2022-2023学年江苏省南京市第一中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省南京市第一中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．在的展开式中，的系数是（    ）

A． B．8 C． D．4

【答案】A

【分析】直接利用二项式定理计算即可.

【详解】的展开式通项为，

取，则，系数为.

故选：A

2．3男2女站成一排，其中2名女生必须排在一起的不同排法有（    ）

A．24种 B．48种 C．96种 D．120种

【答案】B

【分析】先将2名女生看成整体排序，再将其和其余人一起去安排，相乘即可.

【详解】根据题意，分2步进行分析：

第一步，将2名女生看成整体，有种情况；

第二步，将这个整体和3名男生全排列，有种情况，

所以2名女生必须排在一起的不同排法有种.

故选：B.

【点睛】本题考查了捆绑法，属于常考题.

3．某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作，则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用古典概型即可求得甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率.

【详解】设这5名志愿者为甲，乙，丙，a，b，

从5名志愿者中随机选出3名，共有10种可能的结果：

（甲，乙，丙），（甲，乙，a），（甲，乙，b ），（甲，丙，a），（甲，丙，b），

（甲，a，b），（乙，丙，a），（乙，丙， b），（乙，a，b），（丙，a，b），

其中甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上包含4种情况

则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为

故选：A

4．的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】利用导数的几何意义即可求解.

【详解】

由图可知：，

即.

故选：B

5．盲盒里有大小、形状完全相同的个绿球，个红球，现抛掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从盲盒里取出几个球．则取出的球全是绿球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设“取出的球全是绿球”，“掷出点”，则，求出，利用全概率公式可求得的值.

【详解】设“取出的球全是绿球”，“掷出点”，则，

又因为从盲盒里每次取出个球的所有取法是，即基本事件总数为，

而从袋中每次取出个绿球的所有取法是，即事件所含基本事件数为，

所以掷出点，取出的球全是绿球的概率为，

所以，.

故选：B.

6．从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被整除的概率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数：（个），三位数是的倍数，需要满足各个数位上的数之和是的倍数，有两种情况和；由 组成没有重复数字的三位数共有个，由组成没有重复数字的三位数共有 个，所以一共有：个，这个三位数被整除的概率是，故选D.

7．如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则（    ）．

A．9 B．7 C．3 D．

【答案】D

【分析】由题知，进而根据计算向量的模得答案.

【详解】解：在平行六面体中，四边形是平行四边形，又是，的交点，

所以是的中点，

所以，，

又，，，

所以

，即．

故选：D．

8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意转化为方程有两个不同的实数根，整理得到有两个不同的实根，转化为和在上有两个交点，根据导数求出的单调性、极值和最值，从而得到的取值范围.

【详解】要使函数有两个极值点，

求导得，

则转化为有两个不同的实根，

即和在上有两个交点，

令，∴．

记，

在上单调递减，且，

所以当时，，，

所以在上单调递增；

当时，，，

所以在上单调递减，

故．

当时，；当时，，

所以，当，即时，

和在上有两个交点，

故选D．

【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性、极值和最值，函数与方程，属于中档题.

二、多选题

9．下列命题中正确的是（    ）

A．已知向量，则存在向量与，构成空间向量的一组基底

B．两个不同平面，的法向量分别是，，，，则

C．已知三棱锥，点为平面上一点，，则

D．已知，，则与方向相同的单位向量是

【答案】BC

【分析】根据空间向量的性质判断各选项即可.

【详解】对于A，，所以其它向量与，一定共面，所以不能构成基底，故 A选项错误；

对于B，因为，所以，故B选项正确；

对于C，因为点为平面上的一点，所以，所以，故C选项正确；

对于D，设，则，所以该向量不是单位向量，故D选项错误．

故选：BC.

10．以下列说法中正确的是（    ）

A．回归直线至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点

B．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关越强

C．已知随机变量x服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则

D．设服从正态分布N（0，1），若，则

【答案】BCD

【分析】根据回归直线性质可判断选项A，根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项B，

根据二项分布的特征可判断选项C，根据正态分布的性质可判断选项D.

【详解】对AB，回归直线一定经过样本中心点，而样本中心点并不一定是（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点，

故A错

相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关越强，B正确；

对C，E（X）＝np，D（X）＝np（1－p），所以30×（1－p）＝20，则p＝，故C对；

对D，，故D对，

故选：BCD

11．已知具有相关关系的两个变量x，的一组观测数据，，…，，由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（    ）

A．回归直线至少经过点，，…，中的一个点

B．若，，则回归直线一定经过点

C．若点，，…，都落在直线上，则变量x，y的样本相关系数

D．若，，则相应于样本点的残差为-2

【答案】BCD

【分析】选项A、选项B可由回归直线必经过样本中心点，不一定经过样本点来判断；选项C，可通过已知方程，得到斜率，去判断相关系数；选项D，样本点的残差等于该点的实际值减去模拟出的预测值，即可做出判断.

【详解】线性回归方程为不一定经过，，…，中的任何一个点，但一定会经过样本中心点即，故选项A错误，选项B正确；选项C，直线的斜率，且所有样本点都落在直线上，所以这组样本数据完全正相关，且相关系数达到最大值1，故选项C正确；选项D，样本点的残差为，故选项D正确.

故选：BCD.

12．已知函数f（x）满足xf＇（x）＋xf（x）＝1＋lnx，f（1）＝2．则当x＞0时，下列说法中正确的是（    ）

A．f（2）＝ln2＋1 B．x＝2是函数f（x）的极大值点

C．函数y＝f（x）－x有且只有一个零点 D．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立

【答案】AC

【分析】通过函数f（x）满足xf＇（x）＋xf（x）＝1＋lnx，可以求出，进而可以分析函数f（x）的极大值点，求解f（2）的值，判断选项；

对函数y＝f（x）－x，求导求零点，从而可以判断选项；

使用隔离参数法将k隔离之后，令，从而可以判断D选项；

【详解】因为xf＇（x）＋xf（x）＝1＋lnx，则，，

则x∈（0，2）时，f（x）单调递减；x∈（2，＋∞）时函数f（x）单调递增．

∴函数f（x）只有一个极小值点e，即只有一个极小值f（2）＝ln2＋1，故选项A正确，选项B错误；

，则，所以当x→0时，y→＋∞，当x＝e时，所以函数y＝f（x）－x有且只有一个零点，故选项C正确；

f（x）＞kx，可得，令，

则，

令，则，

故x＞1时h（x）单调递减，0＜x＜1时，h（x）单调递增，

所以h（x）≤h（1）＜0，所以g（x）在x＞0上单调递增，无最小值，

所以不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，故选项D错误；

故选：AC．

三、填空题

13．某综合性大学数学系为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有______种不同的选修方式可选．（用数字填写答案）

【答案】

【分析】先按和两种情况分成三组，再分配到三年去即可.

【详解】由题意可知三年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，

则四门学科可按和两种情况分成三组，

若按分成三组，有种分组方法，

若按分成三组，有种分组方法，

所以每位学生共有种不同的选修方式可选．

故答案为：.

14．请你举出与函数在原点处具有相同切线的一个函数是______.

【答案】（满足题设条件的函数均可）

【分析】先求出函数在原点处的切线方程,再构造常见的函数分析即可.

【详解】由题,,故,故函数在原点处的切线方程为.

故可考虑如函数,此时,故.又,故.此时.

故答案为：（满足题设条件的函数均可）

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程与构造函数的问题.需要熟悉常见的函数的性质,从而能够构造出合适的函数.属于基础题.

15．接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________

【答案】

【分析】根据条件概率公式求解即可.

【详解】设事件“感染流行感冒”，事件“未接种疫苗”，

则，，

故.

故答案为：．

16．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为______．

【答案】/

【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解异面直线与所成角的余弦值.

【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，则，，

所以，

又因为异面直线所成角的范围为，

故异面直线与所成角的余弦值为，

故答案为：.

四、解答题

17．已知.

(1)若，成等比数列，求的值；

(2)若，求的值（用数字作答）．

【答案】(1)5

(2)

【分析】（1）求出展开式的通项，根据题意可得，即，从而可求得；

（2）分别令，从而可求得，即可得出答案.

【详解】（1）二项式展开式通项公式为，

若，成等比数列，则，

即，

则，解得；

（2）若，当时，，

当时，，

所以，，

所以.

18．2020年1月24日，中国疾控中心成功分离出中国首株新型冠状病毒毒种．6月19日，中国首个新冠mRNA疫苗获批启动临床试验，截至2020年10月20日，中国共计接种了约万名受试者．为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取名，其中大龄受试者有人，舒张压偏高或偏低的有人，年轻受试者有人，舒张压正常的有人．

（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否能够以的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关?

（2）在上述人中，从舒张压偏高或偏低的所有受试者中采用分层抽样抽取人，若从抽出的人中任取人，求取出的人都是大龄受试者的概率．

运算公式：

对照表：

【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关；（2）

【分析】（1）由已知完成列联表，结合公式计算，根据参考数据即可判断结果；

（2）采用分层抽样抽取的人中，大龄受试者有人，设他们为，年轻受试者有人，设他们为，运用列举法列出所有事件，结合古典概率的计算公式可得出答案.

【详解】（1）列联表如下：

.

所以，没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关．

（2）由题意得，采用分层抽样抽取的人中，大龄受试者有人，设他们为，年轻受试者有人，设他们为．

则从这人中取出人包含的基本事件：

共有种，其中取出的人都是大龄受试者的有种．

所以，取出的人都是大龄受试者的概率.

19．有3名男生，4名女生，（每小题都用数字作答）．

(1)若全体站成一排，3名男生不相邻，4名女生也不相邻，则有多少种排队方法；

(2)若全体站成一排，男生甲不站在两端，女生乙不能站在中间，则有多少种排队方法；

(3)若排成前后两排，前排3人，后排4人，且同一排的学生性别不全相同，则有多少种排队方法.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先将4名女生全排列，然后将3名男生插到4名女生隔出的3个空中计算；（2）分类讨论男生甲站在中间与不站在中间的两种情况，再利用分类加法计数原理计算；（3）利用捆绑法计算出前面站3名男生，后面站4名女生的情况，然后再利用所有的情况减去同一排性别相同的情况.

【详解】（1）先将4名女生全排列得种，

然后将3名男生插空到4名女生之间隔出的3个空中（两端的空除外）得种，

所以不同的排法共有种；

（2）若男生甲站在中间，则共有种；

若男生甲不站在中间，先排中间有种，

然后再排列两端，此时有种，

最后剩下4个人全排列有种，

所以不同的排法共有种

（3）前面站3名男生，后面站4名女生，共有种；

所以前排3人，后排4人，且同一排的学生性别不全相同，

共有种

20．如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底而所成的角为，底面ABCD为直角梯形，

(1)求证：平面PAC⊥平面PCD：

(2)在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为？若存在，求出有的值：若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，理由见解析；

【分析】（1）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出，，，

由，利用线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得答案；

（2）设，可得，求出平面PAB的法向量，由线面角的向量求法可得及．

【详解】（1）平面，与平面所成的角为，，

分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，

，， ，，

， ，，

所以，，

所以，，

即，且，所以平面，

平面，所以平面平面.

（2）存在，理由如下，

，，，，，

设，

所以，，

因为平面，平面，所以，又，

且，所以平面，

所以是平面PAB的一个法向量，

所以，

解得，或，

当时，点与重合，不符合题意，舍去，

所以当时， CE与平面PAD所成的角为，且.

21．中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差，求该企业生产的产品为正品的概率；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)

（2）假如企业包装时要求把件优等品和(，且)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为.

①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；

②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值.

参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.

【答案】（1）；（2）①；②时，最大值为.

【解析】（1）根据频率分布直方图可估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数，再算出标准差，可得出和，得出，结合正品的条件，即可求出该企业生产的产品为正品的概率的结果；

（2）由题意，结合组合的定义可知，从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，通过古典概型的概率求法，利用反面求法即可求出箱产品抽检被记为B的概率为，最后利用排列数的运算即可得出结果；

（3）根据二项分布的概率求法求出，化简得出关于的函数，利用导数研究函数的单调性和最值，得出当时，取得最大值，从而可求出时，最大值为.

【详解】解：（1）由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：

，即，

样本方差，故，所以，

则优等品为质量差在内，即，

一等品为质量差在内，即，

所以正品为质量差在和内，即，

所以该企业生产的产品为正品的概率：.

（2）①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，

∴某箱产品抽检被记为B的概率为：.

②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为

，

所以，

所以当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以当时，取得最大值，最大值为.

此时，解得：，

∴时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为.

【点睛】关键点点睛：本题考查估计频率分布直方图的平均数，以及排列数的运算，考查利用正态分布、二项分布求概率等知识，解题的关键在于导数的实际应用，利用导数研究函数的单调性和最值，从而求出的最大值，考查逻辑分析能力和运算能力.

22．已知函数．

(1)当时，求证；有且仅有1个零点

(2)若，，求的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）求导得到导函数，确定函数单调递增，计算，当趋近0时，趋近，得到证明.

（2）根据必要性得到，则，若，计算得到，不成立，再证明充分性，，函数单调递增，得到答案.

【详解】（1），，，

当时，，故在时单调递增，

，当趋近0时，趋近，

故当时，有且仅有1个零点.

（2），，，

必要性：，则，

若，则，，即，

设，，函数单调递增，故，不成立；

充分性：当时，恒成立，

故函数单调递增，，满足.

综上所述：.

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求零点问题，根据不等式恒成立问题求参数范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中必要性探路可以简化运算，是解题的关键.