2022-2023学年辽宁省葫芦岛市协作校高一上学期第二次考试数学试题（解析版）

2022~2023学年上学期协作校高一第二次考试

数学试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至必修第二册第四章.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】化简集合，根据交集的概念可求出结果.

【详解】因为，

由，得，

所以，

所以.

故选：B

2. 已知，，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由条件，结合不等式的性质求出的取值范围即可.

【详解】因为，所以

又，所以，

所以的取值范围是，

故选：A.

3. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知得，求解即可.

【详解】由已知得，解得且，所以的定义域为.

故选：B

4. 函数 的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】本题首先根据判断函数的奇偶性排除,再根据,对应,排除,进而选出正确答案.

【详解】由函数 ， 可得，
 

故函数的定义域为，

又 ， 所以是偶函数，

 其图象关于轴对称， 因此 错误；

当 0时，， 所以错误．

故选:

5. 已知符号函数 则“” 是“” 的（    ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】按充分条件和必要条件的相互推导关系判断即可.

【详解】若 ， 则；

 若， 则同号， 所以．

 故“”是“”的必要不充分条件．

故选：C.

6. 若，则的最小值为（    ）

A. 16 B. 8 C. 20 D. 12

【答案】A

【解析】

分析】利用均值不等式求解即可.

【详解】由题意得，

当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为16，

故选：A

7. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】通过观察三个数的特征可知，很难化成同底形式，所以可通过构造幂函数，利用其单调性即可比较得出结果.

【详解】由题意可知，，

，

因为在上是增函数，，所以.

故选：D.

8. 已知 ， 设函数 则值可能为（    ）

A.  B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】本题构造一个奇函数,应用奇函数性质得出,

根据,确定了式子的范围即选出答案.

【详解】令 ， 所以为奇函数，

所以 ， 因为， 所以为不小于 2 的偶数，

故选:

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据不等式的性质判断A，B，举反例判断C，D.

【详解】当时，由可得，当时，由可得，故A正确.

因为，所以，所以，故B正确.

当，时，，故C错误.

当，时，，故D错误.

故选：AB.

10. 已知命题，，则（    ）

A. 为全称量词命题 B. 为存在量词命题

C. 为真命题 D. 的否定是“，”

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于选项A、B，含有全称量词的命题为全称量词命题，很容易判断；选项C，通过配方很容易得出结论；选项D，全称量词命题的否定是存在量词命题.

【详解】选项A，命题含有全称量词“”，所以为全称量词命题，故A正确，B错误；

选项C，，恒成立，为真命题，故C正确；

选项D，命题的否定是存在量词命题，“，”， 故D正确.

故选：ACD．

11. 某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．抽奖结果共分5个等级，等级工与购物卡的面值y（元）的关系式为，3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面值多120元，且4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，则（    ）

A.  B.

C. 1等奖的面值为3130元 D. 3等奖的面值为130元

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意得到4等奖比5等奖的面值多20元，结合3等奖比4等奖的面值多100元，列出方程，求出，A正确；

再代入中，求出，根据4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，求出，3等奖的面值，B错误，D正确；

根据及，求出1等奖的面值，C正确.

【详解】由题意可知，4等奖比5等奖的面值多20元，

因为，

所以，

则，A正确；

由，可知．

因为4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，所以，解得，B错误；

则3等奖的面值为元，D正确；

由，故1等奖的面值为3130元，C正确.

故选：ACD

12. ， 我们称为互补函数． 下列函数为 “互补函数” 的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据互补函数定义，结合函数值域以及特殊值，即可判断和选择.

【详解】对A：，显然不存在满足题意；

对B：取， 则， 满足题意；

对C：取，则，满足题意；

对D：取， 则， 满足题意．

故选：BCD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 已知集合，写出一个满足的集合：_____________.

【答案】(答案不唯一)

【解析】

【分析】写出满足的集合即可.

【详解】解：根据题意，只要是满足的集合即可

所以

故答案为：

14. 函数（且）的图像过定点A，且点A在幂函数的图像上，则_______________.

【答案】81

【解析】

【分析】根据对数型函数过定点A，可求出，设幂函数，将点A代入即可求出幂函数的解析式，进而可求出函数值.

【详解】解：由题意当，即时，，

函数的图像过定点.

设幂函数，由于点A在幂函数的图像上，

则，解得，

，

则，，

故答案为：81.

15. 若方程 在上仅有一个实根， 则的取值范围是__________

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，利用一元二次方程根的分布列式求解作答.

【详解】方程中，，因此方程在上有两个不等的实数根，

不妨令，则，当时，，此时方程二根为，在上没有根，不符合题意，

于是得，则有，解得，

所以的取值范围是.

故答案为：

16. 函数 的零点个数为_______________.

【答案】3

【解析】

【分析】将函数的零点个数问题转化为函数与图象的交点个数，作出两函数的图象，数形结合，即可求得答案.

【详解】由题意知的零点个数等于函数与图象的交点个数，

如图，作出函数与的图象，

由图象可知与的图象有3个交点，即的零点个数为3，

故答案为：3

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 求值：

（1）；

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据指数幂运算性质进行运算可得答案；

（2）根据对数和指数的运算可得答案.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

.

18. 已知集合，.

（1）若，求；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）时，求出集合、，由此能求出；

（2）由，可得，结合包含关系即可求解.

【小问1详解】

时，，，

.

【小问2详解】

，，

则，即，

的取值范围为.

19. 已知正数a，b满足5a+b=10.

（1）求ab的最大值;

（2）证明:

【答案】（1）5    （2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据基本不等式求解即可；

（2）根据，再结合基本不等式证明即可.

【小问1详解】

，当且仅当，即时取等号.

故ab最大值为5.

【小问2详解】

由题意，，当且仅当，即时取等号，即得证.

20. 已知函数．

（1）证明：为奇函数．

（2）判断在上的单调性， 并证明你的结论．

（3）解关于的不等式．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）在上为增函数；证明见解析；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）利用函数奇偶性定义直接判断作答.

（2）利用函数单调性定义，按步骤推理判断作答.

（2）利用（1）（2）的结论，脱去法则“f”求解作答.

【小问1详解】

依题意，，又的定义域关于原点对称，

 所以是奇函数．

【小问2详解】

在上为增函数．

，且，有，

因，得，

因此，即，则有，

故 在上为增函数．

【小问3详解】

由为奇函数且在上为增函数知，，则，

于是得，解得 ，

所以原不等式的解集为．

21. 已知函数（且）.

（1）若的值域为，求的取值范围；

（2）若的定义域为，且在上存在零点，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）令，由题知可以取遍所有正数，进而根据判别式得，再结合即可得答案；

（2）由题知且，进而解不等式即可得答案

【小问1详解】

解：令，则.

因为的值域为，所以可以取遍所有正数，

所以，

整理得，解得，

又，

所以，即的取值范围为.

【小问2详解】

解：因为的定义域为，

所以在恒成立，

所以，得或.

因为，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，在上单调递增，在上单调递减，

当时，在上单调递减，在上单调递增，

又在上存在零点，

所以，当时，；

      当时，

所以，解得.

所以，的取值范围为.

22. 已知函数且的图象经过．

（1）设函数，求的定义域；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据偶次根式和分母的要求解指数不等式,即可得定义域;

（2）恒成立问题转化为,再解一元二次不等式即可得到的取值范围.

【小问1详解】

由题可知，解得或(舍去)．

令，即，则或，解得或，

 所以的定义域为.

【小问2详解】

令，

则，

又，所以．

又，所以，

解得， 即的取值范围为．