则,所以

由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得

所以的最大值为,即

故选:B

【点睛】本题考查了等差数列的性质应用,等差数列前n项和公式的应用,不等式性质的应用,属于中档题.

6．已知数列的通项公式为，若前项和为9，则项数为（    ）

A．99 B．100 C．101 D．102

【答案】A

【分析】化简，利用裂项相消求出数列的前项和，即可得到答案

【详解】假设数列的前项和为，

因为，

则数列的前项和为，

当前项和为9，故，解得，

故选：A

7．已知数列满足，且，则的前2022项之积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，观察数列的前几项，可得其周期性，进而得出结论.

【详解】，且，

，，，，，

.

.

则的前2022项之积.

故选：A

8．甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球.整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A1､A2表示由甲罐取出的球是红球､白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B､C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”､“两球为一红一白”的事件，则下列结论中不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用条件概率公式可得，判断A，B；利用全概率公式计算，判断C，D.

【详解】在事件发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则，A正确；

在事件发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则，B正确；

因，，，，

则，C不正确；

因，，

则，D正确.

故选：C.

二、多选题

9．下列命题中正确的是（    ）．

A．对于任意两个事件A与B，如果，则事件A与B独立

B．两组数据，，，．．．，与，，，．．．，，设它们的平均值分别为与，将它们合并在一起，则总体的平均值为

C．已知离散型随机变量，则

D．线性回归模型中，相关系数r的值越大，则这两个变量线性相关性越强

【答案】AB

【分析】根据独立事件的乘法公式即可判断A；由平均值的定义和公式验证选项B；由二项分布的方差公式计算结果验证选项C；由线性相关系数的性质判断选项D.

【详解】对于A，对于任意两个事件A与B，如果，

则事件A与B独立，故A正确；

对于B：两组数据，，，…，与，，，…，，

设它们的平均值分别为与，

将它们合并在一起，有，

则总体的平均值为 ，B选项正确；

对于C：已知离散型随机变量， 有，

则，C选项错误；

对于D： 线性回归模型中，相关系数的值越大，则这两个变量线性相关性越强，

当时，相关系数r的值越大，这两个变量线性相关性越弱，D选项错误.

故选：AB.

10．数列为等比数列，下列命题正确的是（    ）

A．数列为等比数列 B．若，则

C．若，则单调递增 D．若该数列前项和，则

【答案】AC

【分析】根据等比数列的定义及性质可得A,B正误，利用的符号可得C的正误，根据等比数列和的特征可得D的正误.

【详解】设等比数列的公比为；

对于A，，所以数列为等比数列，A正确；

对于B，由，所以，因为等比数列中偶数项的符号一致，所以，B不正确；

对于C，因为，所以；当时，由可得，此时；

当时，由可得，此时；所以单调递增，C正确；

对于D，因为，所以，，，

因为为等比数列，所以，即，D不正确.

故选：AC.

11．在庄子的《在宥》中，“鸿蒙”是创造天地元气的上古真神.在后世的神话传说中，“鸿蒙”二字引申为一个上古时期，或者说是天地开辟之前的混沌时期.我国民族品牌华为手机搭载的最新自主研发的操作系统亦命名鸿蒙.刚参加工作的郭靖准备向银行贷款5000元购买一部搭载鸿蒙系统的华为Mate40Pro5G手机，然后他分期还款，.郭靖与银行约定，每个月还一次欠款，并且每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，贷款的月利率为，设郭靖每个月还款数为，则下列说法正确的是（    ）

A．郭靖选择的还款方式“等额本金还款法”

B．郭靖选择的还款方式“等额本息还款法”

C．郭靖每个月还款的钱数

D．郭靖第3个月还款的本金为

【答案】BC

【分析】每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，他采取的是等额本息还款法，每个月还款数为，根据利率求出每个月所还本金（由于有利息，每个月所还本金不相同），所有本金和为5000，由此可求得．

【详解】每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，他采取的是等额本息还款法，

每个月还款数为，则每个月所还本金为，，，…，，

所以，解得，

故选：BC．

12．已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（    ）

A．  B．时，

C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小

【答案】ABC

【分析】选项A利用概率的基本性质即可，B选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C，D根据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可.

【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，，

故A正确，

对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布，

则，

所以，

，

所以，故B正确，

对于C,D选项，，

当时，为正项且单调递增的数列，

故随着的增大而增大故选项C正确，

当时，为正负交替的摆动数列，

故选项D不正确.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知随机变量，，且，，则_________.

【答案】

【分析】由题意可得出，，由，可求出的值.

【详解】因为随机变量，所以，

，且，所以，

所以，解得：.

故答案为：

14．对任意正整数，数列满足：，则__________.

【答案】

【分析】类比与的求法，条件式前n项和减去前项和.

【详解】根据题意有：当，得：2；

当时，，即，即，

又不满足上式，所以的通项公式为.

故答案为：.

15．已知数列是首项为-6，公差为1的等差数列，数列满足且，则数列的最大值为_______.

【答案】

【分析】先求等差数列，利用累加法求出，令，由式子得的最大值在中取得，利用数列的单调性得为的最大值.

【详解】由已知易得：，因为，所以

累加得：，又，

所以，所以，显然前7项的值小于等于0，从第8项起大于0，

所以当时，，所以，

所以，故填：.

【点睛】本题考查等差数列、等比数列前项和、数列的单调性等知识，考查累加法的应用，数列的最大项要树立函数单调性的思想意识.

16．已知表示不超过x的最大整数，如等，则__________．

【答案】

【分析】根据可求的形式，再利用分组求和可求数列的和.

【详解】由于，于是

设原式为M，则．

故答案为：.

四、解答题

17．已知数列，满足，，且．

(1)求的通项公式；

(2)设，为数列的前n项和，求．

【答案】(1)

(2)130

【分析】（1）首先证明是等差数列，求出其公差，写出通项即可；

（2）当时，，则，利用等差数列求和公式即可.

【详解】（1）由题可知,,都有,

数列是等差数列,

设的公差为,

（2）由(1)可知，令，则,

当时，，

当时,,

18．为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：

(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

(2)求y关于x的线性回归方程，并预测2025年该市新能源汽车充电站的数量．

参考数据：，，，，

.

参考公式：相关系数，

线性回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，

【答案】(1)答案见解析

(2)，个

【分析】（1）求得，，，结合公式求得，即可得到结论；

（2）由（1）求得，进而求得，得到所求线性回归方程为，令，求得，即可求解.

【详解】（1）解：根据表格中的数据，可得，

，

，

，，

所以，

因为y与x的相关系数近似为，接近1，说明y与x的线性相关程度相当高，所以可以用线性回归模型拟合y与x的关系．

（2）解：由（1）可得，

所以，所以所求线性回归方程为，

将2025年对应的年份编号代入线性回归方程得，

故预测2025年该市新能源汽车充电站的数量为个.

19．已知数列是递增的等差数列，，若成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和，求.

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；

（2）由（1）求得，结合“裂项法”即可求解.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

因为，若成等比数列，

可得，解得，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）可得，

所以.

【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略：

1、基本步骤：

裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；

累加：将数列裂项后的各项相加；

消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前项和.

2、消项的规律：

消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

20．由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．

已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35．

(1)现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？

(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．

附：，，

【答案】(1)从A地抽取6人，从B地抽取7人.

(2)没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

(3)分布列见解析，期望为2.

【分析】（1）求出x的值，由分层抽样在各层的抽样比相同可得结果.

（2）补全列联表，再根据独立性检验求解即可.

（3）由题意知，进而根据二项分布求解即可.

【详解】（1）由题意得，解得，

所以应从A地抽取（人），从B地抽取（人）．

（2）完成表格如下：

零假设为：观众的喜爱程度与所在地区无关.

，

所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

（3）从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，

从A地区随机抽取3人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，

则，

，

，

．

所以X的分布列为

方法1：．

方法2：.

21．已知各项均为正数的数列{}满足

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式，由此再求数列的通项公式；

（2）利用错位相减法求数列的前项和.

【详解】（1）因为，所以，

又，

又当时，

所以当时，，

当时，，满足关系，

所以，，

因为，所以；

（2）由（1）知..

所以

，.

两式作差得

所以.

22．已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，．

(1)求，，；

(2)已知等式对，成立，请用该结论求数列，，2，…，n的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可得，分别将和代入计算即可得，再根据即可得，利用分组求和计算即可得；

（2）由（1）可得，根据并利用二项式定理，由二项式系数性质计算即可得.

【详解】（1）由可得，；

又数列各项均不为零，所以；

当时，，由可得；

当时，，可得；

由可得，

两式相减可得，

所以

，

即可得.

（2）由（1）可得，

所以

即前n项和为.