2022-2023学年重庆市开州区临江中学高一下学期第一次阶段性测试数学试题含解析

2022-2023学年重庆市开州区临江中学高一下学期第一次阶段性测试数学试题

一、单选题

1．复数的虚部是（    ）

A． B． C．-3 D．3

【答案】D

【分析】利用复数的乘法运算化简复数，然后根据虚部的定义即可求解.

【详解】解：因为复数，所以复数的虚部是3，

故选：D.

2．已知非零向量，若，且，则（    ）

A． B．2 C． D．8

【答案】A

【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得；

【详解】解：因为，且，所以，解得，

故选：A

3．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状为（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到，由和都为三角形的内角，可得或，从而得到三角形为等腰三角形或直角三角形．

【详解】解：由正弦定理化简已知的等式得：，

，

，又和都为三角形的内角，

或，即或，

则为等腰或直角三角形．

故选：D．

4．已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用投影向量的定义求解.

【详解】解：因为平面向量，的夹角为，且，，

所以在方向上的投影向量为 ，

故选：C

5．如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】可知为等腰直角三角形，可计算出的长度，在中，利用正弦定理求出的长度，然后在中，利用锐角三角函数求出，即可得出答案.

【详解】根据题意，可得在中，，，

所以，，

因为在中，，

，

由正弦定理，得，

在中，，故选C.

【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，着重考查三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，在解题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.

6．已知向量，满足，，，则（    ）

A． B． C．4 D．12

【答案】B

【分析】根据向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.

【详解】由题意，向量，满足，，，

又由，

所以.

故选：B.

7．如图所示，在中，点是的中点，且，与相交于点，设，，则等于（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据向量线性运算、三点共线以及平面向量的基本定理等知识求得正确答案.

【详解】由题意得，，

由，，三点共线可知，存在实数，满足.

由，，三点共线可知，存在实数，满足，

所以.

因为，为基底，所以，解得，

所以.

故选：A

8．已知在中，是边上的点，且，，,则的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设，则，则，，所以，整理得到，解得 或者（舎），故，而 ，故.选A.

.

二、多选题

9．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据正八边形的性质、平面向量数量积的定义及向量加法的平行四边形法则判断即可；

【详解】解：依题意，故A错误；

，故B正确；

因为，即，

所以以，为邻边的平行四边形为正方形，对角线长为，所以，故C正确；

因为，所以，故D错误；

故选：BC

10．下列说法错误的是（    ）

A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间部分所围成的几何体是棱台

C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱

D．用一个平面去截取球体，得到的截面是一个圆面

【答案】ABC

【分析】根据圆锥、棱台、棱柱及球的定义和特点判断各选项即可.

【详解】对于A，以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才可以是圆锥，故A错误；

对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，所得棱锥底面和截面之间的部分所围成的几何体才是棱台，故B错误；

对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，故C错误.

对于D，用一个平面去截取球体，得到的截面一定是一个圆面，故D正确.

故选：ABC.

11．设复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ）

A．“”的充要条件是“”

B．若，则的最大值为3

C．若，，则

D．方程在复数集中有6个解

【答案】ABD

【分析】根据共轭复数的概念及性质，结合充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；根据复数模的几何性质，可判定B正确；根据复数乘方的运算规律，可判定C不正确；设为方程的解，得到，分、两种情况讨论，即可求解.

【详解】对于A中：若，则成立，若，可得，解得，

所以成立，所以A正确；

对于B中：若，则表示以原点为圆心，半径为的圆上的点到点的距离，

因为原点到点的距离为，所以的最大值为，所以B正确；

对于C中：若，，

则，所以C不正确；

对于D中：设为方程的解，

代入方程得，即，

若，则，即，

所以或，解得或，即是原方程的解；

若，则，即，

所以，解得或；或，解得或；

即，，，也是原方程的解.

综上可得，原方程有6个解，分别为，，，，，，所以D正确.

故选：ABD.

12．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c且，．则下列结论正确的是（    ）

A．面积的最大值为 B．的最大值为

C． D．周长的最大值为9

【答案】CD

【分析】对A选项，根据余弦定理建立关系，使用基本不等式求出的最大值；

对B选项，用正弦定理及三角恒等变换得求最值；

对C选项，使用余弦定理将化为边后整理即可；

对D选项，根据A选项中关系，使用基本不等式求出的最大值.

【详解】对A选项，∵，

∴当且仅当时，取得等号，

∴所以A选项不正确；

对B选项，由正弦定理得，所以

所以

所以当时，的最大值为，故B不正确；

对C选项，∵    ，所以C选项正确；

对D选项，由A选项的分析知，∴，当且仅当时，取得等号,    ，

又 ，∴周长所以D选项正确；

故选：CD

三、填空题

13．如图，在中，为线段上的一点，，且，则______.

【答案】2

【分析】根据图形，利用平面向量的运算法则即可.

【详解】由题意，结合图形，根据平面向量的运算法则，由，

得，即，所以，.

所以.

故答案为：.

14．在中，已知，，，则满足条件的三角形有______个.

【答案】2

【分析】根据正弦定理得，再根据，得B有两解，进而求解.

【详解】在中，由，

即，

所以

由，得，

所以或，

所以满足条件的三角形有2个.

故答案为：2.

15．长方体中，，，，则一只小虫从点沿长方体的表面爬到点的最短距离是___________．

【答案】5

【分析】根据题意，画出三种展开的图形，求出、两点间的距离，比较大小，从而找出最小值即为所求．

【详解】解：长方体的表面可如下图三种方法展开后，、两点间的距离分别为：

，，，

一只小虫从点沿长方体的表面爬到点的最短距离是5．

故答案为：5．

16．在中，为的外心，为边上的中点，，，，则______.

【答案】/

【分析】根据题意求得和，由，得到，求得，再由，求得，结合余弦定理，即可求解.

【详解】如图所示，取的中点，的中点，分别连接，

因为为的外心，可得，

则，同理可得，

所以，

即，又由，所以，

又由，可得，可得，

由余弦定理得.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z；

（2）已知复数为纯虚数，求实数m的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据模长公式以及复数的加法运算，结合对应的象限得出z；

（2）根据复数的四则运算以及纯虚数的定义得出m的值.

【详解】解：（1）设，由题意每，

解得，，

∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴，∴.

（2）

，

由题意得，解得

18．已知分别是内角的对边， ．

（1）若，求

（2）若，且求的面积．

【答案】（1）；（2）1

【详解】试题分析：（1）由，结合正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出

（2）利用（1）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出

试题解析：（1）由题设及正弦定理可得

又，可得

由余弦定理可得

（2）由（1）知

因为，由勾股定理得

故，得

所以的面积为1

【解析】正弦定理，余弦定理解三角形

19．已知向量，，且，.若，.

(1)若向量，求的值；

(2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，利用，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解；

（2）要使向量与的夹角为钝角，则满足且与不平行，列出不等式组，即可求解.

【详解】（1）解：由，可得，即，

即，

因为，，所以，，

所以，解得.

（2）解：要使向量与的夹角为钝角，则满足且与不平行，

即，解得且，

所以实数的取值范围为.

20．杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，．

（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；

①；②

（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即最大），最长值为多少？

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【分析】(1)在中，利用正弦定理，可求得BD=6.

选①：先由三角形的内角和可得∠BDC=，从而知为直角三角形，然后由勾股定理，得解;

选②：在中，由余弦定理可得关于BE的方程，解之即可.

(2)在中，结合余弦定理和基本不等式，即可得解.

【详解】（1）在中，由正弦定理知，，解得，

选①：，，

，

在中，；

若选②，在中，由余弦定理知 ，，化简得，解得或（舍负），

故服务通道BE的长度 ；

（2）在中，由余弦定理知，，

，

，即，当且仅当时，等号成立，此时，的最大值为．

【点睛】关键点睛：本题主要考查解三角形的实际应用，还涉及利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

21．如图，在四边形中，，且 .

(1)求实数的值

(2)已知是线段上的两个动点，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，可得，即可得，根据数量积公式，可得AD的长，分析即可得答案.

（2）如图建系，求得D点坐标，设，则，即可得坐标，根据数量积公式，结合x的范围，即可得答案.

【详解】（1）因为，

所以，所以，

所以，

所以，又，

所以，即.

（2）以BC为x轴正方向，过B作BC垂线为y轴，建立坐标系，如图所示，

因为，

所以，则，

设，则，

因为是线段上的两个动点，

所以，解得，

所以，

所以，

所以当x=3时，有最小值

22．如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，．

(1)求b边的长度；

(2)求的面积；

(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且的面积为面积的，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理得出和的关系式，进而求出的长度即可；

（2）根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出，进而求出，再根据三角形面积公式求出面积即可；

（3）首先设，，（），根据三点共线公式得到，

再根据面积的倍数关系求出，因此求出的表达式后，可以根据函数值域的求解方法解决取值范围即可．

【详解】（1）由已知条件可知：

在中，由正弦定理

得

在中，由余弦定理

得

，又

（2）设

为BC边上中线

则

①

或

由①，得

（3）设，，（）

，

根据三点共线公式，得

（，为∠BAC）

【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的运算性质以及求函数值域问题，需要一定的分析和解决问题的能力．