2022-2023学年江苏省淮安市高中校协作体高二下学期期中数学试题含解析

江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高二下学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据四点共面的充要条件及其推论，即可得出答案.

【详解】由与三点共面以及，

可得，，所以.

故选：C.

2．若，则（    ）

A．1 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】根据排列数公式，将已知条件展开，即可得出答案.

【详解】由已知，.

因为，

.

则由可得，，

整理可得，解得.

故选：D.

3．已知是夹角为的两个单位向量，设向量，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知求出，根据数量积的运算求出的值，进而根据数量积的定义，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，

所以，

，

，

所以，，

所以，，

所以，.

故选：C.

4．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（    ）

A．192 B．420 C．210 D．72

【答案】D

【分析】分为同色，且同色；同色，而不同色；同色，而不同色三种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，求和即可得出答案.

【详解】由题意知，与任意一点均不同色.

只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为；

用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色.

若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为；

若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为.

根据分类加法计数原理原理可得，不同染色方法的种数为.

故选：D.

5．设是实数，已知三点，，在同一条直线上，那么（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】求出，.进而根据三点共线得出，即可列出方程组，求解即可得出答案.

【详解】由已知可得，.

因为三点共线，所以存在唯一实数，使得，

所以，解得，所以.

故选：D.

6．已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中系数的绝对值最大的是第（    ）项

A．6 B．8 C．9 D．11

【答案】B

【分析】写出展开式的通项公式，由已知可得出，解得.进而写出展开式中系数的绝对值的表达式，列出不等式组，求解即可得出答案.

【详解】由已知可得，展开式的通项公式为，.

所以，第5项的系数为，第3项的系数为，

由题意知，，整理可得，，

解得或（舍去），

所以，.

设第项，系数的绝对值最大，该项系数的绝对值为，

则有，即，

整理可得，所以.

又，所以，所以展开式中系数的绝对值最大的是第8项.

故选：B.

7．已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量的模为（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】A

【分析】根据数量积的定义求得，进而得出的值，然后根据投影向量即可得出答案.

【详解】由已知可得，，

所以，，

所以，向量在向量上的投影向量的模为.

故选：A.

8．若，则被12整除的余数为（    ）

A．0 B．3 C．5 D．8

【答案】B

【分析】分别赋值以及，可推得.然后将展开，即可得出，观察即可得出答案.

【详解】令，由已知可得，.

令，由已知可得，.

两式作差可得，，

所以，.

因为

，

所以，，

显然可以被12整除，

所以，余数为3.

故选：B.

二、多选题

9．下列命题中是真命题的为（    ）

A．若与共面，则存在实数，使

B．若存在实数，使向量，则与共面

C．若点四点共面，则存在实数，使

D．若存在实数，使，则点四点共面

【答案】BD

【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B、D项正确；若共线，则A结论不恒成立；若三点共线，则C项结论不恒成立.

【详解】对于A项，如果共线，则只能表示与共线的向量.

若与不共线，则不能表示，故A项错误；

对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数，使向量，则与共面，故B项正确；

对于C项，如果三点共线，则不论取何值，只能表示与共线的向量.若点不在所在的直线上，则无法表示，故C项错误；

对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数，使，则共面，所以点四点共面，故D项正确.

故选：BD.

10．我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经）、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】先选出一个人分得两本书，剩余四人各分得一本书，再利用分步乘法计数原理相乘即得结果.

【详解】依题意，6本书分给5名数学爱好者，其中一人至少一本，则有一人分得两本书，剩余四人各分得一本书，

方法一：分三步完成，

第一步：选择一个人，有种选法；

第二步：为这个人选两本书，有种选法；

第三步: 剩余四人各分得一本书，有种选法.

故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为，故A正确；

方法二：分两步完成，

第一步：先分组，选择两本书，将书分成“2+1+1+1+1”的五组，有种选法；

第二步：将五组分配给五个人，有种选法.

故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为，故D正确.

故选：AD.

11．设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】BCD

【分析】令，并以它们为邻边作平行六面体，再确定，对应的线段，判断线段是否共面，即可判断各组向量是否可作为基底.

【详解】如图所示，令，则，又，

由A、B1、C、D1四点不共面知：向量不共面，

同理和也不共面.

故选：BCD

12．对于二项式，以下判断正确的有（    ）

A．存在，展开式中有常数项

B．对任意，展开式中没有常数项

C．对任意，展开式中没有x的一次项

D．存在，展开式中有x的一次项

【答案】AD

【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案．

【详解】设二项式展开式的通项公式为，

则，

不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；

令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确．

故选：AD

三、填空题

13．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，分别为上的点，且，__________.

【答案】

【分析】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.

【详解】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，

则

，

又，，，

则，，

因此，

.

故答案为：.

14．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024，则的展开式中项的系数为__________.

【答案】

【分析】由已知求出.进而得出的展开式中含有的项为，然后根据二项式系数的性质求解，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，所以.

的展开式的通项为

，，，且，

展开式中含有的项为，

所以，的展开式中项的系数为

.

故答案为：.

15．在直三棱柱中，，，，分别为的中点.则点到平面的距离为__________.

【答案】/

【分析】以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的法向量以及，然后求出在上的投影向量的模，即可得出答案.

【详解】因为，，所以.

又由直三棱柱的性质，可知平面.

如图，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，

所以，，，.

设是平面的一个法向量，

则，即，

取，则是平面的一个法向量.

因为，在方向上投影向量的模为，

所以，点到平面的距离为.

故答案为：.

四、双空题

16．对任意实数有，则__________；__________.

【答案】     6     27

【分析】将展开，即可得出各项的系数，然后得出答案.

【详解】因为，

将该式展开可得，.

所以，，.

故答案为：6；27.

五、解答题

17．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.

已知（），若的展开式中，______.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）10；（2）

【分析】（1）分别选择不同方案，根据展开式系数关系即可求出；

（2）令和可求出.

【详解】（1）选择条件①，

若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则，

；

选择条件②，

若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则，

；

选择条件②，

若的展开式中所有二项式系数的和为，则，

；

（2）由（1）知，则，

令，得，

令，则，

.

【点睛】本题考查二项展开式系数关系，属于基础题.

18．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD的中点，试用向量法解决下面的问题．

（1）求证：；

（2）若，求线段BP的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】由题设已知可构建底面中心O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向的空间直角坐标系，确定坐标，（1）应用向量的数量积坐标公式有，即可证；（2）用坐标表示，求模即为线段BP的长；

【详解】连接BD，交AC于点O，由题意知平面ABCD．以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．

（1）设底面边长为a，则高，于是，，，所以，，

所以，故，即．

（2）因为，所以，，.

由中点坐标公式，可得，所以，

所以，即线段BP的长为．

【点睛】本题考查了应用空间向量证明垂直及求线段长度，根据几何体的性质构建合适的空间坐标系，并得到点坐标，应用向量垂直的坐标公式证垂直，由向量的模求线段长度.

19．有4名男生，3名女生，共7个人从左至右站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法.

(1)男生､女生各站在一起；

(2)男生必须站在一起；

(3)男生互不相邻，且女生也互不相邻.

(4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，则有多少种不同的站法？

【答案】(1)288

(2)576

(3)144

(4)1320

【分析】（1）先排男生，再排女生，考虑男女生位置，即可根据分步计数原理得出答案；

（2）捆绑法：将男生看为一个整体，与女生排列，即可得出答案；

（3）插空法：先排男生，女生插空，即可得出答案；

（4）分为某生甲站在最左端，某生乙甲站在最左端，分别计算，相加即可得出答案.

【详解】（1）男生必须站在一起，即把4名男生全排列，有种排法，

女生必须站在一起，即把3名女生全排列，有种排法，

全体男生、女生各看作一个元素全排列有种排法，

由分步乘法计数原理知共有（种）排法.

（2）把所有男生看作一个元素，与3名女生组成4个元素全排列，

故有（种）不同的排法.

（3）先排男生有种排法，

然后让女生插空，有种排法，

所以共有（种）不同的排法.

（4）若最左端站某生甲，余下6名同学全排列共有种排法；

若最左端站某生乙，

则应先排某生甲，有种排法，

剩余5名同学全排列共有种排法，

由分步计数原理知共有种排法.

根据分类加法计数原理可得，共有种.

20．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，.

(1)若的中点为，求证：平面；

(2)若与底面所成的角为，求与平面的所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接.先证明四边形是平行四边形，即可得出，然后即可证明线面平行；

（2）先证明平面，即可得出.然后建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标，求出平面的法向量，根据向量求得与平面的所成角的正弦值，进而求得余弦值.

【详解】（1）如图1，取的中点，连接，

分别为的中点，

，且.

且，

且，

四边形是平行四边形，

.

平面，平面，

平面.

（2）若是中点，取中点为，连结.

分别是的中点，

.

，

.

由底面为直角梯形且，，.

，

.

由侧面底面，平面平面，面，

平面，

在平面的投影在直线上.

又与底面所成的角为，

与底面所成角的平面角，

为等边三角形，.

以为原点，分别以所在的直线为轴，如图2建空间直角坐标系，

则，，，，

则，，.

设平面PBD的法向量，

则，即，

取，得，

.

设与平面的所成角为，

则.

，

，

与平面的夹角的余弦值为.

21．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.

(1)有女生但人数必须少于男生；

(2)某女生一定担任语文科代表；

(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；

(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.

【答案】(1)5400

(2)840

(3)3360

(4)360

【分析】（1）分为2女3男和1女4男，两种情况，先选出5人，然后排列即可得出答案；

（2）从剩余7人中，选出4人排列，即可得出答案；

（3）先考虑选出某男生的职位，再从剩余7人中，先选出4人排列，即可得出答案；

（4）先考虑选出某男生的职位，再从剩余6人中，先选出3人排列，即可得出答案.

【详解】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，

所以先选有种方法，后排有种方法，

所以共有不同选法（种）.

（2）先在剩余的7人中选出4人，有种选法，然后排列，有种方法，根据分步乘法计数原理，即可得出共有不同选法（种）.

（3）分步：

第一步，先安排不担任语文科代表的某男生，有种方法；

第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有种选法；

第三步，选出的4人排列，有种方法.

根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）.

（4）第一步，安排某男生，有种方法；

第二步，从剩余的6人中选出3人，有种选法；

第三步，选出的3人排列，有种方法.

根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）.

22．如图，在底面是菱形的四棱锥中，为中点，，，已知.

(1)若，证明：；

(2)若，求二面角的平面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）由已知可推得为等边三角形，，推得.根据勾股定理，可推得.即可证明平面，根据线面垂直的性质，即可推得线线垂直；

（2）先证明面.以为原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面和平面的法向量，即可根据向量方法得出答案.

【详解】（1）连结，

由于为中点，且，

所以，为等边三角形，故.

因为，所以.

因为，，

所以.

因为，

在中，有，

则.

又，且平面，平面，

所以平面.

又平面，故.

（2）取的中点，连接，

在中，，

，为中点，

所以，.

在中，，，所以.

又，，所以.

又，，平面，平面，

所以面.

以为原点，分别以所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系，

则，，，

则，.

设平面的一个法向量为，

则，即，

取，则.

易知为平面的一个法向量，

则.

设二面角的平面角为，

所以，，

所以二面角的平面角的正弦值为.