2023年上海市松江区高三二模数学试卷含答案

松江区2022学年度第二学期模拟考质量监控试卷

高三数学

（满分150分，完卷时间120分钟）                  2023.4

考生注意：

1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试卷与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。

3．答题纸与试卷在试卷编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1．已知集合，，则　▲　．

2．若复数满足，则　▲　．

3．已知空间向量，，，若，则　▲　．

4．已知随机变量服从正态分布,若,则　▲　．

5．已知，且，则　▲　．

6．在二项式的展开式中，含的项的系数是　▲　．（结果用数字作答）

7．将右图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为的直立的圆柱形容器内，则液面高度为　▲　．

8．从4名男生和3名女生中抽取两人加入志愿者服务队。用表示事件“抽到的两名学生性别相同”，用表示事件“抽到的两名学生都是女生”，则　▲　．（结果用最简分数表示）  

9．参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为　▲　升．

10．已知，则的最小值为　▲　．

11．已知函数为上的奇函数，且，当时，，则　▲　．

12．已知点、是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为　▲　．

二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分．

13．已知直线与直线，则“∥”是“”的（    ）

 A．充分非必要条件      B．必要非充分条件

C．充要条件        D．既非充分又非必要条件

14．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

根据上表可得回归直线方程 ，其中， ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为(     )

A．11.4万元       B．11.8万元        C．12.0万元         D．12.2万元

15．若方程的解集为，则以下结论一定正确的是（     ）

①    ②

③    ④

A．①④          B．②④         C．③④       D．①③④

16．已知函数，在区间上有最大值，则实数的取值范围是（     ）

A．     B．     C．    D．

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

在锐角中，内角、、所对边分别为、、，且．

（1）求角；

（2）求的最大值．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是与的交点，，，平面，，是的中点．

（1）证明：∥平面；

（2）求直线与平面所成角的大小．

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车.根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：

（1）如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？

（2）车企推出两种付款方式：

全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的；

分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的.

①某位顾客现有万元现金，欲购买价值万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为），到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品.问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到）

②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到）

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，. 过点作不垂直于轴的直线交曲线于点、，点为线段的中点，直线交曲线于、两点.

(1)求、的方程；

(2)若，求直线的方程；

(3)求四边形面积的最小值.

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

已知，记，，.

（1）试将、、中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；

（2）借助（1）的结果，求函数的导函数和最小值；

（3）记，是实常数，函数的导函数是．

已知函数有三个不相同的零点、、．求证：.

松江区2022学年度第二学期模拟考质量监控试卷

参考答案

一、填空题

1．； 2． ；3． ； 4． ；5． ； 6． ；7．  8．；9． ；10．；11．；12．  

二、选择题

13．B   14．B  15．C  16．B

三.解答题

17．解：（1）由结合正弦定理可得：,……2分

因为△ABC为锐角三角形，所以                              ……4分

故.                                                          ……6分

（2）结合(1)的结论有：

                       ……8分

              ……9分

（或者）                        ……11分

由可得：，

当时，，                                  ……13分

即的最大值是.                               ……14分

18．解：（1）证明：连接，在平行四边形中，因为为与的交点，所以为的中点，  

又为的中点，所以.    ……2分

因为直线不在平面，直线在平面上，

所以直线平面.                ……6分

（2）解：取中点，连接，，

因为为的中点，所以 ，且,                     

平面，得平面，

所以是直线与平面所成的角.               ……10分

在中，，所以，从而，

在，                       

所以直线与平面所成角大小为               ……14分

（也可为）.            

解法二：可以为原点建立空间直角坐标系完成.

19．解：（1）销售一辆车的价格的数学期望为：

（万）（亿）

所以，今年新能源车的销售额预计约为亿元.                          ……6分

（2）①全款购车两年后资产总额为： （万元）  ……8分

分期付款购车两年后资产总额为：

                  （万元）  ……11分

因为，所以顾客选择全款购车方式收益更多.           ……12分

②由①得：

所以                                                   

所以，这一措施对购买A、B、C车型有效.                      ……2分

20. （1）解：由题意可得：

，，

所以，

得：                   ……3分

所以，椭圆的方程为，双曲线的方程为.      ……4分

（2）解：由（1）可知，因为直线不垂直于轴，设直线的方程为，

设点、，则，

由得：，即：              

联立可得，，

由韦达定理可得，，         ……6分

将代入得： ，化简得： ，  ……8分

当时，弦中点，则直线的方程为；

当时，弦中点，则直线的方程为     ……10分

（3）解：设中点由（2）可得，

则，，所以，点，

，直线的方程为，

联立可得，所以，，

不妨取点、，         ……13分

所以点到直线的距离为，

点到直线的距离为，

则，                                   ……15分

所以，四边形的面积为

，                                             ……17分

故当时，四边形的面积取最小值.                      ……18分

21. 解：（1）．     ……4分

（2）利用复合函数的求导法则可求得，    ……6分

令=0，可求得：

当时，函数的最小值为．                    ……10分

（3）=

由，

可得函数在上单调递减，在上单调递增.            ……11分

因为函数有三个不相同的零点、、．

而的零点为1，不妨设=1，则的零点为、．

不妨设，则，.．          ……12分

令，

则.

令，则，

所以当时，，所以当时，是严格增的，

所以当时，，所以当时，，

则在上单调递增，                             ……15分

所以在上<，所以<0．

又，所以，即.         ……17分

又函数在上单调递增，所以，即.

综上，.                                                     ……18分