2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则集合的子集个数为（    ）

A．3 B．4 C．8 D．16

【答案】C

【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答.

【详解】解不等式，得，因此，

所以集合的子集个数为.

故选：C

2．复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，2），（0，-1），则z1z2＝（    ）

A．1+i B．2-i C．-2i D．-2-i

【答案】B

【分析】首先根据复数的几何意义求复数，再根据复数的乘法公式求解.

【详解】由复数的几何意义可知，，，

则.

故选：B

3．函数在上的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.

【详解】函数定义域为，

而，且，

即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD；

而当时，，排除选项A，选项B符合要求.

故选：B

4．西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的体积（R为球缺所在球的半径，h为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为8cm，壶口直径为6cm（如图2），则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，π取3.14）（    ）

A．494ml B．506ml C．509ml D．516ml

【答案】A

【分析】依题意作出几何体的轴截面图，即可求出对应线段的长，进而求出球的半径和球缺的高，再根据球的体积公式和球缺的体积求解即可.

【详解】如图作出几何体的轴截面如下面所示，

依题意，，为球心，为壶口所在圆的圆心，所以，

因为，所以，且，，

所以球的半径，所以球缺的高，

所以球缺的体积，

所以该壶壶身的容积约为：.

故选：A.

5．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【解析】写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式与垂径定理列式求解．

【详解】解：双曲线的渐近线方程为，

由对称性，不妨取，即．

圆的圆心坐标为，半径为，

则圆心到渐近线的距离，

，解得．

故选：B．

【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题．

6．公差不为0的等差数列的前项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则（    ）

A．81 B．63 C．41 D．32

【答案】C

【分析】由条件求出数列的通项公式，再结合等比数列定义求.

【详解】因为，

所以，故，

设等差数列的公差为，则，

所以，

因为，，，，依次成等比数列，，

所以，

所以，

所以，

故选：C.

7．若，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】利用两角和的正弦公式，化简已知等式，求出角，再利用两角差的正切公式，求出角的正切值.

【详解】因为，

展开可得，

所以，所以，

即，解得，

即；

，

 因为，

  所以.

 故选：C

8．已知，，（为自然对数的底数），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的性质可得，进而可得，然后构造函数，根据导数可得，进而可得，即得.

【详解】因为，所以，

又，，所以，

设，则，由，可得，函数单调递增，

由，可得，函数函数单调递减，

所以，，所以，即，

所以.

故选：A.

二、多选题

9．下列说法中正确的是（    ）

A．已知随机变量X服从二项分布，则

B．“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件

C．已知随机变量X的方差为，则

D．已知随机变量X服从正态分布且，则

【答案】BD

【分析】根据二项分布的期望公式判断A；根据对立事件与互斥事件的关系判断B；

根据方差公式判断C；根据正态分布的对称性判断D.

【详解】对于A：随机变量X服从二项分布，则，故A错误；

对于B：“A与B是互斥事件”不能推出“A与B互为对立事件”，“A与B互为对立事件”能推出“A与B是互斥事件”，故“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件，故B正确；

对于C：随机变量X的方差为，则，故C错误；

对于D：因为随机变量X服从正态分布且，根据对称性可知，，所以，故D正确．

故选：BD．

10．已知圆C过点，，直线m：平分圆C的面积，过点且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则（    ）

A．圆心的坐标为

B．圆C的方程为

C．k的取值范围为

D．当时，弦MN的长为

【答案】ABD

【分析】设圆的标准方程为，根据已知条件由圆C被直线m平分，结合点A，B在圆上建立关于a，b，r的方程组，即可求出圆C的方程，再利用点到直线的距离建立关于k的不等式，即可得到实数k的取值范围，进而也可求得当时，弦MN的长，进而选出符合要求的选项.

【详解】设圆的标准方程为，

因为圆C被直线平分，

所以圆心在直线m上，可得，

由题目条件已知圆C过点，则

综上可解得，

所以圆心的坐标为，选项A正确；

圆C的方程为，选项B正确；

根据题目条件已知过点且斜率为k的直线l方程为，即，

又直线l与圆C有两个不同的交点M，N，所以点到直线l的距离小于半径r，

则利用点到直线的距离公式可得：，

解得k的取值范围为，所以选项C错误；

当时，可求得点到直线l的距离为，

所以根据勾股定理可得，

即弦MN的长为，所以弦MN的长为，选项D正确.

故选：ABD.

11．已知函数的图象关于直线对称,则（    ）

A．的最小正周期为

B．在上单调递增

C．的图象关于点对称

D．若,且在上无极值点,则的最小值为

【答案】ACD

【分析】由解得,求出,由可判断A;求出的范围,根据正弦函数的单调性可判断B;计算可判断C;，可得或，可得 的最小值为可判断D.

【详解】因为函数的图象关于直线对称,

所以,即,解得,

,

且,

对于A,,故A正确;

对于B,,所以,

因为在上单调递减,在上单调递增,故B错误;

对于C,,故C正确;

对于D,根据题意,且函数在上单调.

若,则,

可得或者,,

即,,

当时,的最小值为.

因为函数在上单调,即在上无零点,

因为的半周期为,在上无零点,则的最小值为满足题意,故D正确.

故选:ACD.

12．已知函数，的零点分别为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据函数 的图象关于直线对称建立的关系，由图象判断所在区间，逐项判断.

【详解】

对A，，由的图象向右向上各平移一个单位得到图象，

函数 的图象关于直线对称，即可知点A，B关于直线对称.

，故A不正确；

对B，由，故B正确；

对C，，

等号不成立，，故C正确；

对D，由图知，

，易知函数在上单调递减，

所以，故D不正确.

故选：BC.

三、填空题

13．的展开式中，常数项为__________（用数字作答）.

【答案】60

【分析】利用二项式定理求出通项公式，再根据的取值，即可得答案；

【详解】，

展开式的通项为：

，当即时，，

当时无解，故中无常数项.

所以的展开式中，常数项为60.

故答案为：60

14．两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是合格品的概率为___________.

【答案】0.957/95.7%

【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答.

【详解】设=“取到合格品”，=“取到的产品来自第i批”（i=1，2），则，，

由全概率公式得：.

故答案为：0.957

15．如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（含边界），若平面AEF，点P的轨迹长度为______．

【答案】/

【分析】利用坐标法，根据线面平行和面面平行的判定及性质找出的轨迹，根据轨迹特点可求答案.

【详解】如图，分别取的中点，连接，

以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则 ;

所以, , ;

故，即，又平面，平面，

所以平面，同理可得平面，又平面，

所以平面平面；

因为P是侧面内一点（含边界），平面AEF，

所以点P必在线段MN上，即点P的轨迹为MN，

所以点P的轨迹长度为．

故答案为：.

16．若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求得切线方程，进而将有3条切线转化为方程有三个不等实数根，再转化为函数的图像有三个交点问题，利用导数作出的图象，数形结合，即可求得答案.

【详解】由题意可得，

设切点坐标为，则切线斜率，

所以切线方程为，

将代入得.

因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根，

则方程有三个不等实数根等价于函数的图像有三个交点，

设，则，

当时，单调递增；

在和上，单调递减，，

当或时，，

画出的图象如图，

要使函数的图像有三个交点，需，

即，即的取值范围是，

故答案为：

【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义表示出切线方程，根据切线条数可得有三个不等实数根，解答此类问题常用方法是转化为函数图象的交点问题，利用导数判断函数单调性或求得极值，进而作出图像，数形结合，解决问题.

四、解答题

17．已知为等差数列的前项和，，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前10项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得，进而求得数列的通项公式；

（2）由（1）求得，结合裂项相消法求得，进而得到．

【详解】（1）解：设等差数列的公差为，

因为且，可得，

解得，所以，

即数列的通项公式．

（2）解：由（1）得，所以，

所以

，

所以．

18．某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店．

(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；

(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据X的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；

(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设Y为抽取的“五星级"加盟店的个数，求Y的概率分布列与数学期望.

参考数据：若，则，，．

【答案】(1)平均数为13.0百元，中位数为13百元

(2)14

(3)分布列见解析，1

【分析】（1）由平均数和中位数的计算公式计算即可得出答案；

（2）由（1）知，，由正态分布的性质求出的概率，即可求出这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数；

（3）求出Y的所有可能取值和每个变量对应的概率，即可求出Y的分布列，再由期望公式求出Y的数学期望.

【详解】（1）由频率分布直方图得样本中日销售额为，，，，，，

的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，

∴估计这50个加盟店日销售额的平均数为：

（百元）．

∵，，

∴中位数在内，设中位数为x百元，

则，解得．

∴估计中位数为13百元．

（2）由（1）知，

∵，，

∴，

∴估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为．

（3）由（1）得样本中“四星级”加盟店有（个），“五星级”加盟店有（个），

∴Y的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

．

∴Y的概率分布列为

∴．

19．的内角的对边分别为，已知．

(1)求B；

(2)A的角平分线与C的角平分线相交于点D，，，求和．

【答案】(1)

(2),

【分析】（1）根据题意，由余弦定理化简即可得到结果；

（2）由题意可得，然后由余弦定理即可得到，然后在中，由等面积法即可得到，从而求得.

【详解】（1）由余弦定理可得，，整理可得，

则，且，所以

（2）

因为分别是的角平分线，连接，则为的角平分线，即点为三角形的内心，

则

，

又因为，，

在中，由余弦定理可得，

，

则，

过点，分别做的垂线，垂足为，

在中，，

可得，即

在直角三角形中，

则

20．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为棱上一点，，平面与棱交于点．

(1)求证：为的中点；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）首先求出，即可得到为的中点，再证明平面，由线面平行的性质得到，即可得到，从而得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）因为平面，平面，所以，，

在中，，，所以，

在直角梯形中，由，，所以，所以，

因为，所以为的中点，因为，平面，平面，所以平面，

因为平面平面，平面，

所以，所以，所以为的中点；

（2）由题可知因为平面，平面，所以，，又，

所以，，两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，，．

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，于是，

因为平面，且，

所以平面，又平面，所以，又，且为的中点，所以，

，，平面，所以平面，

所以是平面的一个法向量，．

由题设，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．

21．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆交于M，N两点，M在N的左侧．

(1)若直线l的斜率，求原点O到直线l的距离；

(2)记直线AM，BN的斜率分别为，，证明：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设出直线l方程，根据直线l与C相切求出或，再利用点到直线距离公式即可求出.

（2）设直线l方程为，根据直线l与C相切求出，再把直线方程与圆的方程联立，借助韦达定理得到关系式，代入即可化简出定值.

【详解】（1）由题意知直线l斜率存在，设直线l方程为，

与椭圆联立得.

因为直线l与C相切，所以，

故.

当时，，或，直线l方程为.

所以原点O到直线l的距离为.

（2）设，，，由已知可得，，

∴，.由（1）得，，.

所以①，

由，得，由韦达定理得

，

，，

故，

∴，代入①式整理可得

，所以为定值．

22．已知函数

(1)求曲线在处的切线的方程，并证明除了切点以外，曲线都在直线的上方；

(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，证明见解析

(2)

【分析】（1）先求出曲线在处的切线的方程，然后利用导数证明恒成立，当且仅当时取等号；

（2）令，分成，两种情况证明，当时，要证，转化为证明成立.

【详解】（1），，即切点为，该点处的斜率，

故切线：，

证明除了切点以外都在的上方，

即证恒成立，当且仅当时取等号，

令，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

，

故，当且仅当时取等号，

∴除了切点以外都在的上方.

（2）令，，∵，

（i）当时，，故存在使得在，单调递减，

与题意矛盾；

（ii）当时，要证，

即证

即证，

令，

，由（1）可知，

故在区间上单调递增，

∴，∴，

显然，

即在时取等号成立.

综上，实数的取值范围是

【点睛】含有参数的不等式证明方法点睛：

1.运用函数的思想证明不等式的常规思路是直接构造函数，再利用函数的最值进行证明，有时运用 “虚设零点，整体代换”的技巧体现化归与转化的思想；

2.若根据参数范围进行放缩消参，这样简化了不等式结构便于构造函数进行研究，放缩消参是处理含参不等式证明的常规技巧.