2022-2023学年江苏省南京航空航天大学附属高级中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省南京航空航天大学附属高级中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．满足关系式的正整数组成的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据组合数以及排列数的计算公式即可由不等式求解.

【详解】由题意可知且，根据组合数以及排列数的计算公式可得，解得,所以可取3,4,5,

故选：B

2．已知四组不同数据的两变量的线性相关系数如下：数据组①的相关系数；数据组②的相关系数；数据组③的相关系数；数据组④的相关系数.则下列说法正确的是（    ）

A．数据组①对应的数据点都在同一直线上

B．数据组②中的两变量线性相关性最强

C．数据组③中的两变量线性相关性最强

D．数据组④中的两变量线性相关性最弱

【答案】B

【分析】根据线性相关系数的性质逐个判断即可

【详解】对A，数据组①的相关系数，故数据组①对应的数据点无线性关系，故A错误；

对BC，数据组②的相关系数为4组中绝对值的最大值，故数据组②中的两变量线性相关性最强，故B正确，C错误；

对D，数据组①的相关系数为4组中绝对值最小，故数据组①中的两变量线性相关性最弱，故D错误

故选：B

3．已知正方体，点E是的中点，点F是AE的三等分点，且，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量的分解，线性表示方法可求解.

【详解】因为

,

所以.

故选:D.

4．已知函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出，再利用导数的定义可得，进而代入求解即可

【详解】因为，则，所以，故，故，解得

故选：B.

5．已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（    ）

A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．双曲线一支

【答案】B

【分析】确定圆心和半径，计算得到，则，根据双曲线定义得到答案.

【详解】，即圆，故，，

因为平行与，，所以，故，

故点的轨迹为双曲线.

故选：B

6．若，则（    ）

A．6562 B．3281 C．3280 D．6560

【答案】B

【分析】分别令和再联立求解即可

【详解】令有，令有，故

故选：B

7．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为

A． B．

C．2 D．

【答案】A

【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．

【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，

又，为以为直径的圆的半径，

为圆心．

，又点在圆上，

，即．

，故选A．

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．

8．已知有限数列项数为16，满足：，，，，则符合此条件的数列有（    ）

A．100 B．105 C．106 D．117

【答案】B

【分析】确定或，15组数里面共有13个，2个，共有种数列满足条件，计算即可.

【详解】，则或，

，

故15组数里面共有13个，2个，共有种数列满足条件.

故选：B

二、多选题

9．设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据空间向量共面基本定理，逐项判断每组向量是否共面，即可得出结论.

【详解】，共面，故不能作空间基底，故A错误；

假设共面，则存在，使得，

，

所以，方程组无解，所以假设不成立，即不共面，

所以可以作为空间向量的一组基底，故B正确；

同理可得，均可作为空间向量的一组基底，故CD正确.

故选：BCD.

10．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，则下列说法正确的有（      ）

A．展开式的各项系数和为128

B．展开式中存在常数项

C．展开式中存在有理项

D．展开式中项的系数最大值为

【答案】CD

【分析】根据二项式的通项公式，结合等差数列的性质逐一判断即可.

【详解】因为第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，

所以有，或舍去，

在中令，得，

展开式的各项系数和为，所以选项A不正确；

二项式的通项公式为：

，

令，所以没有常数项，因此选项B不正确；

当时，，所以展开式中存在有理项，因此选项C正确；

要想展开式中项的系数有最大值，必有，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

所以存在展开式中项的系数最大值为，因此本选项正确，

故选：CD

11．下列说法中，正确的命题是（    ）

A．已知随机变量服从正态分布，若，则

B．，

C．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

D．已知随机变量满足，，若，则随着的增大而减小

【答案】AD

【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断A选项；利用期望和方差的性质可判断B选项；利用相关系数与线性相关性的关系可判断C选项；利用求出，利用一次函数的单调性可判断D选项.

【详解】对于选项A，因为随机变量，所以正态密度曲线的对称轴是，

因为，所以，

所以，，所以选项A正确；

对于选项B，，，故选项B不正确；

对于选项C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于，反之，线性相关性越弱，故C错误；

对于选项D，由题意可知，，当时，随着的增大而减小，D对.

故选：AD.

12．对于函数，下列选项正确的是（    ）

A．函数极小值为，极大值为

B．函数单调递减区间为，单调递增区为

C．函数最小值为为，最大值

D．函数存在两个零点1和

【答案】AD

【分析】先求得的奇偶性，当时，利用导数求得的单调区间和极值，即可判断A、B、C的正误；令，可得零点，即可判断D的正误，即可得答案.

【详解】的定义域为，

所以，

所以为奇函数，

当时，，，

令，解得，

当时，，则为单调递增函数，

当时，，则为单调递减函数，

因为为奇函数，图象关于原点对称，

所以在上单调递减，在是单调递增，

所以的极小值为，极大值为，故A正确；

的单调递减区间为，单调递增区为，故B错误；

在无最值，故C错误；

令，解得，结合的单调性可得，存在两个零点1和，故D正确.

故选：AD

三、填空题

13．的展开式中常数项是______.（用数字作答）

【答案】

【分析】根据的展开式的通项公式可求出结果.

【详解】的展开式的通项为，

令，得，

所以的展开式中常数项是.

故答案为：.

14．在等比数列中，已知，，则______.

【答案】或

【分析】根据等比数列的公式直接计算得到答案.

【详解】设等比数列的公比为，在等比数列中，，，

，解得，或，，

则或.

故答案为：或

15．2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的概率为____．

【答案】

【分析】根据分组分配利用排列组合计算个数，结合条件概率的计算公式即可求解.

【详解】记事件为“甲派往小区”，事件为“乙派往小区”，则

若A小区分配甲一个人，则有，若A小区分配甲以及另一个人一起，则有,故事件包含的基本事件个数为，

在甲派往小区的条件下，乙派往小区的情况为：①只有甲派往小区，只有乙派往小区，另外两个人去C小区，则有1种情况，②从丙丁中选一个人连同甲一起派往小区，只有乙派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况，③从丙丁中选一个人连同乙一起派往小区，只有甲派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况，

,

故答案为：

16．若，则的最小值为______.

【答案】/1.6/

【分析】由题意知表示曲线上的点与直线上的点的距离的平方，将问题转化为上切线与直线距离最小值问题解决.

【详解】，，

则表示曲线上的点与直线上的点的距离的平方，

令得，所以曲线在的切线方程为，

所以曲线上的点与直线上的点的距离的最小值即为直线与之间的距离，

即,.

故答案为：

四、解答题

17．已知等差数列满足，，，成等比数列；数列满足，．

（1）求数列，的通项公式．

（2）数列的前n项和为，证明．

【答案】（1）；；（2）证明见解析．

【分析】（1）由等比数列的性质求得等差数列的公差，进而可得通项公式，由，利用累加法可求得通项公式；

（2）用裂项相消法求得和后可证得不等式成立．

【详解】（1）由条件易知，即，解得：

，

由，知，当时，

，

当时，也适合上式，故．

（2）由（1）知：，

．

【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列的通项公式，考查累加法求通项公式及等比数列的性质，裂项相消法求和，求数列和常用的方法：

（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；

（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；

（4）等差等比数列：错位相减法.

18．每年春天，婺源的油菜花海吸引数十万游客纷至沓来，油菜花成为“中国最美乡村”的特色景观，三月，婺源篁岭油菜花海进入最佳观赏期.现统计了近七年每年(2015年用x=1表示，2016年用x=2表示)来篁岭旅游的人次y(单位：万人次)相关数据，如下表所示：

若关于具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测2022年篁岭的旅游的人次；

（2）为维持旅游秩序，今需､､､四位公务员去各景区值班，已知､､去篁岭值班的概率均为，去篁岭值班的概率为，且每位公务员是否去篁岭值班不受影响，用表示此4人中去篁岭值班人数，求的分布列与数学期望．

参考公式：，.参考数据：，.

【答案】（1），万人次；（2）分布列见详解，．

【分析】（1）根据表中数据结合参考公式即可求解回归方程，再代入求解2022年篁岭的旅游的人次；

（2）列出的可能取值，依题意求得各情况的概率，写出分布列进而求得数学期望．

【详解】（1）由表知：，

则

所以

因为2015年用x=1表示，所以2022年是时，得(万人次)；

（2）的可能取值是0，1，2，3，4

则

则的分布列为

故数学期望为

【点睛】思路点睛：

求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：

（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）．

19．三棱柱中，，，线段的中点为，且.

(1)求与所成角的余弦值；

(2)若线段的中点为，求二面角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量法求异面直线所成角即可，

（2）由（1）建立的空间直角坐标系利用法向量求二面角的余弦值即可.

【详解】（1）在线段上取一点，使，

在三棱柱中，，

在中，因为，是的中点，

所以，

所以，

因为平面，

所以平面.

在中，由余弦定理得：

，

所以，所以，

以为原点，所在直线分别为轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

，设，

因为

所以，

设直线与所成的角为，

所以.

（2）因为线段的中点为，

所以

设平面的一个法向量，

因为，

所以，

令，则，

所以.

由（1）平面，平面，

所以平面平面，

又平面平面

又，平面，平面，

所以平面，

所以为平面的一个法向量，

而在轴上，

所以取平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，

由图可知：为锐角，所以.

所以二面角的余弦值为.

20．在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．

(1)请完成下列2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关．

(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望．

(3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k的概率为 ，当取最大值时，求k的值．

附：，其中．

【答案】(1)填表见解析；能

(2)分布列见解析；期望为

(3)

【分析】（1）根据题目条件完成列联表，根据的公式计算便可得出结论

（2）由题意可得可以取，然后分别计算对应的概率，再计算期望即可

（3）由题意可知，要使最大，则 列出不等式组计算即可

【详解】（1）

答：能在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关

（2）个人中优秀的人数为，

则合格的人数为人，由分层抽样可知：人中有人优秀，人合格；

由题意可以取

，

，

则的分布列为：

答：的期望为

（3）由题意可知

则

解得，又

故

答：当时，取最大值时

21．设椭圆：，的左、右焦点分别为，.下顶点为，已知椭圆的短轴长为.且离心率.

(1)求椭圆的的方程；

(2)若直线与椭圆交于异于点的、两点.且直线与的斜率之和等于2，证明：直线经过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据短轴长得到，根据离心率得到，得到椭圆方程.

（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，设直线方程，联立得到根与系数的关系，根据斜率之和为得到，代入直线方程得到定点.

【详解】（1）由题意可得，，又离心率，可得，

故椭圆的方程为：；

（2），当直线的斜率存在时，设直线l的方程为，

设，，联立，

整理可得：，

，即，

且，，

则，

整理可得：，即，

整理可得：，整理可得：，

解得或，

因为直线不过点，所以，

当时，则直线l的方程为，

显然直线恒等定点；

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，

将直线l的方程代入椭圆的方程可得，可得，

设，，

则，可得，

所以直线的方程为，显然直线也过定点，

综上所述：可证得直线恒过定点；

【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，椭圆中的定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，利用韦达定理可以简化运算，是解题的关键.

22．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)设，记函数在上的最大值为，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数求出切线斜率，即可求出切线方程；

（2）利用导数判断出在上单调递增，在上单调递减，得到.令，，求出，即可证明.

【详解】（1）由题意可得，所以.

又知，所以曲线在点处的切线方程为，

即.

（2）由题意，

则.

当时，.

令，则，所以在上单调递增.

因为，，

所以存在，使得，即，即，

故当时，，又，故此时；

当时，，又，故此时.

即在上单调递增，在上单调递减，

则.

令，，则，

所以在上单调递增，则，

所以.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

(4)利用导数证明不等式．