2022-2023学年辽宁省沈阳市回民中学高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省沈阳市回民中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．函数的最小正周期是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接套公式求出最小正周期.

【详解】因为，

所以的最小正周期.

故选：B.

2．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的终边在第　　　　象限

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】D

【分析】先α的终边上一点的坐标化简求值，确定α的正余弦函数值，再确定角α的取值范围．

【详解】因为=，∴sinα=﹣，cosα=，

∴α=+2kπ（k∈Z），所以α在第四象限.

故选D．

【点睛】本题主要考查三角函数的定义及特殊角函数值的求法．属基础题．

3．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为，则函数的单调递增区间（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的解析式，结合周期公式，求得周期，再根据图象变换，可得最终函数解析式，利用整体思想，结合正弦函数的单调区间，可得答案.

【详解】函数的周期，所以，

函数的图象向右平移后，

所得函数的解析式为，

由，

得函数的单调递增区间为，

故选：A.

4．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中（方田）章给出的计算弧田面积的经验公式为：弧田面积（弦矢矢），弧田（如图阴影部分）由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长减去圆心到弦的距离，若有弧长为，半径为2的弧田，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是（    ）

A．1 B．2 C． D．3

【答案】A

【解析】根据弧长和半径求出圆心角，矢，弦，即可按照公式求解.

【详解】根据弧长公式，圆心角，根据勾股定理可得弦长，

根据题意可知矢的长度为，

根据公式可得弧田面积（弦矢矢）.

故选：A.

【点睛】本题考查弧长公式的应用，属基础题.

5．若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据弦化切，将原式化为关于正切的方程，求解，即可得出结果.

【详解】因为，所以，即，

解得.

故选：A.

【点睛】本题主要考查由弦化切求三角函数值，属于基础题型.

6．已知函数（，，）的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据部分函数图像,先求得函数解析式.结合函数平移变化,求得平移后的解析式,由平移后为偶函数并对比选项即可求解.

【详解】由函数图像可知,

而,所以

由周期公式可得

所以

将最低点坐标代入解析式可知

则

所以

因为

所以当时,

则解析式为

将解析式向右平移单位后,可得

因为平移后的函数为偶函数,则

解得

对比四个选项,当时,

故选:D

【点睛】本题考查了根据部分图像求函数解析式,由函数的性质求得参数,属于中档题.

7．定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有（    ）

A．在方向上的投影为 B．

C． D．若，则与垂直

【答案】B

【分析】根据向量的新定义运算，以及向量的投影的定义和垂直的条件，逐项运算，即可求解.

【详解】由向量投影的定义运算，其中表示，的夹角，

则在方向上的投影为，所以A显然不成立；

由，所以B成立；

有，，

当时不成立，所以C不成立；

由，得，即两向量平行，故D不成立.

综上所述，只有选项B成立.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了向量的新定义的运算，以及向量的投影、向量的垂直的条件，其中解答中正确理解向量的新定义运算，结合向量的投影和垂直条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

8．定义在上的函数满足，且，若函数有5个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】得出是周期函数，作出的图象，再作直线，它过点，由图象易得范围．

【详解】由得，所以是周期为的周期函数作出函数的图象如图所示，直线经过点，由图知，当直线夹在直线与直线之间时，与函数的图象有5个交点，

易知，则，

所以．

故选：D．

【点睛】本题考查函数的零点个数问题，解题关键是转化为函数图象与直线的交点个数问题，作出函数图象及直线后，由图形易得出结论．本题考查了数形结合思想．

二、多选题

9．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．在定义域内是增函数 B．是奇函数

C．的最小正周期是 D．图像的对称中心是

【答案】BD

【解析】在定义域内的每一个区间上都是单调递增函数，但在整个定义域上没有单调性；是奇函数；的最小正周期为；对称中心是.

【详解】A错误，∵的定义域是，其在定义域内的每一个区间上都是单调递增函数，但在整个定义域上没有单调性；

B正确，，易知其是奇函数；

C错误，函数的最小正周期为；

D正确，令，解得，所以图像的对称中心是.

故选：BD.

【点睛】此题考查正切型函数单调性，周期性，奇偶性和对称性的辨析，关键在于熟练掌握正切函数的相关性质.

10．如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在AD上，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】本题考查平面向量得线性运算，尤其是向量减法时注意：由减向量的终点指向被减向量的终点．

【详解】∵，点E在AD上，，

∴，

∴．

故选：ABD．

11．已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的有（    ）

A．函数的最小正周期为

B．直线为函数的一条对称轴

C．函数的图象可由向右平移个单位得到

D．直线与函数的图象的所有交点的横坐标之和为

【答案】BD

【分析】首先根据函数图像求出函数的解析式，接着利用函数图像性质可判断AB选项，根据图像的伸缩平移变换可判断C选项，根据数形结合可判断D选项；

【详解】由图像可知：,所以函数的最小正周期为，故A错误；

所以，

又，且，所以，

所以，又，

所以，所以，

令，

则，，

所以直线为函数的一条对称轴，故B正确；

由向右平移个单位得到函数，故C错误；

令解得或者，

直线与函数的图象的所有交点的横坐标为：，

所以他们之和为，故D正确；

故选：BD

【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

12．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．在向量上的投影向量为

C．若，则为的中点

D．若在线段上，且，则的取值范围为

【答案】BD

【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A错误，投影向量为，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，，D正确，得到答案.

【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，

设，

则，整理得到，

，

，，设，

对选项A：，，，错误；

对选项B：，，

，即投影向量为，正确；

对选项C：，

，

，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；

对选项D：，，，

，，

整理得到，，故，正确.

故选：CD

【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.

三、填空题

13．已知向量，若，则实数的值为________.

【答案】

【分析】利用向量垂直的性质列方程求解即可.

【详解】,

,

,

解得，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了向量垂直的性质，数量积的运算，属于容易题.

14．设向量,其中.若,则的最小值为________.

【答案】

【解析】根据向量关系建立等式，求出，即可求得的最小值.

【详解】由题：向量,其中，

若,即

，

所以

即，解得：，

，

当时，取得最小值.

故答案为：

【点睛】此题考查根据向量的线性关系求解参数的范围，熟练掌握基本运算，涉及转化与化归思想.

15．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围______．

【答案】

【分析】由已知推得，根据的范围推得，根据正弦函数的单调性，即可得出的范围.

【详解】由已知可得，.

因为，，所以.

因为函数在区间上单调递增，

所以，，所以.

又，所以.

故答案为：.

16．如图，正方形的边长为2，为中点，，为正方形的边上的一个动点，则的最大值为________

【答案】

【分析】以点A为坐标原点，建立坐标系，对点M的位置分四种情况讨论，求出的最大值.

【详解】

如图所示，以点A为坐标原点，建立坐标系，则.所以.

(1)当点M在边AB上时，设,则，

所以，所以当时，的最大值为2；

（2）当点M在边BC上时，设,则，

所以，所以当时，的最大值为2；

（3）当点M在边CD上时，设,则，

所以，所以当时，的最大值为0；

（4）当点M在边AD上时，设,则，

所以，所以当时，的最大值为1.

综上所述，的最大值为2.

故答案为:2

【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查数量积的坐标表示，考查函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

四、解答题

17．已知扇形的圆心角为，半径为R.

（1）若，求该扇形的弧长和面积；

（2）若该扇形的面积为20cm2，求扇形周长的最小值，并指出此时的值.

【答案】（1）扇形的弧长和面积分别为、；（2）扇形周长的最小值为cm2，此时为2.

【分析】（1）由，结合扇形的弧长公式、面积公式，即可求弧长和面积；

（2）由题设知扇形弧长，而扇形的周长为，利用基本不等式求其最小值，注意等号成立的条件，进而求值.

【详解】（1）由题意，知，根据扇形弧长；扇形面积；

（2）由，即，而扇形的周长为当且仅当cm等号成立，

∴由知：.

18．已知向量，满足：，，.

(1)求与的夹角；

(2)若，求实数的值；

(3)若向量与所成的夹角为锐角，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律以及定义可求出结果；

（2）根据可求出结果；

（3）根据且与不共线，可求出结果.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，所以，

因为，所以

（2）因为，所以，

所以，

所以，解得.

（3）若向量与所成的夹角为锐角，

则且与不共线，

所以，

所以，得，

当与共线时，存在，使得，

则，

因为与不共线，所以，

所以且.

所以的取值范围为.

19．某同学用“五点法”画函数(其中A>0，0>0，在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表：

（1）请根据上表中的部分数据，求出函数f(x)的解析式；

（2）若定义在区间上的函数g(x)=af(x)+b的最大值为7，最小值为1，求实数a，b的值.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）由表中数据可得周期及A、B、的值；

（2），讨论的正负，根据的最大值、最小值可得答案.

【详解】（1）由题，函数的周期，

所以，

由，得，故，

由表可知，，得，所以.

（2）由（1）可知，

由，得，所以；

当时，的最大值是，最小值是，

解得；

当时，的最大值是，最小值是，

解得，

综上，；或.

【点睛】本题考查了由三角函数图象上的点求解析式及利用单调性参数的问题，要正确分析表中数据，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，考查了学生的计算能力.

20．平面内给定三个向量，且．

(1)求实数k关于n的表达式；

(2)如图，在中，G为中线OM上一点，且，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q（不与重合）.设向量，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由向量平行的坐标运算求解即可；

（2）由向量的运算得出，再由三点共线，得出，再由基本不等式求最值.

【详解】（1）因为，

所以，即.

（2）由（1）可知，，，由题意可知

因为，所以

又，，所以.

因为三点共线，所以.

当且仅当时，取等号，即时，取最小值.

21．已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．

条件①：的最小值为；条件②：图象的一个对称中心为；

条件③；的图象经过点．

（1）确定的解析式；

（2）将纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再将图像向右平移个单位，然后横坐标不变纵坐标变为原来的，就得到了的图像，令，求的最值及取得最值时的值

【答案】（1）；（2）当，或，时，取得最大值，当，时，取得最小值0．

【分析】（1）先根据已知求出的最小正周期，即可求解，

选条件①②：可得的最小值为，可求．根据对称中心可求，即可得解函数解析式；

选条件①③：可得的最小值为，可求．根据函数的图象过点，，可求，可得函数解析式；

选条件②③：根据对称中心可求，再根据函数的图象过点，，可求的值，即可得解函数解析式．

（2）根据三角函数的图象变换，三角函数恒等变换可求，利用余弦函数的性质以及二次函数的性质即可求解．

【详解】解：（1）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，

所以的最小正周期，．

此时．

选条件①②：

因为的最小值为，所以．

因为图象的一个对称中心为，

所以，

所以，，

因为，所以，此时，

所以．

选条件①③：

因为的最小值为，所以．

因为函数的图象过点，

则，即，．

因为，所以，

所以，，

所以．

选条件②③：

因为函数的一个对称中心为，

所以，

所以．

因为，所以，此时．

所以．

因为函数的图象过点，

所以，即，，

所以，

所以．

（2）将纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到

再将图象向右平移个单位，得到，然后横坐标不变纵坐标变为原来的，就得到了的图象，

可得，

可得当，即，或，时，取得最大值．

当，即，时，取得最小值0．

22．水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车(即圆周)的直径为米，其中心（即圆心）到水面的距离为米，逆时针匀速旋转一圈的时间是秒．水车边缘上一点距水面的高度为单位；米，水车逆时针旋转时间为单位：秒当点在水面上时高度记为正值；当点旋转到水面以下时，点距水面的高度记为负值．过点向水面作垂线，交水面于点，过点作的垂线，交于点从水车与水面交于点时开始计时，设，水车逆时针旋转秒转动的角的大小记为．

(1)求与的函数解析式；

(2)当雨季来临时，河流水量增加，点到水面的距离减少了米，求的大小精确到；

(3)若水车转速加快到原来的倍，直接写出与的函数解析式．

参考数据：

【答案】(1)；

(2)；

(3)．

【分析】（1）根据给定条件，设出与的函数关系式，再求出其中的待定系数作答；

（2）确定水面位置，求出的正弦即可作答；

（3）求出函数的周期，结合（1）的结论作答.

【详解】（1）依题意，设，，，

有，，则，

由给定的图形知，，是锐角，即有，，

，解得，

所以与的函数解析式是；

（2）河水上涨米，水面仍在圆心O的下方，则有，

所以；

（3）水车转速加快到原来的倍，则周期变为原来的一半，即，

，

所以与的函数解析式．