2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学江宁分校高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学江宁分校高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．直线经过，两点，则直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设出直线的倾斜角，求出其正切值，即斜率，进而可得出倾斜角.

【详解】设直线的倾斜角为，由已知可得直线的斜率，

又，所以倾斜角是，

故选：B.

2．记为等差数列的前项和.若，，则（    ）

A．72 B．64 C．56 D．48

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质得到，然后解方程得到，，最后根据前项和公式求即可.

【详解】设等差数列的公差为，得，解，故，

所以.

故选：B.

3．已知随机向量服从正态分布，且，则（    ）

A． B．4 C． D．1

【答案】A

【分析】由正态分布的对称性求解即可.

【详解】∵随机变量服从正态分布，

∵，∴，

∴.

故答案为：A.

4．由1至6中的质数组成的没有重复数字的整数共有（    ）

A．3 B．6 C．12 D．15

【答案】D

【分析】找出1至6中的质数，再分类计算组成的没有重复数字的整数即可.

【详解】1至6中的质数有2，3，5，组成的没有重复数字的整数共有个.

故选：D.

5．如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可.

【详解】由题意知，，

取AC的中点O，则，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以，

所以在上的投影的长度为，

故点C到直线的距离为：.

故选：D

6．设甲袋中有2个红球和2个黑球，乙袋中有1个红球和2个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个黑球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】从甲袋任取2个球的可能性有三种：（1）从甲袋取出的两球都是红球，（2）从甲袋取出的两球都是黑球，（3）从甲袋取出的两球是1红1黑，进而求解即可.

【详解】从甲袋任取2个球的可能性有三种：

（1）从甲袋取出的两球都是红球时，设“从乙袋取出2个黑球”，

则；

（2）从甲袋取出的两球都是黑球时，设“乙袋取出2个黑球”，

则；

（3）从甲袋取出的两球是1红1黑时，设“乙袋取出2个黑球”，，

所以从乙袋中取出两个黑球的概率为.

故选：A.

7．若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简直线方程化为，得到直线恒过定点，结合圆的性质和圆的弦长公式，即可求解.

【详解】由题意，直线可化为，

当且，即且时，等式恒成立，所以直线恒过定点，

设圆的圆心为，半径，

当直线时，取得最小值，且最小值为，

此时弦长对的圆心角为，所以劣弧长为.

故选：B.

8．已知直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点是则的值为（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】D

【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线相同列出等式即可得解.

【详解】设直线与曲线相切于，又，∴直线的斜率为，

∴处的切线方程为，即；

直线与曲线相切于，，

可得切线方程为，

即.

因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同，

则且，

则，即

可得，解得，

故选：D.

二、多选题

9．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：

若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（    ）

A．的可能取值为0，1，2，3 B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据题意分析服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.

【详解】由题意可得的可能取值为0，1，2，3，故A正确；

分析可得服从参数为10，4，3的超几何分布，

其分布列为，

则，故B错误；

，故C正确；

，故D正确；

故选：ACD.

10．已知为坐标原点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点，则（    ）

A．的准线方程为

B．若，则

C．若，则的中点到轴的距离为4

D．

【答案】ABD

【分析】利用抛物线的定义可分析A,B选项，利用直线与抛物线相交结合韦达定理，弦长公式,基本不等式可分析C,D选项.

【详解】因为点在抛物线上，

所以解得，所以抛物线方程为，

所以准线方程为，所以A正确;

由抛物线的定义得

由,所以.所以B正确;

设，

联立整理得，

由韦达定理得，

所以，解得，

，所以C错误;

,

由抛物线定义知

，

所以,

当且仅当时取得等号，所以D正确.

故选: ABD.

11．已知，则下列结论正确的是（    ）

A．展开式中所有项的二项式系数的和为32 B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】展开式中所有项的二项式系数的和为可判断A；令，得可判断B；令和得，，两式相加，相减可判断C，D.

【详解】展开式中所有项的二项式系数的和为，故A正确；

令，得，故B正确；

令，得，

令，得，

两式相加，得，∴，故C正确；

两式相减，计算可得，故D不正确.

故选：ABC.

12．如图，正方形和矩形所在平面所成的角为60°，且，为的中点，则下列结论正确的有（    ）

A．与是异面直线 B．

C．直线与所成角的余弦值是 D．三棱锥的体积为

【答案】ACD

【分析】结合图形判断选项A；以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量方法判断的位置关系；利用空间角的向量求法判断选项B，C；等体积转换求得三棱锥的体积判断选项 D.

【详解】对于A，因为平面，平面，平面，所以与是异面直线，故A正确；

对于B，由已知，，又，，平面，

所以平面，以为坐标原点，，为，轴正方向建立空间直角坐标系，

又正方形和矩形所在平面所成的角为60°，所以，，点到的距离为.

所以，，，，，所以，，

所以，所以，不垂直，故B错误；

对于C，，，

所以，所以直线与所成角的余弦值是，故C正确；

对于D，三棱锥的体积，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．若，则______.

【答案】8

【分析】根据组合数和排列数公式计算求解即可.

【详解】

故答案为：8.

14．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为______．

【答案】

【分析】首先根据题意，可得，进而可得其二项式展开式的通项，令x的指数为3，可得r的值，最后将r的值代入通项可得其展开式中的项，即可得答案．

【详解】由题知，则，

令，得，

所以展开式中的系数为.

故答案为：.

15．已知随机事件A，B，，，，则________.

【答案】

【分析】首先求出，则，则，最后利用对立事件的求法即可得到答案.

【详解】依题意得，所以

故，所以.

故答案为：.

16．拓扑空间中满足一定条件的连续函数，如果存在，使得，那么我们称函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.在数学中，这被称为布劳威尔不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：L.E.J.Brouwer），是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.现新定义：已知为函数的一个不动点，若满足，则称为的双重不动点.给出下列三个结论：

①；

②；

③.

具有双重不动点的函数为是______.

【答案】①②

【分析】对①②：取特值，分析判定；对③：根据函数定义域分析判定即可

【详解】对于①：∵，则，

可得，，

∴为的双重不动点，故①正确；

对于②：∵，则，

可得，，

∴为的双重不动点，故②正确；

对于③：因为的定义域为，故该函数不连续，故③错误；

故答案为：①②.

【点睛】方法点睛：对于新定义题意，要准确理解给出的定义，并转化为已学的知识，用已学的知识取解决问题.

四、解答题

17．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，得到，求得，再由，求得，写出通项公式；

（2）由（1）得，再利用裂项相消法求解.

【详解】（1）解：由题意，设等比数列的公比为，

∵，，成等差数列，

∴，即，

∴，

又∵，

∴，

解得，

∴，.

（2）由（1）得，

∴

.

18．为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了传统艺术书画知识趣味竞赛活动.一共3题，答题规则如下，每队2人，其中1人先答题，若回答正确得10分，若回答错误，则另一人可补答，补答正确也得10分，得分后此队继续按同样方式答下一题；若2人都回答错误，则得0分且不进入下一题，答题结束.已知第一对含有甲、乙两名队员，其中甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，每道题都是甲先回答，且两人每道题目是否回答正确相互独立.甲乙两人回答正确与否也互相独立.

(1)求第一队答对第1题的概率；

(2)记为第一队获得的总分，求随机变量的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，数学期望为

【分析】（1）根据题意可知答对第一题分为两种情况：甲先答对或甲先答错乙补答对，结合独立事件的乘法公式即可求解；

（2）根据题意可得，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率，进而求解.

【详解】（1）设甲、乙答对每题的事件为、，

则，所以，

答对第一题分为两种情况：甲先答对，甲先答错乙补答对，

所以答对第一题的概率为

.

（2）由题意得，，

，

，

，

.

所以的分布列为：

数学期望为.

19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明；

（2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.

【详解】（1）证明：在四棱锥中，

取的中点，连接、，

因为是的中点，所以，且.

又因为底面是正方形，是的中点，

所以，且.所以.

所以四边形是平行四边形，所以.

由于平面，平面，所以平面.

（2）因为底面是正方形，所以.又因为平面.

所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.

，，，，，.

，，

设平面的法向量为.有：即令，则，

所以..设直线与平面所成角为.

有：.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．人类命运共同体的提法讲中国梦融入世界梦，充分展现了中国的大国担当，中国在第届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某一地区纯电动汽车销售情况，一机构调查了该地区某家企业近个月的产值情况，如下表，由散点图知，产值（亿元）与月份代码线性相关.

(1)求与的线性回归方程，并预测明年月份该企业的产值；

(2)该机构还调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

以样本的频率估计概率，从该地区所有购车车主中随机选取位，设为人中购买非电动车的男性人数，求的概率分布和数学期望.

参考公式：，.

【答案】(1)线性回归方程为，预计明年月份该企业的产值约为亿元

(2)分布列答案见解析，

【分析】（1）求出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程，并将代入回归直线方程，可得出结果；

（2）计算出该地区所有购车车主中，购买非电动车的男性所占的比例，分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值.

【详解】（1）解：由表格中的数据可得，

，

，

，

所以，，，

所以，与的线性回归方程为，

当时，（亿元），

预计明年月份该企业的产值约为亿元.

（2）解：由表格可知，该地区所有购车车主中，购买非电动车的男性所占的比例为，

由题意可知，，

则，，

，，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

因此，.

21．已知椭圆，、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线，过点的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线分别交直线、直线于、两点，求最小值.

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）设，根据题中条件求出，根据椭圆的定义，求出的值，再根据即可求出的值，即可求出椭圆方程；

（2）直线的斜率不存在时直接求出，当直线的斜率存在时，设斜率为，则，设，，根据韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，以及题中条件，得到，令，则，令，则，根据，求出最小值，即可得解.

【详解】（1）由题意，可知，则，

，解得，∴，

∵点为椭圆上一点，∴.

联立，解得.∴椭圆的标准方程为.

（2）由题意，设，.则.

①当直线的斜率不存在时，则.

此时点即为右焦点，即..此时.

②当直线的斜率存在时，设斜率为，很明显.则.

由题意，联立，消去，整理得.

则，，.

∴，.

∴点坐标为.∵线段的垂直平分线的斜率为，

∴线段的垂直平分线的直线方程为.

设点坐标为∵点在直线上，即.

∴.∴点坐标为.

∴.

∵.

∴.在中，.

令，则；令.则，

，解得.

∴当时，取最小值.

此时，解得，即.

综上所述，可知的最小值为4，

22．设函数.

(1)若，求证有极值，求方程的解；

(2)设的极值点为，若对任意正整数都有，其中，，求的最小值.

【答案】(1)见解析；

(2)2

【分析】（1）利用导数研究函数的单调性和极值；

（2）方法一：求出导数，由导数判断出，，

找到函数的极值点所在区间，从而求出的最小值；

方法二：通过证明，得到，且，

得到恒成立，且存在，使，

也存在，使，所以的最小值为2.

【详解】（1）当，

证明：由题意得，

由，即，解得，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

因此，当时函数有极值.

（2）方法一

由题意得，所以，所以函数单调递增，

由，得.

因为，所以，所以.

当时，单调递增；

当时，单调递减.

因此，函数的极值点.

因为，令，则，得，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，所以，

而，当时，，当时，，

又，令

，则，可知，

所以为增函数，

所以，当时，，

即对任意正整数，都有，，所以恒成立，

且存在，使，也存在，使，所以的最小值为2.

方法二

由题意得，所以，所以函数单调递增，

由，得.

因为，所以，所以.

当时，单调递增；

当时，单调递减.

因此，函数的极值点.

且，

令，，，…，则，得，

先证：，令，则，

当时，，当时，，

所以，即成立，所以，

又当时，，而，所以，所以，

当时，，且，

所以恒成立，且存在，使，也存在，使.

所以的最小值为2.