2021-2022学年江苏省南京师范大学附属中学高二下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年江苏省南京师范大学附属中学高二下学期期中数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江苏省南京师范大学附属中学高二下学期期中数学试题
一、单选题
1．的二项展开式中的常数项为（       ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】A
【分析】化简得到展开式的通项为，令，即可求得展开式的常数项.
【详解】由题意，二项式展开式的通项为，
令，可得展开式的常数项为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了二项展开式的常数项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了计算能力.
2．随机变量的分布列如表：其中，，成等差数列，则（       ）


0
1

   
   


A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，，成等差数列得到，，的关系，再根据随机变量分布列的性质得到，，的和为1，进而求出+，最后根据题意得到答案.
【详解】因为，，成等差数列，所以，根据随机变量分布列的性质：，所以，所以.
故选：D.
3．已知随机变量满足，，则下列说法正确的是（       ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】利用均值和方差的性质求解.
【详解】因为，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
故选：B.
4．已知某年的FRM（金融风险管理）一级测试成绩X服从正态分布，则54分以上的成绩所占的百分比约为（       ）（附：，）
A．2.38% B．1.35% C．0.26% D．0.15%
【答案】D
【分析】根据题意，先求出，进而根据正态分布的对称性求得答案.
【详解】因为X服从正态分布，所以，即，所以.
故选：D．
5．已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是(       )
A．0.63 B．0.24 C．0.87 D．0.21
【答案】C
【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可．
【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则由题可知P(A)＝0.7，P(B)＝0.3，
从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C，
从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D，
则由题可知P(C)＝0.9，P(D)＝0.8，
由题可知A、B、C、D互相独立，
故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：
P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝0.7×0.9＋0.3×0.8＝0.87．
故选：C．
6．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，点E为的中点，点F在BC的延长线上且，则异面直线BE与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以B为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法，根据即可求出答案.
【详解】在三棱柱中，因为侧棱垂直于底面，且，
所以以B为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

由，，，得，
所以，，，，．
由，得，
所以，，
所以异面直线BE与所成角的余弦值为．
故选：D．
7．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（       ）


A． B． C． D．
【答案】A
【解析】用表示出，计算，开方得出AO的长度.
【详解】因为四边形是平行四边形，
,


,
,
,


，
即.
故选：A
8．西部某县委将位大学生志愿者（男女）分成两组,分配到两所小学支教,若要求女生不能单独成组,且每组最多人,则不同的分配方案共有
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【详解】试题分析：分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有种;第二类有种，所以共有N=68+36=104种不同的方案.
【解析】排列组合的综合应用．
二、多选题
9．2021年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
售价x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5

根据表中数据得到y关于x的回归直线方程是，则下列说法正确的有（       ）A． B．回归直线过点
C．当时，y的估计值为12.8 D．点处的随机误差为0.4
【答案】ABC
【分析】先算出样本中心点，进而求出，即可判断A,B；然后将代入回归直线方程可以判断C；最后将代入回归方程算出，进而算出随机误差判断D.
【详解】由题意可知，，故回归直线过点（10,8），且，故A，B正确．当时，，故C正确．点（10.5,6）处的随机误差为，故D不正确．
故选：ABC．
10．若，则下列结论中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据赋值法，分别令，，，可判断ABC；根据二项展开式的通项公式，判断出对应项系数的正负，即可判断D选项.
【详解】因为，
令，则，故A正确；
令代入，
得，所以，故B错；
令代入，
得，故C正确；
因为二项式的展开式的第项为，
所以当为奇数时，为负数；即（其中为奇数），
所以；故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理，灵活运用赋值法求解即可，属于常考题型.
11．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列结论正确的是（       ）
A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率为
B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为
C．从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到的是红球条件下，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有一次取到红球的概率为
【答案】AD
【分析】利用古典概型的概率公式判断A选项，利用二项分布判断B、D选项，利用条件概率判断C选项．
【详解】解：一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，
对于A：恰有1个白球的概率为，故A正确．
对于B：6次试验中取到白球的次数服从二项分布，即，所以，故B错误．
对于C：在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故C错误．
对于D：3次试验中取到红球的次数服从二项分布，即，所以，故D正确．
故选：AD．
12．已知图1中，、、、是正方形各边的中点，分别沿着、、、把、、、向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则（       ）

A．是正三角形
B．平面平面
C．直线与平面所成角的正切值为
D．当时，多面体的体积为
【答案】AC
【解析】取、的中点、，连接、，证明出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出，可判断A选项的正误，利用空间向量法可判断BC选项的正误，利用几何体的体积公式可判断D选项的正误.
【详解】取、的中点、，连接、，
在图1中，、、、是正方形各边的中点，则，
为的中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
在图1中，设正方形的边长为，可得四边形的边长为，
在图1中，和均为等腰直角三角形，可得，
，四边形是边长为的正方形，
、分别为、的中点，则且，且，
所以，四边形为矩形，所以，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、、、.
对于A选项，由空间中两点间的距离公式可得，
所以，是正三角形，A选项正确；
对于B选项，设平面的法向量为，，，
由，取，则，，则，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，，则，
，所以，平面与平面不垂直，B选项错误；
对于C选项，，
设直线与平面所成角为，则，，
所以，，C选项正确；
对于D选项，以为底面，以为高将几何体补成长方体，则、、、分别为、、、的中点，

因为，即，则，长方体的体积为，
，
因此，多面体的体积为，
D选项错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
三、填空题
13．___________．
【答案】
【分析】构造项后即可轻易看出该式符合二项式定理的展开式，利用二项式定理化简后即可求解.
【详解】
.
故答案为：.
14．是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为________

【答案】
【分析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，的坐标，利用距离公式，即可得到结论.
【详解】解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

设平面的法向量是，
，
∴由，可得
取得，
，
∴到平面的距离.
故答案为：.
【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.
15．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.

【答案】
【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，分析6个区域的涂色方案数，再根据分步计数原理计算即可.
【详解】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，如图所示：

要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对区域涂色有3种方法，
、、、、这5个区域都与相邻，每个区域都有2种涂色方法，
所以共有种涂色方案.
故答案为：
【点睛】方法点睛：涂色问题常用方法：
(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；
(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；
(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.
四、双空题
16．将字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为______；若共有k行字母相同，则得k分，则所得分数的均值为______．
【答案】     ；     0.6.
【分析】运用排列中的倍缩法求出6个字母的排列数，当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，分三列依次讨论6个字母的排列情况，进而求出概率；分数可能取值为0,1,3，进而求出分数为1和3的概率，然后通过分布列的性质求出分数为0的概率，最后求出均值.
【详解】当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，第一列a，b，c三个字母全排列，有种方法，第二列剩下的a，b，c三个字母的排列方法有种，所以共有种排列方法，六个字母在的表格中进行排列，共有种排列方法，所以所求概率为．由题意知，分数的可能取值为0,1,3，，，，所以所得分数的均值为．
故答案为：，.
五、解答题
17．为了调查某校高二学生是否需要学校提供学法指导，用简单随机抽样的方法从该校高二年级调查了55名学生，结果如下：

男
女
需要
20
10
不需要
10
15

（1）估计该校高二年级学生中，需要学校提供学法指导的学生的比例；（用百分数表示，保留两位有效数字）
（2）能否有95%的把握认为该校高二年级学生是否需要学校提供学法指导与性别有关？
【答案】（1）；（2）有.
【分析】（1）根据表格即可计算百分比；
（2）根据列联表的数据求出，再和临界值表对照下结论.
【详解】（1）该校高二年级学生中，需要学校提供学法指导的学生的比例的估计值为.
（2），
因为，所以有95%的把握认为该校高二年级学生是否需要学校提供学法指导与性别有关.
18．从包含甲､乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲､乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
（2）甲､乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先排甲、乙两人，余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，分步乘法计数原理，即得解；
（2）从甲､乙2人中选出1人，排在第一棒或第四棒，再从另外6人中选3人排在剩余的三个位置，根据分步乘法计数原理，即得解
【详解】（1）甲､乙2人必须跑中间两棒，则有种排法，余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，有种排法，
根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为.
（2）甲､乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒，则需要从甲､乙2人中选出1人，有种选法，然后在第一棒和第四棒中选一棒，有种选法，另外6人中要选3人在剩余的三个位置上排列，有种排法，
根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为.
19．已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点．

(1)求与所成角的大小；
(2)求与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)60°；
(2).
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果；
【详解】(1)以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则，，，，
所以，，设与EF所成角的大小为，
则，
因为异面直线成角的范围是，所以与所成角的大小为60°．
(2)设平面的法向量为，与平面所成角为，．
因为，，所以，，
所以，令，得为平面的一个法向量，又因为，
所以，
所以．
20．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，新都区开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲､乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3，4)，[4，5)，[5，6)，[6，7)，[7，8]五组，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；
（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲､乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）480；（2）分布列答案见解析，数学期望为：1.
【分析】（1）根据频率即可计算出；
（2）可知可取的值为，分别计算出概率，即可得出分布列，进而求出数学期望.
【详解】（1）根据甲班的统计数据，该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为；
（2）甲班每天学习时间不足4小时的学生人数为
乙班每天学习时间不足4小时的学生人数为，
从甲班抽到的学生人数可取的值为，
则，，，
所以的分布列为：

0
1
2





则的数学期望为：.
【点睛】本题考查频率分布直方图的理解，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.
21．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平面平面，，分别是棱，的中点，是棱上一点，且．


(1)证明：平面；
(2)从①三棱锥的体积为1；②与底面所成的角为60°；③异面直线与所成的角为30°这三个条件中选择-一个作为已知，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，，易证四边形为平行四边形，从而有，故而得证；
（2）过点作于，连接，由平面平面，推出平面．
选择条件①：先求得，可证，故以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，依次得平面和平面的法向量与，再由，得解；选择条件②：易知，从而得，接下来同①；选择条件③：易知，从而有，接下来同②中．
【详解】(1)证明：取的中点，连接，，因为，分别是棱，的中点，则，，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．

(2)解：在平面ACC1中过点作于，连接，
平面平面，平面平面，
平面，
选择条件①：
三棱锥的体积，，
在中，，
点为的中点，，
故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，平面平面，平面，
平面，
平面即平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
，
显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．
选择条件②：
与底面所成的角为，，，
点为的中点，，
故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，平面平面，平面，
平面，
平面即平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
，
显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．
选择条件③：
，
即为异面直线与所成的角，即，
，，
，即，，
故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，平面平面，平面，
平面，
平面即平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
，
显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．
22．国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：
垃圾量X
[12.5，15.5）
[15.5，18.5）
[18.5，21.5）
[21.5，24.5）
[24.5，27.5）
[27.5，30.5）
[30.5，33.5]
频数
5
6
9
12
8
6
4

（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值（精确到0.1）；
（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为（1）中的样本平均值，σ2近似为样本方差s2，经计算得s＝5.2.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数.
（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望.
（参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974）
【答案】(1)22.8；(2)51；（3）分布列见解析，
【分析】（1）直接利用平均数公式求解；
（2）由（1）知， 由题意可知，利用原则求解；
（3）的可能取值为1，2，3，4，利用超几何分布求概率，列出分布列，并求数学期望．
【详解】（1）由频数分布表得：
，
所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨；
（2）由（1）知，，，
，
，
所以这320个社区中“超标”社区的个数为51；
（3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，所以的可能取值为1，2，3，4，且，，，，
所以的分布列为：

1
2
3
4






．
【点睛】关键点点睛：本题的关键首先要理解题意，并能转化为熟悉的概率类型，本题第二问是正态分布，求概率时，注意是否满足“”原则，第三问关键知道8个超标社区，其中垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，这样就满足超几何分布类型，按公式求解．