2021-2022学年上海市曹杨中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市曹杨中学高一上学期期中数学试题

一、填空题

1．9的平方根是_____．

【答案】

【分析】根据平方根的定义确定结果.

【详解】设9的平方根为，则，所以，即9的平方根是.

故答案为：.

2．用有理数指数幂的形式表示：_____．

【答案】

【分析】根据分数指数幂的运算直接化简即可.

【详解】由分数指数幂的运算知：.

故答案为：.

3．已知集合，则__．

【答案】

【分析】利用交集的定义直接求解.

【详解】因为集合，

所以.

故答案为：

4．不等式的解集为__．

【答案】

【分析】转化为求解即可.

【详解】解：因为，解得，

所以，不等式的解集为

故答案为：

5．若关于的多项式方程恒成立，则实数__．

【答案】2

【分析】根据题意结合二次函数和一次函数分析运算.

【详解】∵，则恒为0，

当，即时，则二次函数不恒为0，不合题意，舍去；

当，即时，则恒为0，

①当，即时，则一次函数不恒为0，不合题意，舍去；

②当，即时，则，解得；

综上所述：.

故答案为：2.

6．已知，命题“若，则”是__命题.（填“真”或“假”）

【答案】假

【分析】用特殊值法验证即可得出该命题为假命题.

【详解】已知，当时，满足，但此时不满足，故命题“若，则”是假命题.

故答案为：假.

7．已知,若是的充分条件,则实数的取值范围为__．

【答案】

【分析】先解出条件所表示的不等式,再根据充分条件性质可得条件所表示的集合是条件所表示集合的子集,即可得出结果.

【详解】解:由题知,

若是的充分条件,

则,

故.

故答案为:

8．已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集为__．

【答案】

【分析】根据不等式解集得到且，代入得到，解得答案.

【详解】由题意得，所以，

故，即，，故解集为.

故答案为：

9．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为___．

【答案】

【分析】按和分类讨论，时结合二次函数性质求解．

【详解】当时，满足题意；当时，，解得，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

10．已知正数满足，若不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围为__．

【答案】

【分析】变换，展开利用均值不等式计算最值得到答案.

【详解】由题意得，

当且仅当，即，时取等号，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

11．已知，则的取值范围是_________.

【答案】

【解析】解法一：考虑到已知条件的形式，利用三角换元方法，使用辅助角公式化简后，根据三角函数的值域求得的取值范围;

解法二：利用拓展到实数范围内的基本不等式(时取等号)得到,进而求得的取值范围.

【详解】解法一：令，

则.

故答案为：.

解法二：,又，，

,当时,当时,

的取值范围是，

故答案为：.

【点睛】本题考查已知两数平方和为定值求这两数和的取值问题，有多种方法可以处理，可以采用三角换元法，也可以采用基本不等式（拓展的实数范围内的基本不等式）法.方法一中，已知时可做三角换元，方法二中，是在实数范围内恒成立的一个不等式，常用来研究平方和与和的关系.

12．已知关于的方程的两个根为、，且在区间内恰好有两个正整数，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】设，对称轴为，先通过大概确定的范围，进而可确定对称轴的位置，再通过可得实数的取值范围.

【详解】解：设，对称轴为，

由已知有：，则，

则y＝f（x）的对称轴方程为：∈，

由在区间上恰好有两个正整数，

则，解得：，

即实数a的取值范围是，

故答案为：.

二、单选题

13．下列式子的值为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据根式与分数指数幂之间的转化，逐一化简即可得到结果.

【详解】，，，，

故选:D.

14．如果，那么下列不等式中成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的性质和取特殊值即可得答案.

【详解】因为，故由不等式的性质得，故C选项正确；

对于A选项，当时满足，但不成立，故A选项错误；

对于B选项，由于，但，故B选项错误；

对于D选项，由于，但，故D选项错误.

故选：C.

15．下列不等式中等号可以取到的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.

【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；

对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；

对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；

对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.

故选：C.

16．已知一个有四个数字元素的集合，的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于，则的元素之和等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，列举出所有的子集，可知所有子集的元素和为，由此可求得的值.

【详解】设，则的所有子集为：，，，，，，，，，，，，，，，，共个；

则的所有子集的元素和的总和为，

的元素之和为.

故选：D.

三、解答题

17．设集合.

(1)若，求实数的取值范围；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）首先求集合，再根据，列式求实数的取值范围；

（2）根据，比较端点值，列式求实数的取值范围.

【详解】（1），得，所以，

若，则，所以，所以；

（2）若，则或，所以或.

18．设全集为，集合．

(1)用区间表示补集；

(2)若集合，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据不等式的解法先求出集合，再用区间表示，进而求出补集即可；

（2）先求出集合，再根据并集的运算法则即可求出．

【详解】（1）由，故，则；

（2）由，

结合上一问有，所以．

19．某玩具所需成本费用为元，且关于玩具数量（套）的关系为：，而每套售出的价格为元，其中．

（1）问：玩具厂生产多少套时，使得平均成本最少？

（2）若生产出的玩具能全部售出，且当产量为套时利润最大，此时每套价格为元，求、的值．（利润销售收入成本）．

【答案】（1）玩具厂生产套时，平均成本最少；（2），.

【分析】（1）建立函数的解析式，利用基本不等式可求得函数的最值；

（2）根据利润销售收入成本，求出利润函数，再利用当产量为套时利润最大，此时每套价格为元，结合二次函数的基本性质建立条件关系，即可求出、的值.

【详解】（1）由题意，每套玩具所需成本费用为，

当且仅当时，即当时，每套玩具所需成本费用最少为元；

（2）利润，

若生产的玩具能全部售出，且当产量为套时利润最大，此时每套价格为元，

则，解得，.

【点睛】本题考查利用函数模型解决实际问题，同时也考查了利用基本不等式和二次函数求最值，考查计算能力，属于中等题.

20．已知，是一元二次方程的两个实数根．

(1)若两根异号，求实数的取值范围；

(2)是否存在实数，成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

(3)求使的值为整数的实数的整数值．

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析

(3)的值为或或

【分析】（1）结合韦达定理，即可求解；

（2）利用反证法先假设存在实数，使得成立，根据一元二次方程有两个实数根可得，因此原假设不成立，故不存在；

（3）根据题意，可得能被整除，即可求出的值.

【详解】（1）由题意得，即，

所以实数的取值范围为.

（2）不存在，理由如下：

因为，是一元二次方程的两个实数根，

所以，所以，

由根与系数的关系得，，

所以，

解得，而，

故不存在实数使得成立．

（3）由根与系数的关系得，

因为的值为整数，而为整数，所以只能取、、，

又，所以整数的值为或或．

21．若对一个数集，若任取中的两个非零元素，他们加、减、乘、除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集为有理数域，实数集为实数域.

(1)判断整数集是否为数域，并说明理由；

(2)判断数集是否为数域，并说明理由；

(3)若为任意两个数域，判断是否为数域，并说明理由.

【答案】(1)不是，理由见解析；

(2)是，理由见解析；

(3) 是， 不是，理由见解析.

【分析】（1）分析Z中两个非零元素的加减乘除是否属于Z；

（2）在M中，任取两个非零元素，分析其加减乘除是否属于M；

（3）根据交集和并集的定义，先推理 ，再推理 .

【详解】（1）在Z中取1，2两个元素，则 ，所以不是；

（2）在M中取 ，并且 ，

则有 ，

，

，

所以M是数域；

（3）对于 ，若存在两个元素 ，并且 ，则 ，

由数域的定义可知 ，

， ，

所以 是数域；

对于 ，不妨假设 ，

在A中取 ，在B中 ， ，则 ，

，

所以 不是数域.

综上，（1）Z不是数域；（2    ）M是数域；（3） 是数域， 不是数域.