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2023-2024学年江苏省连云港市七校(新浦高中、锦屏高中等)高二上学期期中联考数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省连云港市七校(新浦高中、锦屏高中等)高二上学期期中联考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过A0, 3,B−3,0两点的直线的倾斜角为
( )
A. 5π6B. π6C. 2π3D. π3
2.直线5x−2y−10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则( )
A. a=2，b=5B. a=2，b=−5
C. a=−2，b=5D. a=−2，b=−5
3.方程x2+y2–2x+4y+5m=0表示圆的条件是
( )
A. m<1B. m>1C. m<14D. 144.直线a+1x+3y+3=0与直线x+a−1y+1=0平行，则实数a的值为
( )
A. 2B. 12C. −2D. 2或−2
5.已知双曲线x2a+3−y23=1的离心率为2.则a=( )
A. −2B. 1C. −3D. 3
6.圆x 2+y 2−4x=0在点P(1, 3)处的切线方程为
( )
A. x+ 3y−2=0B. x+ 3y−4=0C. x− 3y+4=0D. x− 3y+2=0
7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(3,1)在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且▵ABF周长的最小值为4+ 5，则p=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为x216+y212=1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且PF1=5，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则F1QF2Q=( )
A. 52B. 153C. 54D. 53
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列关于双曲线Γ:x24−y2=1的判断，正确的是
( )
A. 顶点坐标为±2,0B. 焦点坐标为± 3,0
C. 实轴长为4D. 渐近线方程为x±2y=0
10.已知抛物线C
焦点在直线x−2y+3=0上，则抛物线C的标准方程为
( )
A. y2=12xB. y2=−12xC. x2=−6yD. x2=6y
11.已知椭圆C:x24+y23=1的左、右两个焦点分别为F1,F2，长轴端点分别为A，B，点P为椭圆上一动点，M(1,1)，则下列结论正确的有
( )
A. △PF1F2的最大面积为2 3
B. 若直线PA,PB的斜率为k1,k2，则k1⋅k2=−34
C. 存在点P使得PF1⋅PF2=0
D. |PM|+PF1的最大值为5
12.在平面直角坐标系xOy中，圆C:x2+y2=1，点P为直线l:x−y−2=0上的动点，则
( )
A. 圆C上有且仅有两个点到直线l的距离为12
B. 已知点M3,2，圆C上的动点N，则PM+PN的最小值为 17−1
C. 过点P作圆C的一条切线，切点为Q,∠OPQ可以为60∘
D. 过点P作圆C的两条切线，切点为M,N，则直线MN恒过定点12,−12
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若方程x2k+1+y2k−5=1表示双曲线，则k的取值范围是_________．
14.已知点P是圆C：(x−2)2+y2=64上动点，A(−2,0).若线段PA的中垂线交CP于点N，则点N的轨迹方程为______．
15.已知抛物线y2=4x与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦AB的中点M的横坐标为3，则弦AB的长|AB|=____________
16.已知直线l：kx−y+2−k=0与曲线y= 1−x2有两个交点，则实数k的取值范围为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知▵ABC的顶点B的坐标为1,−2，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x−y+1=0，∠BAC的平分线所在的直线方程为x+7y−12=0．
(1)求点A的坐标；
(2)求直线AC的方程
18.(本小题12.0分)
若双曲线C：x2a2−y2b2=1上一点D2, 3到左、右焦点的距离之差的绝对值为2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设F1、F2是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若PF1+PF2=6，求△PF1F2的面积．
19.(本小题12.0分)
已知圆心为C的圆经过点A−1,1和B−2,−2，且圆心在直线L：x+y−1=0上．
(1)求圆心为C的圆的标准方程；
(2)设点P在圆C上，点Q在直线x−y+5=0上，求|PQ|的最小值．
20.(本小题12.0分)
已知抛物线C:y2=2px过点D1,−2，其焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，AB=8．
(1)求抛物线C的标准方程，并写出其准线方程；
(2)求直线l的方程．
21.(本小题12.0分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π6，右焦点F到其中一条渐近线的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，直线l与双曲线C交于M，N两点．点M关于x轴的对称点为M′，若M′,F,N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点
22.(本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E的焦点为F1− 3,0，F2 3,0，且满足______，椭圆E的上、下顶点分别为A,B，右顶点为D，直线l过点D且垂直于x轴.现有如下两个条件分别为：
条件①；椭圆过点 3,12，条件②：椭圆的离心率为 32
请从上述两个条件中选择一个补充在横线上，并完成解答．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若点Q在椭圆E上(且在第一象限)，直线AQ与l交于点N，直线BQ与x轴交于点M.试问：OM+2DN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系计算即可．
解：由题意可知 AB 的斜率为 3−00−−3= 33 ，所以该直线的倾斜角为 π6 ．
故选：B
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线截距的定义，属于基础题．
在x轴的截距即令y=0求出的x的值，在y轴上的截距即令x=0求出y的值，分别求出即可．
【解答】
解：直线5x−2y−10=0，
令y=0，得到5x−10=0，解得x=2，所以a=2；
令x=0，得到−2y−10=0，解得y=−5，所以b=−5．
结合选项可知，B正确．
故选B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆的一般方程成立的条件，属于基础题．
利用D2+E2−4F>0求出m范围即可．
【解答】
解：∵方程x2+y2–2x+4y+5m=0表示圆，
∴(–2)2+42–4×5m>0，
解得m<1．
故选A ．
4.【答案】C
【解析】【分析】求出两直线不相交时的a值，再验证即可得解．
解：当直线 a+1x+3y+3=0 与直线 x+a−1y+1=0 不相交时， (a+1)(a−1)=3 ，解得 a=±2 ，
当 a=2 时，直线 3x+3y+3=0 与直线 x+y+1=0 重合，不符合题意，舍去；
当 a=−2 时，直线 −x+3y+3=0 ，即 x−3y−3=0 与直线 x−3y+1=0 平行，
所以实数 a 的值为 −2 ．
故选：C
5.【答案】A
【解析】【分析】利用离心率求出 e2=4 ，再由 a+6=4a+12 即求．
解：由 x2a+3−y23=1 ，则 b= 3 ，
因为 e=2,e2=a+6a+3=4 ， a+6=4a+12 ，解得 a=−2 ，
故选：A．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查圆的切线方程，直线的斜率，两条直线垂直的应用．
根据已知条件求出切线的斜率，进而求出切线方程．
【解答】
解：圆的标准方程为x−22+y2=4，
所以圆的圆心C为2, 0，半径为2，
由于点P1, 3在圆上，
所以kCP= 3−01−2=− 3，
故切线的斜率k= 33，
又点P1, 3在切线上，
所以切线方程为y− 3= 33(x−1)，即x− 3y+2=0．
故选D．
7.【答案】B
【解析】【分析】过点 A 作准线的垂线，垂足为 M′ ，交 y 轴于 M1 ，结合 ▵ABF 的周长为 AB+AF+BF=BA+BM′+AF≥AH+AF ，结合两点间距离公式计算可得 p ．
解：如图，过点 A 作准线的垂线，垂足为 M′ ，交 y 轴于 M1 ，抛物线为 C:y2=2px(p>0) ，准线l的方程为 x=−p2
B到准线的距离为d，则由抛物线的定义可知 BF=d ，
所以 ▵ABF 的周长为 AB+AF+BF=BA+BM′+AF≥AH+AF=4+ 5 ，
∵AH=3+p2,AF= p2−32+12= p24+10−3p ，
∴3+p2+ p24+10−3p=4+ 5 ， ∵p>0∴p=2
故选：B．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义和光线反射定律，以及角平分线性质定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
由椭圆方程得a=4，运用椭圆的定义和光线反射定律，以及角平分线定理，即可得到所求值．
【解答】
解：椭圆C的方程为x216+y212=1，a=4，
|PF1|=5，由椭圆的定义可得且|PF2|=2a−|PF1|=8−5=3，
过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点Q，
结合光线的反射定律可得PQ为△PF1F2的角平分线，
由角平分线性质定理知F1QF2Q=PF1PF2=53．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】确定a、b、c的值，利用双曲线的几何性质可判断各项的正误．
解：对于双曲线Γ，a=2，b=1，则c= a2+b2= 4+1= 5，
对于A选项，双曲线Γ的顶点坐标为±2,0，A对；
对于B选项，双曲线Γ的焦点坐标为± 5,0，B错；
对于C选项，双曲线Γ的实轴长为2a=4，C对；
对于D选项，双曲线Γ的渐近线方程为y=±12x，即x±2y=0，D对．
故选：ACD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】分类讨论焦点的位置，根据抛物线的标准方程计算即可．
解：易知直线x−2y+3=0与坐标轴的交点分别为−3,0,0,32，
当焦点为−3,0时，可知抛物线方程为：y2=−12x；
当焦点为0,32时，可知抛物线方程为：x2=6y．
故选：BD
11.【答案】BD
【解析】【分析】当P为椭圆短轴顶点时△PF1F2的面积最大，即可判断A；利用两点求斜率公式计算化简即可判断B；当P为椭圆短轴顶点时∠F1PF2为最大，利用余弦定理计算即可判断C；根据椭圆的定义可得PM+PF1=PM+4−PF2=4+PM−PF2≤4+MF2，求出MF2即可判断D．
解：对A，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积最大，
且最大面积为：S=12×2× 3= 3，故 A错误；
对B，由椭圆C:x24+y23=1，得A(−2,0),B(2,0)，设P(x0,y0)，
则k1k2=y0x0+2×y0x0−2=y02x02−4，又x024+y023=1，则y02=34(4−x02)，
所以k1k2=y02x02−4=34(4−x02)x02−4=−34，故 B正确；
对C，当P为椭圆短轴顶点时，∠F1PF2为最大，此时cs∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222PF1⋅PF2=4+4−42×2×2=12>0，
即∠F1PF2为锐角，所以不存在点P使得PF1⋅PF2=0，故 C错误；
对D，由椭圆C:x24+y23=1，所以F21,0，又M1,1，
所以MF2= 1−12+0−12=1，
所以PM+PF1=PM+4−PF2=4+PM−PF2≤4+MF2=5，故 D正确．
故选：BD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】对A，转化为与直线l距离为12的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点M与圆在直线l:x−y−2=0的同侧，利用对称转化为异侧，则当M′,P,N,O四点共线时PM+PN取最小值，且最小值为M′N=M′C−1；对C，求出sin∠OPQ最大值为 22，即∠OPQ最大为45∘；对D，设P点坐标(x0,x0−2)，求出切点弦MN方程，不论x0如何变化，直线MN恒过定点．
解：选项A，由题意知，圆心(0,0)到直线的距离为d=−2 12+−12= 2，圆的半径为1，
由 2−1<12< 2+1，
如图可知与直线l平行且与直线l距离为12的其中一条直线l′与圆相交，有两个公共点，
另一条直线l′′与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线l的距离为12，故 A正确；
选项B，设点M(3,2)关于直线x−y−2=0的对称点M′(x,y)，
则3+x2−2+y2−2=0y−2x−3×1=−1，解得x=4y=1，即M′(4,1)，
则PM+PN=PM′+PN≥M′N≥M′O−1= 42+12−1= 17−1，
即PM+PN的最小值为 17−1，故 B正确；
选项C，由切点为Q,∠OQP=90∘，则在Rt▵OQP中，sin∠OPQ=OQOP=1OP，
当OP最小时，sin∠OPQ取最大值，∠OPQ最大，
过点O作OP′⊥l，垂足为P′，此时OP最小，最小值为OP′=−2 2= 2，
即sin∠OPQ最大值为 22，∠OPQ最大为45∘，不可能为60∘，故 C错误；
选项D，设点P(x0,y0)，切点M(x1,y1),N(x2,y2)，
可得切线MP方程为x1x+y1y=1，由点P在切线上，得x1x0+y1y0=1，
同理可得x2x0+y2y0=1，
故点M(x1,y1),N(x2,y2)都在直线x0x+y0y=1上，
即直线MN的方程为x0x+y0y=1，
又由点P(x0,y0)在直线l:x−y−2=0上，则y0=x0−2，
代入直线方程整理得x+yx0−2y−1=0，
由x+y=0−2y−1=0解得x=12y=−12，即直线MN恒过定点12,−12，故 D正确．
故选：ABD．
13.【答案】−1,5
【解析】【分析】根据双曲线方程的特点列不等式求解即可．
解：由题意得k+1k−5<0，解得−1故答案为：−1,5．
14.【答案】x216+y212=1
【解析】【分析】根据椭圆定义以及其标准方程，可得答案．
解：由题意，可作图如下：
因为N为线段AP中垂线上一点，所以AN=PN，则AN+CN=CN+NP=CP，
显然CP为圆C：x−22+y2=64的半径，则CP=8，
则动点N的轨迹为以定点A,C为焦点的椭圆，其中2a=8，2c=AC=4，
解得b= a2−c2=2 3，故其轨迹方程为x216+y212=1．
故答案为：x216+y212=1．
15.【答案】8
【解析】【分析】利用抛物线的定义即可得出．
解：由题设知线段AB的中点到准线的距离为4，
设A，B两点到准线的距离分别为d1,d2，
由抛物线的定义知：AB=AF+BF=d1+d2=2×4=8．
故答案为：8
16.【答案】34,1
【解析】【分析】直线l过定点P1,2，曲线y= 1−x2表示以O为圆心，1为半径的上半圆，数形结合可得答案．
解：直线l：kx−y+2−k=0，得kx−1−y+2=0，可知直线l过定点P1,2，
如图，曲线y= 1−x2表示以O为圆心，1为半径的上半圆，
当直线l与半圆相切时，2−k k2+1=1，解得k=34，
曲线y= 1−x2与x轴负半轴交于点A−1,0，kPA=1，
因为直线l与曲线y= 1−x2有两个交点，所以34
故答案为：34,1．
17.【答案】解：(1)设点Am,n，则AB中点M的坐标为m+12,n−22，
由题意知点A在直线x+7y−12=0上，点M在直线2x−y+1=0上，
所以m+7n−12=02×m+12−n−22+1=0解得m=−2,n=2.
即点A的坐标为−2,2．
(2)设点B关于直线x+7y−12=0的对称点为B′，则由角的对称性知点B′在直线AC上，
设点B′的坐标为x,y，则点BB′的中点坐标为x+12,y−22，
则y+2x−1×−17=−1x+12+7×y−22−12=0解得x=2,y=5,即点B′的坐标为2,5．
直线AB′的斜率为k=5−22−−2=34，
所以直线AB′即AC的方程为y−2=34x+2，即3x−4y+14=0．
【解析】【分析】(1)设点A的坐标，可得AB中点的坐标，且该点在直线x+7y−12=0上，结合两直线的位置关系列出方程组，解之即可求解；
(2)利用点关于直线对称的关系求出点B关于直线x+7y−12=0的对称点B′的坐标，结合直线的点斜式方程即可求解．
18.【答案】解：(1)令F1,F2分别是左右焦点，则|DF1|−|DF2|=2a=2，得a=1，
双曲线的方程为x2−y2b2=1，将点D2, 3代入上式，得：4−3b2=1,
∴b=1,c2=a2+b2=2,c= 2，
双曲线的标准方程为x2−y2=1；
(2)不妨设点P在第一象限，由双曲线的几何性质知：|PF1|−|PF2|=2，
∴PF1+PF2=6PF1−PF2=2 ，解得|PF1|=4,|PF2|=2，
在△PF1F2中，|F1F2|=2 2，
设PF1与PF2的夹角为θ，由余弦定理得：csθ=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=34,∴sinθ= 74，
S▵PF1F2=12|PF1||PF2|sinθ=12×4×2× 74= 7 ；
综上，双曲线的标准方程为x2−y2=1，△PF1F2的面积为 7．
【解析】【分析】(1)根据双曲线的定义和条件求解；
(2)先求出|PF1|和|PF2|，再根据余弦定理求出PF1与PF2夹角，运用三角形面积公式计算．
19.【答案】解：(1)设圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，得到圆心坐标为(a,b)，半径为r，
将A与B坐标代入圆方程得：−1−a2+1−b2=r2−2−a2+−2−b2=r2,
消去r，整理得：a+3b+3=0①，
将圆心坐标代入x+y−1=0得：a+b−1=0②，
联立①②解得：a=3，b=−2，r2=(−1−3)2+(1+2)2=25，
则圆C的标准方程为(x−3)2+(y+2)2=25．
(2)由于圆C：(x−3)2+(y+2)2=25，
则C(3,−2)，半径r=5，
由于C(3,−2)到直线l：x−y+5=0的距离为d=|3+2+5| 2=5 2，
故|PQ|的最小值是：5 2−5．
【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：二元一次方程组的解法，以及圆的标准方程，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．属于中等题．
(1)根据题意设出圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，得到圆心坐标为(a,b)，半径为r，将A与B坐标代入圆方程，消去r得到关于a与b的方程，再将圆心坐标代入x+y−1=0中得到关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出r的值，即可确定出圆的方程．
(2)由题意求出圆心到直线的距离，减去圆的半径即可得到|PQ|的最小值．
20.【答案】解：(1)由题意将点D1,−2代入抛物线方程可知(−2)2=2p，解得p=2．
所以抛物线C的标准方程为y2=4x，焦点F1,0，
因此准线方程为x=−1．
(2)由(1)得直线l的方程为y=kx−1(k>0)．
设Ax1,y1,Bx2,y2，如图所示：
联立直线l和抛物线方程y=kx−1y2=4x，消去y得k2x2−2k2+4x+k2=0．
易得Δ=16k2+16>0，且x1+x2=2k2+4k2．
由抛物线焦点弦公式可知AB=AF+BF=AA1+BB1=x1+1+x2+1=4k2+4k2．
所以4k2+4k2=8，解得k=1或k=−1(舍去)．
故直线l的方程为y=x−1．
【解析】【分析】(1)将D点坐标代入抛物线方程解得p=2，即可写出抛物线标准方程和准线方程；
(2)联立直线l和抛物线方程利用韦达定理和抛物线焦点弦公式解得k=1，求出直线方程．
21.【答案】解：(1)由题知设右焦点F的坐标为(c,0)，
双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0，
右焦点F到其中一条渐近线的距离为bc a2+b2=bcc=b，
可得b=1，
又由ba=tanπ6，
可得a= 3b，
有a= 3,c=2，
故双曲线C的标准方程为x23−y2=1;
(2)证明：由(1)知，双曲线C的方程为C:x23−y2=1，右焦点F(2,0)，
因直线l与x轴不垂直且斜率不为0，
设直线l与x轴交于点(t,0)，
直线l的方程为y=k(x−t)(k≠0)，
设Mx1,y1,Nx2,y2，则M′x1,−y1，
由y=kx−tx23−y2=1
消去y并整理得1−3k2x2+6tk2x−3k2t2+3=0，
显然有1−3k2≠0且Δ=6tk22+41−3k23k2t2+3>0，
化简得k2≠13且t2−3k2+1>0，
则x1+x2=−6tk21−3k2,x1x2=−3k2t2+31−3k2，
∴FM′=x1−2,−y1,FN=x2−2,y2，
而M′,F,N三点共线，即FM′//FN，
则−y1x2−2=y2x1−2
因此−kx1−tx2−2=kx2−tx1−2，
又k≠0，有x1−tx2−2+x2−tx1−2=0，
整理得2x1x2−(t+2)x1+x2+4t=0，
于是得2⋅−3k2t2+31−3k2−(t+2)−6tk21−3k2+4t=0，
化简得t=32，
即直线l:y=kx−32,k≠0过定点32,0，
所以直线l经过x轴上的一个定点32,0．
【解析】【分析】(1)求出焦点到渐近线的距离，再利用渐近线的斜率为ba，写出双曲线方程即可;
(2)设出直线方程和M,N两点坐标，联立方程组写出M′坐标，根据M′,F,N三点共线，得出x1,x2和直线参数之间的关系，解出参数，将参数代入直线可看出直线过定点．
(1)焦点到渐近线的距离为b;
(2)设直线方程联立方程组，(注意斜率存在不存在，是否为0这些特殊情况，本题已说明，所以不需要考虑);设点坐标，判别式大于0;三点共线问题采用向量，得到关于直线参数的式子即可．
22.【答案】解：(1)选择①，椭圆长轴长2a= − 3− 32+0−122+ 3− 32+0−122=4，
则a=2，短半轴长b= a2−( 3)2=1，
所以椭圆E的方程为x24+y2=1．
选择②，由椭圆半焦距c= 3，离心率e= 32，得长半轴a=ce=2，短半轴b= a2−( 3)2=1，
所以椭圆E的方程为x24+y2=1．
(2)由(1)知A0,1，B0,−1，D2,0，设Qx0,y0，x0>0，y0>0，则有x024+y02=1，
直线l的方程为x=2，直线AQ的方程为y=y0−1x0x+1，直线BQ的方程为y=y0+1x0x−1，
于是 得N(2,2y0−2x0+1)，M(x0y0+1,0)，观察图知点N在x轴上方，因此DN=2y0−2x0+1，OM=x0y0+1，
则OM+2DN=x0y0+1+2(2y0−2x0+1)=2+x0y0+1+4(y0−1)x0=2+x02+4y02−4x0(y0+1)=2，
所以OM+2DN为定值2．
【解析】【分析】(1)选①，利用椭圆定义求出长轴长即可求解作答；选②，利用椭圆离心率的定义求出长半轴长即可作答．
(2)设出点Q的坐标，求出点N、M的坐标，计算OM+2DN即可判断作答．
1.经过A0, 3,B−3,0两点的直线的倾斜角为
( )
A. 5π6B. π6C. 2π3D. π3
2.直线5x−2y−10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则( )
A. a=2，b=5B. a=2，b=−5
C. a=−2，b=5D. a=−2，b=−5
3.方程x2+y2–2x+4y+5m=0表示圆的条件是
( )
A. m<1B. m>1C. m<14D. 14
( )
A. 2B. 12C. −2D. 2或−2
5.已知双曲线x2a+3−y23=1的离心率为2.则a=( )
A. −2B. 1C. −3D. 3
6.圆x 2+y 2−4x=0在点P(1, 3)处的切线方程为
( )
A. x+ 3y−2=0B. x+ 3y−4=0C. x− 3y+4=0D. x− 3y+2=0
7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(3,1)在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且▵ABF周长的最小值为4+ 5，则p=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为x216+y212=1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且PF1=5，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则F1QF2Q=( )
A. 52B. 153C. 54D. 53
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列关于双曲线Γ:x24−y2=1的判断，正确的是
( )
A. 顶点坐标为±2,0B. 焦点坐标为± 3,0
C. 实轴长为4D. 渐近线方程为x±2y=0
10.已知抛物线C
焦点在直线x−2y+3=0上，则抛物线C的标准方程为
( )
A. y2=12xB. y2=−12xC. x2=−6yD. x2=6y
11.已知椭圆C:x24+y23=1的左、右两个焦点分别为F1,F2，长轴端点分别为A，B，点P为椭圆上一动点，M(1,1)，则下列结论正确的有
( )
A. △PF1F2的最大面积为2 3
B. 若直线PA,PB的斜率为k1,k2，则k1⋅k2=−34
C. 存在点P使得PF1⋅PF2=0
D. |PM|+PF1的最大值为5
12.在平面直角坐标系xOy中，圆C:x2+y2=1，点P为直线l:x−y−2=0上的动点，则
( )
A. 圆C上有且仅有两个点到直线l的距离为12
B. 已知点M3,2，圆C上的动点N，则PM+PN的最小值为 17−1
C. 过点P作圆C的一条切线，切点为Q,∠OPQ可以为60∘
D. 过点P作圆C的两条切线，切点为M,N，则直线MN恒过定点12,−12
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若方程x2k+1+y2k−5=1表示双曲线，则k的取值范围是_________．
14.已知点P是圆C：(x−2)2+y2=64上动点，A(−2,0).若线段PA的中垂线交CP于点N，则点N的轨迹方程为______．
15.已知抛物线y2=4x与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦AB的中点M的横坐标为3，则弦AB的长|AB|=____________
16.已知直线l：kx−y+2−k=0与曲线y= 1−x2有两个交点，则实数k的取值范围为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知▵ABC的顶点B的坐标为1,−2，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x−y+1=0，∠BAC的平分线所在的直线方程为x+7y−12=0．
(1)求点A的坐标；
(2)求直线AC的方程
18.(本小题12.0分)
若双曲线C：x2a2−y2b2=1上一点D2, 3到左、右焦点的距离之差的绝对值为2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设F1、F2是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若PF1+PF2=6，求△PF1F2的面积．
19.(本小题12.0分)
已知圆心为C的圆经过点A−1,1和B−2,−2，且圆心在直线L：x+y−1=0上．
(1)求圆心为C的圆的标准方程；
(2)设点P在圆C上，点Q在直线x−y+5=0上，求|PQ|的最小值．
20.(本小题12.0分)
已知抛物线C:y2=2px过点D1,−2，其焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，AB=8．
(1)求抛物线C的标准方程，并写出其准线方程；
(2)求直线l的方程．
21.(本小题12.0分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π6，右焦点F到其中一条渐近线的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，直线l与双曲线C交于M，N两点．点M关于x轴的对称点为M′，若M′,F,N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点
22.(本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E的焦点为F1− 3,0，F2 3,0，且满足______，椭圆E的上、下顶点分别为A,B，右顶点为D，直线l过点D且垂直于x轴.现有如下两个条件分别为：
条件①；椭圆过点 3,12，条件②：椭圆的离心率为 32
请从上述两个条件中选择一个补充在横线上，并完成解答．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若点Q在椭圆E上(且在第一象限)，直线AQ与l交于点N，直线BQ与x轴交于点M.试问：OM+2DN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系计算即可．
解：由题意可知 AB 的斜率为 3−00−−3= 33 ，所以该直线的倾斜角为 π6 ．
故选：B
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线截距的定义，属于基础题．
在x轴的截距即令y=0求出的x的值，在y轴上的截距即令x=0求出y的值，分别求出即可．
【解答】
解：直线5x−2y−10=0，
令y=0，得到5x−10=0，解得x=2，所以a=2；
令x=0，得到−2y−10=0，解得y=−5，所以b=−5．
结合选项可知，B正确．
故选B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆的一般方程成立的条件，属于基础题．
利用D2+E2−4F>0求出m范围即可．
【解答】
解：∵方程x2+y2–2x+4y+5m=0表示圆，
∴(–2)2+42–4×5m>0，
解得m<1．
故选A ．
4.【答案】C
【解析】【分析】求出两直线不相交时的a值，再验证即可得解．
解：当直线 a+1x+3y+3=0 与直线 x+a−1y+1=0 不相交时， (a+1)(a−1)=3 ，解得 a=±2 ，
当 a=2 时，直线 3x+3y+3=0 与直线 x+y+1=0 重合，不符合题意，舍去；
当 a=−2 时，直线 −x+3y+3=0 ，即 x−3y−3=0 与直线 x−3y+1=0 平行，
所以实数 a 的值为 −2 ．
故选：C
5.【答案】A
【解析】【分析】利用离心率求出 e2=4 ，再由 a+6=4a+12 即求．
解：由 x2a+3−y23=1 ，则 b= 3 ，
因为 e=2,e2=a+6a+3=4 ， a+6=4a+12 ，解得 a=−2 ，
故选：A．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查圆的切线方程，直线的斜率，两条直线垂直的应用．
根据已知条件求出切线的斜率，进而求出切线方程．
【解答】
解：圆的标准方程为x−22+y2=4，
所以圆的圆心C为2, 0，半径为2，
由于点P1, 3在圆上，
所以kCP= 3−01−2=− 3，
故切线的斜率k= 33，
又点P1, 3在切线上，
所以切线方程为y− 3= 33(x−1)，即x− 3y+2=0．
故选D．
7.【答案】B
【解析】【分析】过点 A 作准线的垂线，垂足为 M′ ，交 y 轴于 M1 ，结合 ▵ABF 的周长为 AB+AF+BF=BA+BM′+AF≥AH+AF ，结合两点间距离公式计算可得 p ．
解：如图，过点 A 作准线的垂线，垂足为 M′ ，交 y 轴于 M1 ，抛物线为 C:y2=2px(p>0) ，准线l的方程为 x=−p2
B到准线的距离为d，则由抛物线的定义可知 BF=d ，
所以 ▵ABF 的周长为 AB+AF+BF=BA+BM′+AF≥AH+AF=4+ 5 ，
∵AH=3+p2,AF= p2−32+12= p24+10−3p ，
∴3+p2+ p24+10−3p=4+ 5 ， ∵p>0∴p=2
故选：B．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义和光线反射定律，以及角平分线性质定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
由椭圆方程得a=4，运用椭圆的定义和光线反射定律，以及角平分线定理，即可得到所求值．
【解答】
解：椭圆C的方程为x216+y212=1，a=4，
|PF1|=5，由椭圆的定义可得且|PF2|=2a−|PF1|=8−5=3，
过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点Q，
结合光线的反射定律可得PQ为△PF1F2的角平分线，
由角平分线性质定理知F1QF2Q=PF1PF2=53．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】确定a、b、c的值，利用双曲线的几何性质可判断各项的正误．
解：对于双曲线Γ，a=2，b=1，则c= a2+b2= 4+1= 5，
对于A选项，双曲线Γ的顶点坐标为±2,0，A对；
对于B选项，双曲线Γ的焦点坐标为± 5,0，B错；
对于C选项，双曲线Γ的实轴长为2a=4，C对；
对于D选项，双曲线Γ的渐近线方程为y=±12x，即x±2y=0，D对．
故选：ACD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】分类讨论焦点的位置，根据抛物线的标准方程计算即可．
解：易知直线x−2y+3=0与坐标轴的交点分别为−3,0,0,32，
当焦点为−3,0时，可知抛物线方程为：y2=−12x；
当焦点为0,32时，可知抛物线方程为：x2=6y．
故选：BD
11.【答案】BD
【解析】【分析】当P为椭圆短轴顶点时△PF1F2的面积最大，即可判断A；利用两点求斜率公式计算化简即可判断B；当P为椭圆短轴顶点时∠F1PF2为最大，利用余弦定理计算即可判断C；根据椭圆的定义可得PM+PF1=PM+4−PF2=4+PM−PF2≤4+MF2，求出MF2即可判断D．
解：对A，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积最大，
且最大面积为：S=12×2× 3= 3，故 A错误；
对B，由椭圆C:x24+y23=1，得A(−2,0),B(2,0)，设P(x0,y0)，
则k1k2=y0x0+2×y0x0−2=y02x02−4，又x024+y023=1，则y02=34(4−x02)，
所以k1k2=y02x02−4=34(4−x02)x02−4=−34，故 B正确；
对C，当P为椭圆短轴顶点时，∠F1PF2为最大，此时cs∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222PF1⋅PF2=4+4−42×2×2=12>0，
即∠F1PF2为锐角，所以不存在点P使得PF1⋅PF2=0，故 C错误；
对D，由椭圆C:x24+y23=1，所以F21,0，又M1,1，
所以MF2= 1−12+0−12=1，
所以PM+PF1=PM+4−PF2=4+PM−PF2≤4+MF2=5，故 D正确．
故选：BD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】对A，转化为与直线l距离为12的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点M与圆在直线l:x−y−2=0的同侧，利用对称转化为异侧，则当M′,P,N,O四点共线时PM+PN取最小值，且最小值为M′N=M′C−1；对C，求出sin∠OPQ最大值为 22，即∠OPQ最大为45∘；对D，设P点坐标(x0,x0−2)，求出切点弦MN方程，不论x0如何变化，直线MN恒过定点．
解：选项A，由题意知，圆心(0,0)到直线的距离为d=−2 12+−12= 2，圆的半径为1，
由 2−1<12< 2+1，
如图可知与直线l平行且与直线l距离为12的其中一条直线l′与圆相交，有两个公共点，
另一条直线l′′与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线l的距离为12，故 A正确；
选项B，设点M(3,2)关于直线x−y−2=0的对称点M′(x,y)，
则3+x2−2+y2−2=0y−2x−3×1=−1，解得x=4y=1，即M′(4,1)，
则PM+PN=PM′+PN≥M′N≥M′O−1= 42+12−1= 17−1，
即PM+PN的最小值为 17−1，故 B正确；
选项C，由切点为Q,∠OQP=90∘，则在Rt▵OQP中，sin∠OPQ=OQOP=1OP，
当OP最小时，sin∠OPQ取最大值，∠OPQ最大，
过点O作OP′⊥l，垂足为P′，此时OP最小，最小值为OP′=−2 2= 2，
即sin∠OPQ最大值为 22，∠OPQ最大为45∘，不可能为60∘，故 C错误；
选项D，设点P(x0,y0)，切点M(x1,y1),N(x2,y2)，
可得切线MP方程为x1x+y1y=1，由点P在切线上，得x1x0+y1y0=1，
同理可得x2x0+y2y0=1，
故点M(x1,y1),N(x2,y2)都在直线x0x+y0y=1上，
即直线MN的方程为x0x+y0y=1，
又由点P(x0,y0)在直线l:x−y−2=0上，则y0=x0−2，
代入直线方程整理得x+yx0−2y−1=0，
由x+y=0−2y−1=0解得x=12y=−12，即直线MN恒过定点12,−12，故 D正确．
故选：ABD．
13.【答案】−1,5
【解析】【分析】根据双曲线方程的特点列不等式求解即可．
解：由题意得k+1k−5<0，解得−1
14.【答案】x216+y212=1
【解析】【分析】根据椭圆定义以及其标准方程，可得答案．
解：由题意，可作图如下：
因为N为线段AP中垂线上一点，所以AN=PN，则AN+CN=CN+NP=CP，
显然CP为圆C：x−22+y2=64的半径，则CP=8，
则动点N的轨迹为以定点A,C为焦点的椭圆，其中2a=8，2c=AC=4，
解得b= a2−c2=2 3，故其轨迹方程为x216+y212=1．
故答案为：x216+y212=1．
15.【答案】8
【解析】【分析】利用抛物线的定义即可得出．
解：由题设知线段AB的中点到准线的距离为4，
设A，B两点到准线的距离分别为d1,d2，
由抛物线的定义知：AB=AF+BF=d1+d2=2×4=8．
故答案为：8
16.【答案】34,1
【解析】【分析】直线l过定点P1,2，曲线y= 1−x2表示以O为圆心，1为半径的上半圆，数形结合可得答案．
解：直线l：kx−y+2−k=0，得kx−1−y+2=0，可知直线l过定点P1,2，
如图，曲线y= 1−x2表示以O为圆心，1为半径的上半圆，
当直线l与半圆相切时，2−k k2+1=1，解得k=34，
曲线y= 1−x2与x轴负半轴交于点A−1,0，kPA=1，
因为直线l与曲线y= 1−x2有两个交点，所以34
故答案为：34,1．
17.【答案】解：(1)设点Am,n，则AB中点M的坐标为m+12,n−22，
由题意知点A在直线x+7y−12=0上，点M在直线2x−y+1=0上，
所以m+7n−12=02×m+12−n−22+1=0解得m=−2,n=2.
即点A的坐标为−2,2．
(2)设点B关于直线x+7y−12=0的对称点为B′，则由角的对称性知点B′在直线AC上，
设点B′的坐标为x,y，则点BB′的中点坐标为x+12,y−22，
则y+2x−1×−17=−1x+12+7×y−22−12=0解得x=2,y=5,即点B′的坐标为2,5．
直线AB′的斜率为k=5−22−−2=34，
所以直线AB′即AC的方程为y−2=34x+2，即3x−4y+14=0．
【解析】【分析】(1)设点A的坐标，可得AB中点的坐标，且该点在直线x+7y−12=0上，结合两直线的位置关系列出方程组，解之即可求解；
(2)利用点关于直线对称的关系求出点B关于直线x+7y−12=0的对称点B′的坐标，结合直线的点斜式方程即可求解．
18.【答案】解：(1)令F1,F2分别是左右焦点，则|DF1|−|DF2|=2a=2，得a=1，
双曲线的方程为x2−y2b2=1，将点D2, 3代入上式，得：4−3b2=1,
∴b=1,c2=a2+b2=2,c= 2，
双曲线的标准方程为x2−y2=1；
(2)不妨设点P在第一象限，由双曲线的几何性质知：|PF1|−|PF2|=2，
∴PF1+PF2=6PF1−PF2=2 ，解得|PF1|=4,|PF2|=2，
在△PF1F2中，|F1F2|=2 2，
设PF1与PF2的夹角为θ，由余弦定理得：csθ=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=34,∴sinθ= 74，
S▵PF1F2=12|PF1||PF2|sinθ=12×4×2× 74= 7 ；
综上，双曲线的标准方程为x2−y2=1，△PF1F2的面积为 7．
【解析】【分析】(1)根据双曲线的定义和条件求解；
(2)先求出|PF1|和|PF2|，再根据余弦定理求出PF1与PF2夹角，运用三角形面积公式计算．
19.【答案】解：(1)设圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，得到圆心坐标为(a,b)，半径为r，
将A与B坐标代入圆方程得：−1−a2+1−b2=r2−2−a2+−2−b2=r2,
消去r，整理得：a+3b+3=0①，
将圆心坐标代入x+y−1=0得：a+b−1=0②，
联立①②解得：a=3，b=−2，r2=(−1−3)2+(1+2)2=25，
则圆C的标准方程为(x−3)2+(y+2)2=25．
(2)由于圆C：(x−3)2+(y+2)2=25，
则C(3,−2)，半径r=5，
由于C(3,−2)到直线l：x−y+5=0的距离为d=|3+2+5| 2=5 2，
故|PQ|的最小值是：5 2−5．
【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：二元一次方程组的解法，以及圆的标准方程，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．属于中等题．
(1)根据题意设出圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，得到圆心坐标为(a,b)，半径为r，将A与B坐标代入圆方程，消去r得到关于a与b的方程，再将圆心坐标代入x+y−1=0中得到关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出r的值，即可确定出圆的方程．
(2)由题意求出圆心到直线的距离，减去圆的半径即可得到|PQ|的最小值．
20.【答案】解：(1)由题意将点D1,−2代入抛物线方程可知(−2)2=2p，解得p=2．
所以抛物线C的标准方程为y2=4x，焦点F1,0，
因此准线方程为x=−1．
(2)由(1)得直线l的方程为y=kx−1(k>0)．
设Ax1,y1,Bx2,y2，如图所示：
联立直线l和抛物线方程y=kx−1y2=4x，消去y得k2x2−2k2+4x+k2=0．
易得Δ=16k2+16>0，且x1+x2=2k2+4k2．
由抛物线焦点弦公式可知AB=AF+BF=AA1+BB1=x1+1+x2+1=4k2+4k2．
所以4k2+4k2=8，解得k=1或k=−1(舍去)．
故直线l的方程为y=x−1．
【解析】【分析】(1)将D点坐标代入抛物线方程解得p=2，即可写出抛物线标准方程和准线方程；
(2)联立直线l和抛物线方程利用韦达定理和抛物线焦点弦公式解得k=1，求出直线方程．
21.【答案】解：(1)由题知设右焦点F的坐标为(c,0)，
双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0，
右焦点F到其中一条渐近线的距离为bc a2+b2=bcc=b，
可得b=1，
又由ba=tanπ6，
可得a= 3b，
有a= 3,c=2，
故双曲线C的标准方程为x23−y2=1;
(2)证明：由(1)知，双曲线C的方程为C:x23−y2=1，右焦点F(2,0)，
因直线l与x轴不垂直且斜率不为0，
设直线l与x轴交于点(t,0)，
直线l的方程为y=k(x−t)(k≠0)，
设Mx1,y1,Nx2,y2，则M′x1,−y1，
由y=kx−tx23−y2=1
消去y并整理得1−3k2x2+6tk2x−3k2t2+3=0，
显然有1−3k2≠0且Δ=6tk22+41−3k23k2t2+3>0，
化简得k2≠13且t2−3k2+1>0，
则x1+x2=−6tk21−3k2,x1x2=−3k2t2+31−3k2，
∴FM′=x1−2,−y1,FN=x2−2,y2，
而M′,F,N三点共线，即FM′//FN，
则−y1x2−2=y2x1−2
因此−kx1−tx2−2=kx2−tx1−2，
又k≠0，有x1−tx2−2+x2−tx1−2=0，
整理得2x1x2−(t+2)x1+x2+4t=0，
于是得2⋅−3k2t2+31−3k2−(t+2)−6tk21−3k2+4t=0，
化简得t=32，
即直线l:y=kx−32,k≠0过定点32,0，
所以直线l经过x轴上的一个定点32,0．
【解析】【分析】(1)求出焦点到渐近线的距离，再利用渐近线的斜率为ba，写出双曲线方程即可;
(2)设出直线方程和M,N两点坐标，联立方程组写出M′坐标，根据M′,F,N三点共线，得出x1,x2和直线参数之间的关系，解出参数，将参数代入直线可看出直线过定点．
(1)焦点到渐近线的距离为b;
(2)设直线方程联立方程组，(注意斜率存在不存在，是否为0这些特殊情况，本题已说明，所以不需要考虑);设点坐标，判别式大于0;三点共线问题采用向量，得到关于直线参数的式子即可．
22.【答案】解：(1)选择①，椭圆长轴长2a= − 3− 32+0−122+ 3− 32+0−122=4，
则a=2，短半轴长b= a2−( 3)2=1，
所以椭圆E的方程为x24+y2=1．
选择②，由椭圆半焦距c= 3，离心率e= 32，得长半轴a=ce=2，短半轴b= a2−( 3)2=1，
所以椭圆E的方程为x24+y2=1．
(2)由(1)知A0,1，B0,−1，D2,0，设Qx0,y0，x0>0，y0>0，则有x024+y02=1，
直线l的方程为x=2，直线AQ的方程为y=y0−1x0x+1，直线BQ的方程为y=y0+1x0x−1，
于是 得N(2,2y0−2x0+1)，M(x0y0+1,0)，观察图知点N在x轴上方，因此DN=2y0−2x0+1，OM=x0y0+1，
则OM+2DN=x0y0+1+2(2y0−2x0+1)=2+x0y0+1+4(y0−1)x0=2+x02+4y02−4x0(y0+1)=2，
所以OM+2DN为定值2．
【解析】【分析】(1)选①，利用椭圆定义求出长轴长即可求解作答；选②，利用椭圆离心率的定义求出长半轴长即可作答．
(2)设出点Q的坐标，求出点N、M的坐标，计算OM+2DN即可判断作答．
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