2022-2023学年辽宁省实验中学高二下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省实验中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图．根据散点图判断，下面四个回归模型中，最适合的是（    ）

A．y＝bx＋a B． C． D．

【答案】C

【分析】根据样本点分布的分布情况和函数的图象特征判断.

【详解】解：由散点图看出，样本点分布在开口向右的抛物线（上支）附近，

整体趋势递增，单位增长率逐渐变小，

所以函数较适宜，

故选：C

2．掷一个均匀的骰子．记A为“掷得点数大于等于2”，B为“掷得点数为奇数”，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】列举出事件A的所有基本事件，然后从其中找出满足事件B的基本事件，利用古典概型概率公式可得.

【详解】事件有下列可能： ，共5种；

在事件A条件下满足条件有：共2种，所以.

故选：D.

3．已知某种疾病的某种疗法的治愈率为80%．若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中不正确的是（    ）

A． B．

C． D．存在，使得成立

【答案】D

【分析】根据二项分布的概率公式、期望与方差公式计算即可逐一判定.

【详解】由题意可得，由二项分布的概率公式得，即B正确；

若，则，与条件矛盾，即D错误；

由二项分布的期望与方差公式得：，即A、C正确；

故选：D

4．已知，，，则下列选项中不正确的是（    ）

A． B． C． D．A与B独立

【答案】C

【分析】利用条件概率公式，独立事件的定义和全概率公式对每个选项进行判断即可

【详解】对于A，因为，所以，

又因为，,

所以,故A正确；

对于B，因为，所以，

所以，故B正确；

对于C，因为，所以，

所以，故C不正确；

对于D，因为，所以，

所以A与B独立，故D正确

故选：C

5．甲、乙两人进行比赛，假设每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，且各局比赛互不影响．若采取“5局3胜制”，则概率最大的比赛结果是（    ）

A．乙赢得比赛 B．甲赢得比赛

C．甲赢得比赛 D．甲赢得比赛

【答案】C

【分析】根据二项分布的概率公式一一计算比较大小即可.

【详解】若乙赢得比赛，即乙前四场赢两场，第五场赢，

故其概率为：；

同理若甲赢得比赛，其概率为：；

若甲赢得比赛，即甲前三场都赢，其概率为：；

若甲赢得比赛，即甲前三场赢两场，第四场赢，其概率为：，

综上甲赢得比赛，其概率最大.

故选：C

6．某货车为某书店运送书籍，共箱，其中箱语文书、箱数学书、箱英语书．到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】记事件从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，记事件丢失的一箱是语文书，事件丢失的一箱是数学书，事件丢失的一箱是英语书，利用全概率公式求出的值，再利用贝叶斯公式可求得所求事件的概率.

【详解】记事件从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，

记事件丢失的一箱是语文书，事件丢失的一箱是数学书，事件丢失的一箱是英语书，

则，

，

由贝叶斯公式可得.

故选：B.

7．正三棱柱的各棱中点共个点，在其中取个不共面的点，不同的取法共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．以上都不对

【答案】A

【分析】作出图形，求出任选个点的选法种数以及四个点共面的选法种数，利用间接法可求得结果.

【详解】如下图所示，在正三棱柱中，、、、、、、、、为相应棱的中点，

从上述个点中任选个点，共有种选法，

其中所选的个点在同一侧面上，共种情况；

若所选的个点不在同一侧面上，且构成平行四边形，如、、、，共种情况；

若所选的个点构成梯形，如、、、，共种情况.

综上所述，正三棱柱的各棱中点共个点，在其中取个不共面的点，不同的取法共有种.

故选：A.

8．甲乙两人玩掷硬币的游戏，已知硬币是均匀的，即任何一次掷得正面和掷得反面的概率都是．甲掷次，乙掷次，并规定：掷得正面的次数多者获胜．设甲获胜的概率为，则（    ）

A． B． C． D．以上都不对

【答案】B

【分析】设出甲掷出的正面、反面次数，乙掷出的正面、反面次数，可得所求事件的概率为，由为必然事件，且，因为硬币是均匀的，根据对称性得，从而可得.

【详解】设甲正甲掷出的正面次数，甲反甲掷出的反面次数，

乙正乙掷出的正面次数，乙反乙掷出的反面次数，

由题意可得，所求事件的概率为，

显然，为必然事件，

而，即，因为硬币是均匀的，

由对称性可得，

所以.

故选：B

二、多选题

9．下列关于相关系数r的叙述中，正确的是（    ）

A．

B．当y与x正相关时，

C．时，两个变量之间的回归直线方程没有价值

D．当成对数据构成的点都在回归直线上时，则

【答案】ABC

【分析】根据相关系数的概念及含义，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，根据相关系数的概念，可得，即，所以A正确；

对于B中，当，可得变量与正相关，所以B正确；

对于C中，当时，两个变量之前的相关性非常弱，所以两个变量之间的回归直线方程没有价值，所以C正确；

对于D中，当成对数据构成的点都在回归直线上时，可得，所以D错误.

故选：ABC.

10．下列关于正态分布的叙述中，正确的是（    ）

A．X的均值为0

B．X的方差为1

C．X的概率密度函数为，

D．若，则

【答案】ABD

【分析】根据正态分布的概念与性质逐项分析判断.

【详解】因为，则X的均值为0，X的方差为1，故A、B正确；

X的概率密度函数为，，故C错误；

对于可知：Y的均值为1，Y的方差为4，可得，

则，故D正确；

故选：ABD.

11．下列关于超几何分布的叙述中，正确的是（    ）

A．X的可能取值为0，1，2，…，20 B．

C．X的数学期望 D．当k＝8时，最大

【答案】ACD

【分析】根据超几何分布的定义和性质即可判断ABC选项；根据最大列不等式，解不等式即可得到，即可判断D选项.

【详解】根据超几何分布的定义得到的可能取值为0，1，2，20，，，故AC正确，B错；

，解得，所以时最大，故D正确.

故选：ACD.

12．有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得M（M＞0）分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得N（N＞0）分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为p（0＜p＜1），能正确回答B类问题的概率为q（0＜q＜1），且能正确回答问题的概率与回答次序无关．为使累计得分的期望最大，下列哪些条件下小明应选择先回答A类问题（    ）

A．M＞N且p＞q B．

C． D．

【答案】AD

【分析】在先回答A类问题或先回答B类问题前提下通过题意分析出小明累计得分所有可能取值，逐一求概率列分布列并求出得分的数学期望，比较两个期望的大小即可得到应满足的条件．

【详解】若先回答A类问题由题可知，所以得分的所有可能取值为．

；

；

．

所以的分布列为

故．

若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为．

；

；

．

所以的分布列为

所以．

若小明选择先回答A类问题，则，

解得，即，所以D正确，C错误；

当M＞N且p＞q时，显然有成立，故A正确.

对时不一定成立，故B不正确；

故选：AD

三、填空题

13．等差数列的前项和为，若，，则______．

【答案】

【分析】根据等差数列的通项公式列方程组计算，再利用前项和公式计算即可.

【详解】在等差数列中，可得，

解得，所以.

故答案为：

14．已知等差数列的前项和为，且，，则 ；

【答案】60

【详解】若数列{an}为等差数列则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m仍然成等差数列．

所以S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差数列．

因为在等差数列{an}中有S10=10，S20=30，

所以S30=60．

故答案为60．

15．数列，满足，，，．若数列是等差数列，则______．

【答案】

【分析】根据题意求得和，得到数列的通项公式，进而求得.

【详解】由题意知，，且，可得，，

若数列是等差数列，可得公差，所以，

所以，可得.

故答案为：.

16．数列满足：，，，记数列的前n项和为，则______．

【答案】

【分析】根据递推公式得到为周期数列，最小正周期为8，且，从而求出.

【详解】因为，，，

所以，，

，，，

，，

，，……，

故为周期数列，最小正周期为8，且，

所以

.

故答案为：

四、解答题

17．为调查某市高三学生是否愿意参加某项活动，用简单随机抽样方法从该市调查了100名高三年级学生，结果如下：

(1)估计该市高三学生中，愿意参加该项活动的学生的比例；

(2)能否有99%的把握认为该市高三学生是否愿意参加该项活动与性别有关？

(3)根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该市的高三学生中，愿意参加该项活动的学生的比例？

附：．

【答案】(1)

(2)有，理由见解析

(3)答案见解析

【分析】（1）根据100名高三年级学生中愿意参加该项活动的人数得到答案；

（2）计算出卡方，与6.635比较后得到结论；

（3）按照男、女人数比，采用分层抽样的方法比采用简单随机抽样方法更好．

【详解】（1）调查了100名高三年级学生中，愿意参加该项活动的学生数为，

则估计该市高三学生中，愿意参加该项活动的学生的比例为；

（2），

故有99%的把握认为该市高三学生是否愿意参加该项活动与性别有关；

（3）调查时，先确定该市高三年级学生中男、女的比例，再把高三年级学生分成男、女两层并采用分层抽样的方法比采用简单随机抽样方法更好．

18．经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高．在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据：

并计算得，，，，．

(1)以胸径为横坐标，树高为纵坐标绘制散点图；

(2)求该林场这种树木的树高（单位：）与胸径（单位：）的样本相关系数（精确到）；

(3)求该林场这种树木的树高（单位：）关于胸径（单位：）的回归直线方程（精确到），并估计该林场这种树木的胸径为时的树高（精确到）．

附：样本相关系数，，，．

【答案】(1)散点图见解析

(2)

(3)，估计树高为

【分析】（1）根据表格数据直接绘制散点图即可；

（2）根据已知数据可计算得到，利用已知相关系数公式直接求解即可；

（3）利用最小二乘法可求得回归直线方程，代入即可求得预报值.

【详解】（1）散点图如下图所示，

（2）由已知数据得：，，

（3），

，

关于的回归直线方程为：；

令，则，

即估计该林场这种树木的胸径为时的树高约为.

19．（1）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中随机的抽取出两个数字，记两个数字的和为X．

（i）求X的分布列；

（ii）求X的数学期望．

（2）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中随机的抽取出三个数字，记三个数字的和为Y．写出Y的数学期望（只需写出结果即可，不需写出推证过程）．

【答案】（1）（i）分布列见解析；（ii）；（2）

【分析】（1）（i）直接利用古典概型求概率，列出分布列即可.（ii）利用分布列直接求解期望即可.

（2）列出分布列，直接求解期望即可.

【详解】（1）（i）X是一个离散型随机变量，，

其可能的取值为1，2，3，4，5，…，13，14，15，16，17．

用表格表示X的分布列，如下图所示：

（ii）．

（2）的可能取值为，，

则，

，

，

，

，

，

，

，

.

．

20．已知，，，四个袋，每个袋中都有1个黑球和1个白球共两个球，这些球除颜色外完全相同．现有，两个空盒，甲同学从，两袋中各随机取出1个球，放入盒中；乙同学从，两袋中各随机取出1个球，放入盒中．

(1)求：盒中是两个黑球的概率，盒中是一个黑球和一个白球的概率，盒中是两个白球的概率；

(2)接下来丙同学从，两盒各随机取出1个球，记录下颜色后，放回原盒；随后丁同学从，两盒各随机取出1个球，记录下颜色后，放回原盒．

（i）求：丙同学取得两个白球的概率；

（ii）在，两盒中无任何一盒是两个白球的条件下，求丙、丁两位同学都取得两个白球的概率．

【答案】(1)答案见解析

(2)（i）；（ii）

【分析】（1）利用古典概型的概率求解；

（2）（i）分，盒中是两个黑球的概率，，盒中是一个黑球和一个白球的概率，，盒中是两个白球，利用古典概型的概率和独立事件的概率求解；（ii）法一：利用古典概型的概率求解；法二：利用条件概率求解.

【详解】（1）解：盒中是两个黑球的概率为，或；

盒中是一个黑球和一个白球的概率为，或；

盒中是两个白球的概率为，或．

（2）（i）丙同学取得两个白球的概率为，

或．

（ii）法一：在，两盒中无任何一盒是两个白球的条件下，丙、丁两位同学都取得两个白球的概率为．

法二：，两盒中无任何一盒是两个白球的概率为．

，两盒中无任何一盒是两个白球且丙、丁两位同学都取得两个白球的概率为．

从而在，两盒都不是两个白球的条件下，丙、丁两位同学都取得两个白球的概率为．

21．数列的前n项和为．

(1)若，求证：数列是等差数列；

(2)若，求证：数列是等差数列．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用和与项的关系求得通项，再利用定义法即可证明；

（2）利用和与项的关系求得，进而得，其中,再结合中项法即可证明.

【详解】（1）当n＝1时，；当时，；

综上，，其中．

所以当时，，

故数列是等差数列．

（2）当时，．

当时，有和，

所以．即．

所以当时，有和，

从而，其中．即，其中．

故数列是等差数列．

22．（1）已知椭圆E：，直线经过点，交椭圆E于点A，B，直线经过点，交椭圆E于点A，C，其中点A不是椭圆E的顶点．若直线OA的斜率为，求直线BC的斜率（用表示）．

（2）已知椭圆E：，直线经过点，交椭圆E于点A，B，直线经过点，交椭圆E于点A，C，其中点A不是椭圆E的顶点．记为直线OA的斜率，为直线BC的斜率．写出与的关系式（只需写出结果即可，不需写出推证过程）．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）运用韦达定理可将用的代数表示，用的代数表示，同理可得与，用，代入公式中求解即可.

（2）同（1）思路相同求解即可.

【详解】（1）如图所示，

设直线为，则点A，B满足：，

所以，满足：，即．

所以．

所以，

所以，

即，．

同理，．

所以．

即直线BC的斜率为.

（2）．

理由如下：设直线为，则点A，B满足：，

所以，满足：，

即．

所以．

所以，

所以，

即，．

同理，．

所以，

所以.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

（1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．

（2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．

（3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．