2023年上海市静安区高三二模数学试卷含答案

2023届静安区高三二模考试数学试卷

2023.04

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）

【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果。】

1. 若集合，且，则___________。

2. 已知{}是公比为q的等比数列，且、、成等差数列，则=___________。

3 若复数（i为虚数单位），则|z-i|=___________。

已知A（1，2），两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为___________。

5. 已知，且，则cosα=___________。

6. 已知△ABC中，，且，则△ABC面积的最大值为___________。

7.已知函数为偶函数，则函数f（x）的值域为___________。

8.已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于___________。

9.某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，以他们的皮下脂肪厚度来估计身体的脂肪含量，其中脂肪含量以占体重（单位：kg）的百分比表示。得到脂肪含量和体重的数据如下

建立男性体重与脂肪含量的回归方程为：___________。（结果中回归系数保留三位小数）

10.如图，正方体ABCD-中，E为AB的中点，F为正方形的中心，则直线EF与侧面所成角的正切值是___________。

11.今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎。标识质量为500g的这种袋装奶糖的质量指标X是服从正态分布N（500，）的随机变量。若质量指标介于495g（含）至505g（含）之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为_________%。（结果保留一位小数）

（已知表示标准正态分布的密度函数从-∞到x的累计面积）

12. 若，其中，则的最小值为___________。

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分。】

13.若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（　　）

A．   B．

C．   D．

14. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“Sky Ring”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮。摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野。游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，。若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为（　　）

A． 6   B． 12    C． 18     D． 24

15.设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　）

A．     B．

C．     D．

16. 函数（　　）

A． 严格增函数

B．在上是严格增函数，在上是严格减函数

C． 严格减函数

D． 在上是严格减函数，在上是严格增函数

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。】

17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分）

已知各项均为正数的数列{}满足（正整数

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列{}的前n项和。

18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若。

（1）求五面体ABCDEF的体积；

（2）若M为EC的中点，求证：平面平面AMD。

19.（本题满分16分，本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分8分）

已知双曲线Γ：（其中）的左、右焦点分别为（-c，0）、（c，0）（其中）。

（1）若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为；直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为-2。直线l与该双曲线Γ交于两点A、B，M为线段AB的中点，求△的面积；

（2）以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P。过P作圆的切线，若切线的斜率为，求双曲线Γ的离心率。

20.（本题满分16分，本题共有2个问题，问题（1）满分8分，问题（2）满分8分）

概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛。请解决下列两个问题。

（1）随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春天。某初中学校学生篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）。每次训练，都是从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放回原处。 设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求随机变量ξ的分布和期望。

（2）由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率？

研究者针对这个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听电话？如果是，是哪边？结果有88人喜欢用固定的一侧接电话。其中脑瘤部位在左侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯固定在右侧接听电话的有28人；脑瘤部位在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有

19人，习惯固定在右侧接听电话的有27人。

根据上述信息写出下面这张列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验。（显著性水平

参考公式及数据：，其中，

21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）

已知函数。（其中a为常数）

（1）若，求曲线在点（2，f（2））处的切线方程；

（2）当时，求函数的最小值；

（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由。

2023届静安区二模参考答案

2023.4

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）

1. {0，1，2}     2. 1     3.   4、     5、   6.3

7.（0，]     8.（，）    9、    10   

11.95.4或95.5都对      12、

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分）

13. C     14. B     15. A      16. D

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。】

17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分）

解：（1）证明：已知递推公式，两边同时加上3，得

，故

（直接将已知递推公式代入等比数列定义计算也可：

又，所以数列是以为首项、以2为公比的等比数列。

（2）数列通项公式为

18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）

解：证明（1）因为，取AD中点N，连接EN，因为，所以

又FA⊥平面ABCD，。

所以EN⊥平面ABCD，ABF-NCE为底面是等腰直角三角形的直棱柱，高等于1，三棱锥E-CDN是高等于1底面是等腰直角三角形。

五面体ABCDEF的体积=棱柱ABF-NCE的体积+棱锥E-CDN的体积。

即：

（2）以A为坐标原点，以，，为轴正半轴建立空间直角坐标系。

点C（1，1，0），D（0，2，0），E（0，1，1），M（，1，），所以

得到：

所以

所以CE⊥平面AMD

又CE平面CDE，

平面平面AMD

证法2：因为，所以△ACE为等腰三角形，M为EC的中点，所以；

同理在△NCE中，，（N为AD中点）

又AM、MN平面AMD，

所以CE⊥平面AMD

又CE平面CDE，

平面⊥平面AMD。

（说明：推导CE⊥平面AMD的路径不唯一）

19.（本题满分16分，本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分8分）

解：（1）双曲线Γ：渐近线方程为，已知一条渐近线方程为，所以，双曲线Γ经过点（2，1），所以，

解得

所以，双曲线Γ：

直线l的倾斜角为，则斜率为1，方程为：，代入双曲线方程得：

，设两点A、B坐标分别为（，）、（，），M（x，y），则

，△的面积

（2）圆方程：

方法1：设过P作圆的切线与x轴交于点Q，由PQ斜率为，可知直角三角形POQ中，，，从而点P的纵坐标等于c，

因为点P在圆上，所以代入计算得点P的横坐标等于c，点P又在双曲线Γ：上，将（c，c）代入得

离心率，所以，整理得，解得，所以双曲线Γ的离心率为。

方法2：将圆方程与椭圆方程联立，求得P（，），过点P的切线方程为，若该切线的斜率为，则，即代入整理得：-，解得，所以双曲线Γ的离心率为。

20.（本题满分16分，本题共有2个问题，问题（1）满分8分，问题（2）满分8分）

（1）解：第一次训练时所取的球是从6个球（3新，3旧）中不放回取出2个球，所以可判断出ξ服从超几何分布，可取的值为0，1，2

∴ξ的分布为：

∴

（2）

提出原假设：患脑瘤在左右侧的部位与习惯在该侧接听手机电话无关。

计算的值，

统计决断：由，而，小概率事件没有发生，故不能否定原假设.

因此，脑瘤病患在左右侧的部位与习惯在该侧接听手机电话无关，或者说，长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系

21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）

解：（1）当时，，

切线方程为：，即

所以曲线在点（2，f（2））处的切线方程为：

（2）的定义域为（0，+∞）。

令，解得

当时，f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下表：

此时，且当时，，当时，，所以当时，求函数的最小值是

（3） 当时，，由（舍），所以在（0，+∞）上有一个零点。

当时，f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：

f（x）在（0，a）上严格增，在（a，1）上严格减。

此时在（0，1）上没有零点；

，f（x）在（1，+∞）上严格增且当，例如

等等），所以在（0，+∞）上只有一个零点。

综上讨论，当时，f（x）在（0，+∞）上有一个零点。