2021-2022学年江苏省盐城中学高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年江苏省盐城中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．若复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（          ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求出z的虚部.

【详解】，其虚部为.

故选：A．

2．在△ABC中，，，，，则（          ）

A． B．5 C．6 D．

【答案】B

【分析】根据余弦的倍角公式，求得，结合余弦定理列出方程，即可求解.

【详解】由，可得，

又由，，，

根据余弦定理得，即，

解得或（舍去）．

故选：B．

3．如图所示，在中，，，若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的加法、减法、数乘，利用基底表示所求向量即可.

【详解】因为，

所以，

故选：B

4．若，是两条不同的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】从充分性及必要性两个角度分析.

【详解】当，时，由线面平行性质定理可在平面内找到一条直线与平行，则有，进而可推出，即在前提下，“”是“”的充分条件；

当，时，有或两种情况，即在前提下，“”不是“”的必要条件.

综上，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

5．设，，，则（          ）

A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b

【答案】B

【分析】利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性即可比较大小.

【详解】由题意得，

，

，

因为正弦函数在上为增函数，

所以.

故选：B.

6．在矩形ABCD中，已知，，，，则（          ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算,求出的长度,然后用基地向量表示,即可求解.

【详解】，

，，

所以，，

又

.

故选:A

7．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．若，当角A最大时，则（          ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可得，结合余弦定理可得时,角A最大，即有 ，由此化简，结合同角的三角函数的关系式，求得答案.

【详解】由题意得，，

故，当且仅当时取等号，

即时,角A最大,此时，

故，

而,所以，

故选：B．

8．在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD面积的最大值为（          ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】在三角形，由余弦定理求出，又因为在三角形中，，，所以三角形为等边三角形，所以=，代入化简即可求出四边形ABCD面积的最大值.

【详解】在三角形，由余弦定理得：，

所以，在三角形中，，，所以三角形为等边三角形，，，

.

故选：B．

二、多选题

9．已知向量，，则（          ）

A． B．向量在向量上的投影向量是

C． D．向量在向量上的投影向量是

【答案】BC

【分析】由向量平行的坐标运算可判断A；由投影向量的计算公式可判断B、D；由模长的计算公式可判断C.

【详解】，，A错误；

，，故，B正确；

，所以，C正确；

，故，所以向量在向量上的投影向量是，D错误.

故选：BC．

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（          ）

A．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解

B．若，则△ABC为直角三角形

C．若，则△ABC为锐角三角形

D．若a2－b2＝bc，则A＝2B

【答案】ABD

【分析】对A，由正弦定理可判断；对B，化简可得可判断；对C，由正弦定理化角为边，再由余弦定理可判断；对D，由正弦定理结合余弦定理可判断.

【详解】对A，因为，所以△ABC有两解，故A正确；

对B，因为，所以，，，故，故B正确；

对C，由可得，则，所以，故C为钝角，故C错误；

对D，，所以，所以，所以，，，所以，即，故D正确.

故选：ABD．

11．如图，正方体的棱长为1，点P是内部（不包括边界）的动点，若，则线段AP长度的可能取值为（          ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】利用线面垂直得线线垂直，从而确定点的轨迹，再根据平面几何的知识求距离的最大、最小值，判断选项即可.

【详解】

取中点O，在正方体中，

，是的中点，，同理，

面，

又点P是内部（不包括边界）的动点，

一定在线段上运动

在中，，，

故，，

故A到OC的距离，

故，

故选BC．

12．已知对任意角，均有公式．设△ABC的内角A，B，C满足，面积满足．记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列等式或不等式一定成立的是（          ）

A．  B．

C．  D．

【答案】ACD

【分析】将根据三角形内角关系化简得，进而根据任意角，均有公式，得到.再联合正弦定理和面积公式，即可求解.

【详解】,

且,

故,因此可得: ,

对任意角，均有公式,

,所以，D正确；

（R为△ABC外接圆半径），

由故，从而，C正确；

，B错误；

，A正确.

故选:ACD．

三、填空题

13．已知复数，则的最大值是___________.

【答案】3

【分析】由已知中，且，由复数模的运算性质，可得当与反向时，取最大值，由此求出满足条件的值，进而求出答案．

【详解】解：由复数模的运算性质，

易得当与反向时，取最大值

又，

即当时，满足条件

此时

故答案为：．

14．国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为，则．

【答案】

【分析】根据题意，求得大、小正方形的边长分别为和，得到，其中，结合三角函数的基本关系式，求得，进而求得，利用，即可求解．

【详解】由小正方形的面积为，大正方形的面积为，可得大、小正方形的边长分别为和，

又由为直角三角形中较小的锐角为，可得，其中，

即，则，所以，

因为，所以，

所以．

故答案为：.

15．如图，在圆锥SO中，AB为底面圆的直径，SO＝AO＝3，P为SB上的点，，D为底面圆周上的点，，则异面直线SA与PD所成角的余弦值为_________．

【答案】

【分析】在BA上取点，使得，则即为直线SA与PD所成角，即可求出.

【详解】在BA上取点，使得，连接，此时，所以即为直线SA与PD所成角．

在中，，，，由余弦定理得，，

过P作，在△BHD中，，，，由余弦定理得，

在Rt△PHD中，，，所以．

在中，，，，

所以．

故答案为：.

16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，S为△ABC的面积，点M是△ABC的外接圆圆O上一动点，当取得最大值时，的最大值为_________．

【答案】

【分析】由题目条件可得，由正弦定理和面积公式可求得当时，取得最大值，此时，取AB中点Q，，要求的最大值转化为求的最大值减,代入即可求出答案.

【详解】由题得，即，

即，所以，所以．

由，

所以，当时取得最大值，此时．

取AB中点Q，，

由图知，连接QO并延长交圆于点时，故MQ取最大值，

所以．

四、解答题

17．已知复数满足（a＞0，a∈R），且，其中为虚数单位．

(1)求复数；

(2)若复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，求cos∠ABC．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，得到，进而得到为实数求解.

（2）化简得到复数所对应的点，进而得到向量 和的坐标，然后利用向量的夹角公式求解.

【详解】(1)解：因为，

所以，

则，

，

，

所以，

所以，

又，所以，

所以．

(2)，，

所以，，，

所以，，

．

18．已知向量，，．

(1)若时，求的值；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由求出，进行弦化切，代入求解；

（2）由求出，得到，利用和差角公式直接求解．

【详解】(1)（1）时，，

因为，

所以，，

．

(2)因为，所以，

所以，，所以，所以，

所以.

所以，

．

所以

．

19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

(1)求角A；

(2)若，判断的形状，并说明理由．

【答案】(1)

(2)以A为的直角三角形，理由见解析

【分析】（1）利用正弦定理，边化角，结合两角和的正弦公式，可求得，即得答案；

（2）利用利用正弦定理，边化角，结合两角和的正弦公式求得，讨论B的取值，可确定答案.

【详解】(1)因为，

由正弦定理得，

即，

即，

所以，

即，，，

所以，，

所以．

(2)因为，

由正弦定理得，

所以，即，

即，

所以，

，所以，

所以或，

所以或，

当时，；

当时，,

所以△ABC是以A为的直角三角形．

20．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，，E是线段PC上的一点，．

(1)试确定实数，使平面BED，并给出证明；

(2)当时，证明：PC⊥平面BED．

【答案】(1)，证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）作辅助线，连接AC，可证明当E为PC中点时，使平面BED，即得答案.

（2）证明平面PAC，即证明，再通过证明△PAC与△OEC相似，证明，根据线面垂直的判定定理，即可证明PC⊥平面BED．

【详解】(1)连接AC，且，

若平面BED，因为平面PAC，平面平面，

所以，又因为O为AC中点，

所以E为PC中点，即．

当时，E为PC中点，又因为O为AC中点，

所以，平面BED，平面BED，

所以平面BED．

(2)连接OE，

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，在菱形ABCD中，，

又因为，

所以平面PAC，平面PAC，

所以，

在直角三角形PCA中，，，，

所以，

因为，所以，所以，

又，所以，故△PAC与△OEC相似，

所以，

又因为，，OE，平面BED，

所以平面BED．

21．如图，某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC，AB＝AC＝2km．为迎接“五一”观光游，现对该地块进行改造，在边界BC上选择中点D，修建观赏小径，点E、F分别在边界AB、AC上（不含端点），且，在区域BDE和区域CDE内种植郁金香，区域AEDF内种植牡丹．设．

(1)当，求区域BDE的面积；

(2)求区域AEDF的面积的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理可求，利用公式可求面积.

（2）利用正弦定理可求，利用面积公式可求，利用换元法可求其范围.

【详解】(1)，在△BDE中，，，

由正弦定理得：，解得，

所以．

(2)由题意知，

在△BDE中，由正弦定理得：，所以，

在△CDF中，同理可得．

所以

，

设，则，

因为，故，故，

设，任意，

则有，

因为，故，

故即，

故在为减函数，同理在为增函数，

故当时，有，

所以．

22．在△ABC中，已知．

(1)若点D为AB的中点，，求；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)化简，得到，进而求出

(2)根据余弦定理，把，

整理得，进而根据等量代换和基本不等式进行求解即可.

【详解】(1)因为D为AB的中点，所以，

，

所以，，

所以．

(2)设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

因为，得，

则，

因为，且，所以，，即有，

，所以，，

当且仅当，时取“＝”，

所以，

所以实数的取值范围为．