江苏省南京航空航天大学附属高级中学2021届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含解析(1)

江苏省南京航空航天大学附属高级中学2020-2021学年度

第一学期期中考试高三数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）

1．已知集合A=，B=，则=（   ）

A.    B．  C．   D．

2．若复数，则复数的虚部为（   ）

A．－1                B．1             C．－i             D．i

3．矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F分别是边AB，CD的中点，将正方形ADFE沿EF折到A1D1FE位置，使得二面角A1-EF-B的大小为120°，则异面直线A1F与CE所成角的余弦值为（   ）

A．     B．    C．     D．

4．朱载堉(1536-1611)，明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名， 在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子。他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载墒被誉为“钢琴理论的鼻祖”。“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为f2，第八个音的频率为f8，则等于（   ）

A．          B． C． D．

5．已知，则=（   ）

A．         B．        C．        D．

6．已知P是椭圆上的一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P到原点O的距离为焦距的一半，且|PF1|－|PF2|=a，则椭圆的离心率为（   ）A．    B．     C．     D．

7．已知实数a，b，c满足，则下列关系式中不可能成立的是（   ）

A．a>b>c      B．a>c>b      C．c>a>b     D．c>b>a

8．设函数，若存在区间，使得在上的值域为，则实数k的取值范围是（   ）

A．   B．   C．  D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．

9．港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内，是中国境内一项连接香港、珠海和澳门的桥隊工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世.2018年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩矩.为了解实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间(单位:分钟)都在[35, 50]内，按通行时间分为[35,38) ，[38,41) ，[41,44)，[44, 47)，[47,50]五组，其中通行时间在[38,47)的车辆有182台，频率分布直方图如图所示，则（   ）

A.n=200

B.n=280

C.抽取的车辆中通行时间在[35,38)的车辆有4台

D.抽取的车辆中通行时间在[35,38)的车辆有12台

10．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（   ）

A．当k=4时，曲线C为圆

B．当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为

C．“5<k<6”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件 

D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为

11．已知等差数列的首项为1，公差d=4，前n项和为，则下列结论成立的是（   ）

A．数列的前10项和为100    

B．若a1，a3，am成等比数列，则m=21

C．若，则n的最小值为6 

D．若am+an=a2+a10，则的最小值为

12．已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，过对角线BD1作平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，以下结论正确的是（   ）

A．四边形BFD1E不一定是平行四边形    

B．平面分正方体所得两部分的体积相等

C．平面于平面DBB1不可能垂直 

D．四边形BFD1E面积的最大值为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．已知平面向量a=（1，0），b=（，），则a与a+b的夹角为．

14．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人."”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44， 585，2662等；那么用数字1，2，3，4， 5，6可以组成4位“回文数”的个数为．

15．设函数的部分图象如图．若对任意的恒成立，则实数t的最小正值为．

16．在平面直角坐标系xOy中，过点P向圆O：和圆C：各引一条切线，切点分别为A，B，若PB=2PA，且平面上存在一定点M，使得P到M的距离为定值。则点M的坐标为．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋sinB＝sinAsinB，且C=60°，c=3．

（1）求证：a＋b=ab；

（2）求△ABC的面积．

18．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过点A（1，2），B（7，－6），且圆心在直线x＋y－2＝0上．

（1）求圆M的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于C，D两点，且CD=2OA，求直线l的方程．

19．（本小题满分12分）

在①；②2a2－a1＝3；③a8＝24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．

已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，__________，且a1，a2，a4成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列是各项均为正数的等比数列，且b2＝a1，b4＝a4，求数列的前n项和．

20．（本小题满分12分）

一副标准的三角板（如图1）中，∠ABC为直角，∠A=60°，∠DEF为直角，DE=EF，BC=DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥（如图2）．设M是AC的中点，N是BC的中点．

（1）求证：平面ABC⊥平面EMN；

（2）设平面ABE∩平面MNE＝l，求证：l∥AB．

（3）若AC=4且二面角E-BC-A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成角的正弦值．

21. (本小题满分12分)

某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1 ~ 6点数的正方体骰子1次，若掷得点数不大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．

(1)若m=4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；

(2)若一等奖可获奖金 400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．

22．（本小题满分12分）

若函数和同时在x=t处取得极小值，则称和为一对“P（t）函数”．

（1）试判断与是否是一对“P（1）函数”，并说明理由；

（2）若与是一对“P（t）函数”，求实数a和t的值．