2021-2022学年江苏省无锡一中艺术班高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省无锡一中艺术班高一（下）期中数学试卷

一、单选题。（本大题共8小题，共40分）

1．（5分）复数的虚部是　　

A．1 B． C． D．

2．（5分）已知向量，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

3．（5分）在中，，，，则边长　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知正三角形的边长为2，那么的直观图△的面积为　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为　　

A． B． C． D．

6．（5分）对于复数，若满足，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

7．（5分）伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球、圆柱的体积比为　　

A． B． C． D．

8．（5分）《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，在直角梯形中，，，过点作交于点，以为折痕把折起，当几何体为阳马时，下列四个命题：

①；

②平面；

③与平面所成角的大小等于；

④与所成的角等于．

其中正确的是　　

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

二、多选题。（本大题共4小题，共20分）

9．（5分）在复平面内，下列说法正确的是　　

A． 

B． 

C．若，则 

D．若复数满足，则是虚数

10．（5分）设、表示不同直线，、表示不同平面，则下列结论中正确的是　　

A．若，，则 

B．若，，，，则 

C．、是两条异面直线，若，，，，则 

D．若，，，，则

11．（5分）已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有　　

A． 

B．若，则是等腰三角形 

C．若，则 

D．若是锐角三角形，则

12．（5分）如图，已知长方体中，四边形为正方形，，，，分别为，的中点．则　　

A． 

B．点、、、四点共面 

C．直线与平面所成角的正切值为 

D．三棱锥的体积为

三、填空题。（本大题共4小题，共20分）

13．（5分）已知，，点满足，则点的坐标是 　　．

14．（5分）在中，点是边上的动点，若，则　　．

15．（5分）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则　　．

16．（5分）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的取值范围是 　　．

四、解答题。（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，且，求的值．

18．（12分）在中，角、、所对的边分别为，，．已知的周长为，且．

（1）求边的长；

（2）若的面积为，求角的大小．

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，点是棱上的点（不与端点重合），平面与棱交于点．求证：

（1）平面；

（2）．

20．（12分）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的一动点．

（1）证明：是直角三角形；

（2）若，且当直线与平面所成角正切值为时，直线与平面所成角的正弦值．

21．（12分）如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，，是等腰三角形，．

（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？

（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？

22．（12分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足．

（1）求角的大小；

（2）求的最大值．

2021-2022学年江苏省无锡一中艺术班高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题。（本大题共8小题，共40分）

1．（5分）复数的虚部是　　

A．1 B． C． D．

【解答】解：根据复数的概念得，的虚部是，

故选：．

2．（5分）已知向量，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，，

则，错误；，故错误；

，，故错误；

，．

故，正确．

故选：．

3．（5分）在中，，，，则边长　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，，，

所以，

由正弦定理，可得，

解得边长．

故选：．

4．（5分）已知正三角形的边长为2，那么的直观图△的面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示，

直观图△的高为

，

底边长为；

所以△的面积为：

．

故选：．

5．（5分）已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，

因为侧面展开图是一个半圆，

所以，则，

因为圆锥的表面积等于，

所以，解得．

故选：．

6．（5分）对于复数，若满足，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：满足的复数对应的点的轨迹是圆，圆心对应的复数是，半径为2，

表示点到点的距离，又，

故的取值范围为．

故选：．

7．（5分）伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球、圆柱的体积比为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设圆柱底面半径为，则球的半径为，圆柱和圆锥的高均为，

，

，

，

．

故选：．

8．（5分）《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，在直角梯形中，，，过点作交于点，以为折痕把折起，当几何体为阳马时，下列四个命题：

①；

②平面；

③与平面所成角的大小等于；

④与所成的角等于．

其中正确的是　　

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

【解答】解：当几何体为阳马时，平面，

对于①，平面，所以，又，，

故平面，所以，故①正确；

对于②，因为，且不在平面内，平面，故平面，所以②正确；

对于③，由①知，平面，连，则是与平面所成的角，

因为，，所以，故③不正确；

对于④，因为，所以是与所成的角，因为，所以，故④不正确．

故选：．

二、多选题。（本大题共4小题，共20分）

9．（5分）在复平面内，下列说法正确的是　　

A． 

B． 

C．若，则 

D．若复数满足，则是虚数

【解答】解：对于，，故错误；

对于，，故正确；

对于，若，则由复数不能比较大小得错误，故错误；

对于，若复数满足，则由复数的性质得是虚数，故正确．

故选：．

10．（5分）设、表示不同直线，、表示不同平面，则下列结论中正确的是　　

A．若，，则 

B．若，，，，则 

C．、是两条异面直线，若，，，，则 

D．若，，，，则

【解答】解：对于：若，，则或，故错误，

对于：若，，，，当和为异面直线时，则，故错误；

对于、是两条异面直线，若，，，，则，故正确；

对于：若，，，，则，故正确；

故选：．

11．（5分）已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有　　

A． 

B．若，则是等腰三角形 

C．若，则 

D．若是锐角三角形，则

【解答】解：对于，故正确；

对于：若，则，整理得：或，即或，故为直角三角形和等腰三角形，故错误；

对于：若，即，利用正弦定理得：，故，故正确；

对于是锐角三角形，所以，整理得：，故，整理得：，故正确；

故选：．

12．（5分）如图，已知长方体中，四边形为正方形，，，，分别为，的中点．则　　

A． 

B．点、、、四点共面 

C．直线与平面所成角的正切值为 

D．三棱锥的体积为

【解答】解：对于，假设，由题意可知，平面，因为平面，

所以，又，，平面，所以平面，

由长方体的性质可知，与平面不垂直，故假设不等式，故选项错误；

对于，连结，，，由于，分别为，的中点，所以，

又在长方体中，，所以，

则点，，，四点共面，故选项正确；

对于，由题意可知，平面，所以即为与平面所成的角，

在中，，，

则，故选项正确；

对于，连结，，因为，

则

，

利用等体积法，故选项正确．

故选：．

三、填空题。（本大题共4小题，共20分）

13．（5分）已知，，点满足，则点的坐标是 　　．

【解答】解：设，，

，

，解得，

．

故答案为：．

14．（5分）在中，点是边上的动点，若，则　1　．

【解答】解：在中，点是边上的动点，

，，三点共线，

，

，

故答案为：1．

15．（5分）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则　　．

【解答】解：，

若复数在复平面内对应的点位于实轴上，

则，

解得：，

故答案为：

16．（5分）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的取值范围是 　　．

【解答】解：，，

，

又由余弦定理，可得，

，即，

，

，

，

为锐角三角形，

，

由正弦定理，可得，即，，

，

，

，

，

，

面积，

，

，

故面积的取值范围是．

故答案为：．

四、解答题。（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，且，求的值．

【解答】解法

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则，

，

；

，

，，

．

法

；

，所以，

而，但，

所以与重合，

所以．

18．（12分）在中，角、、所对的边分别为，，．已知的周长为，且．

（1）求边的长；

（2）若的面积为，求角的大小．

【解答】解：（1）由及正弦定理可知：（2分）

又

从而（4分）

（2）三角形面积（6分）

（8分）

（10分）

（12分）

又，

（14分）

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，点是棱上的点（不与端点重合），平面与棱交于点．求证：

（1）平面；

（2）．

【解答】证明：（1）由题意，底面是菱形，可得，

因为平面，且平面，

根据线面平行的判定定理，可得平面．

（2）由（1）知平面，

又由平面，且平面平面，

根据线面平行的性质定理，可得．

20．（12分）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的一动点．

（1）证明：是直角三角形；

（2）若，且当直线与平面所成角正切值为时，直线与平面所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：在圆上，，

平面，，

平面，平面，

，是直角三角形．

（2）解：如图，过作于，

平面，，

平面，则就是要求的角．（8分）

平面，是与平面所成角，（9分）

，又，．（10分）

在中，，（11分）

在中，，

故与平面所成角正弦值为．（12分）

21．（12分）如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，，是等腰三角形，．

（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？

（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？

【解答】解：（1）已知： （公里），在中，

由，

得（公里）．

于是，由于：，

快递小哥不能在50分钟内将快件送到处．

（2）在中，，

得（公里），

在中，，

由：，

得（公里），

由：（分钟）

知，汽车能先到达 处．

22．（12分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足．

（1）求角的大小；

（2）求的最大值．

【解答】解：（1）由．得，

，

由为三角形内角，可得：．

（2），

，，

当即时，取得最大值．

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