数学九年级下册27.2.2 平行线截三角形相似定理 同步练习

这是一份数学九年级下册27.2.2 平行线截三角形相似定理 同步练习，共13页。
27.2.2 平行线截三角形相似定理基础训练知识点1 平行线截三角形相似定理1.如图,E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交边CD于点F.在不添加辅助线的情况下,请写出图中一对相似三角形:　　　　　　　　　. 2.如图,在▱ABCD中,F是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出所有与△BEF相似的三角形:　　　　　　　　　　　.3.如图,在△ABC中,EF∥BC,DG∥AB,EF和DG相交于点H,则图中与△ABC相似的三角形共有(　　)A.1个   B.2个  C.3个 D.4个4.如图,AB∥CD,AE∥FD,AE,FD分别交BC于点G,H,则图中共有相似三角形(　　)A.4对   B.5对  C.6对  D.7对 5.如图,G是平行四边形ABCD的边CD延长线上一点,BG交AC于E,交AD于F,则图中与△FGD相似的三角形有(　　)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个知识点2 平行线截三角形相似定理的应用6.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,若DE∥BC,DE=2,BC=3,则=　　　　.7.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,EF∥AB.若AD=2BD,则的值为(　　)A.   B.  C.  D.8.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若AD=1,BC=3,则的值为(　　)A.    B.    C.    D.9.如图,在▱ABCD中,点E是边AD上一点,EC交对角线BD于点F,若EF∶FC=4∶7,则AE∶ED等于(　　)A.4∶7 B.4∶3 C.3∶7 D.3∶410.如图,在▱ABCD中,G是BC延长线上一点,连接AG交BD于点E,交CD于点F.则图中相似三角形的对数为(　　)A.3 B.4 C.5 D.611.在△ABC中,∠A=65°,∠B=45°,D,E分别是AB,AC边上的点,连接DE,使得△ADE与△ABC相似,求∠ADE的度数. 提升训练考查角度1 利用平行线截三角形相似找相似三角形12.如图,在▱ABCD中,过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F,过点E作EG∥BC,交AB于点G,找出图中的所有相似三角形. 考查角度2 利用相似三角形的性质求线段的比13.如图,DE∥BC,且DB=AE,若AB=5,AC=10.(1)求AE的长;(2)求的值. 14.如图,在▱ABCD中,M,N为对角线BD的三等分点,连接AM并延长交BC于点E,连接EN并延长交AD于点F.(1)证明△AMD∽△EMB;(2)求的值.  考查角度3 利用相似三角形的性质证比例式15.如图,DE∥BC分别交AB,AC于D,E.(1)写出图中的相似三角形;(2)求证:=.  考查角度4 利用成比例线段证线段相等16.如图,已知△ABC中,DE∥BC,BE与CD交于点O,连接AO并延长交BC于点M.求证:BM=MC.探究培优 拔尖角度1 利用相似三角形解与四边形综合应用问题(转化思想)17.如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于点E,交BA的延长线于点F.(1)求证:∠DCP=∠DAP;(2)若AB=2,DP∶PB=1∶2,且PA⊥BF,求对角线BD的长.  拔尖角度2 利用比例线段证倍数关系(构造法)18.如图,在△ABC中,点D为BC边的中点,延长AD至点E,延长AB交CE的延长线于点P.若AD=2DE,求证:AP=3AB.(至少用三种方法作辅助线) 拔尖角度3 利用平行线判定两三角形相似解与反比例函数的综合问题(数形结合思想)19.如图,已知直线y=ax+b与双曲线y=(x>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(A与B不重合),直线AB与x轴交于点P(x0,0),与y轴交于点C.(1)若A,B两点坐标分别为(1,3),(3,y2),求点P的坐标;(2)若b=y1+1,点P的坐标为(6,0),且AB=BP,求A,B两点的坐标;(3)结合(1)(2)中的结果,猜想并用等式表示x1,x2,x0之间的关系(不要求证明).  参考答案1.【答案】△AFD∽△EFC(或△EFC∽△EAB或△EAB∽△AFD)2.【答案】△CDF,△ABP,△AED3.【答案】C　4.【答案】C　5.【答案】C　6.【答案】　7.【答案】A　8.【答案】B　9.【答案】D10.【答案】D易错总结:本题容易出现错误的地方有两点:(1)忽略了三角形相似的传递性,因而漏掉了△AFD∽△GAB;(2)不理解三角形全等是三角形相似的特殊情况,因而漏掉了△ABD∽△CDB.11.错解:如图①,△ADE∽△ABC,则∠ADE=∠B=45°.诊断:解决几何图形相似问题时,如果题中没有给出图形,那么往往要分情况讨论,此题错在考虑不周导致漏解.正解:如图①,当∠ADE对应∠B时,∠ADE=∠B=45°.如图②,当∠ADE对应∠C时,∠ADE=∠C=180°-(∠A+∠B)=70°.综上可知,∠ADE=45°或70°.12.解:∵GE∥BC,∴△AGE∽△ABC.∵GE∥AF,∴△BGE∽△BAF.∵AF∥BC,∴△AEF∽△CEB;又∵△ABC≌△CDA,∴△ABC∽△CDA,△AGE∽△CDA.∴图中相似的三角形有5对.13.解:(1)∵DE∥BC,∴=.设BD=AE=x,则AD=AB-BD=5-x,∴=.∴x=,即AE=.(2)∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴==.14.(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BE.∴△AMD∽△EMB.(2)解:∵AD∥BC,∴△FND∽△ENB.∴=.∵M,N为BD的三等分点,∴=.15.(1)解:△ADE∽△ABC,△OBC∽△OED.(2)证明:∵△ADE∽△ABC,∴=.∵△OBC∽△OED,∴=.∴=.16.证明:延长AM,过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F,连接CF.∵DE∥BC,BF∥CD,∴==.∴CF∥BE.∴四边形OBFC为平行四边形.∴BM=MC.17.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CD=AD,∠CDP=∠ADP,又∵DP=DP,∴△CDP≌△ADP.∴∠DCP=∠DAP.(2)解:∵四边形ABCD是菱形,∴CD∥BA,CD=BA.∴△CDP∽△FBP,∴===,∴CD=FB,CP=FP,∴A为BF的中点.又∵PA⊥BF,∴PB=PF.由(1)可知PA=CP,∴PA=PB.在Rt△PAB中,PB2=AB2+PA2=22+,解得PB=,∴PD=.∴BD=PD+PB=2.方法总结:利用转化思想解关于相似三角形的综合题的方法:当图中存在相似三角形但利用相似三角形不能得到所需要的结果时,要看能否利用题目中的其他条件进行线段的转化或比的转化.通过转化很可能在已知与结论之间出现一座新的桥梁.18.思路导引:本题方法较多,可以过点B(或C,D,A)添加平行线,来构造相似三角形,通过对应线段成比例来得出结论.证明:过点B作BF∥AE交PC于点F,如图①.∵BF∥DE,点D为BC的中点,∴DE为△BFC的中位线,∴BF=2DE.∵AD=2DE,∴AD=AE,∴BF=AD=AE.∵BF∥AE,∴△PBF∽△PAE,∴==,∴PB=PA.∴AP=3AB.方法总结:此题的证明方法很多,我们可以结合下面提供的辅助线,找出证明方法.方法二:作BG∥PC交AE于点G,如图②;方法三:作DH∥AB交PC于点H,如图③;方法四:作DQ∥PC交AP于点Q,如图④;方法五:作CS∥AB交AE的延长线于点S,如图⑤;方法六:作CT∥AD交BA的延长线于点T,如图⑥;方法七:作AK∥PC交CB的延长线于点K,如图⑦;方法八:作AL∥BC交PC的延长线于点L,如图⑧.19.解:(1)把A(1,3)代入y=,得k=3,把B(3,y2)代入y=,得y2=1,∴B(3,1).把A(1,3),B(3,1)分别代入y=ax+b,得解得∴yAB=-x+4.令yAB=0,得x=4,∴P(4,0).(2)∵AB=PB,∴B是AP的中点,由中点坐标公式知:x2=,y2=,∵A,B两点都在双曲线上,∴x1y1=·,解得x1=2,∴x2=4.作AD⊥x轴于点D,则△PAD∽△PCO,∴=,即=,又b=y1+1,∴y1=2,∴y2=1.∴A(2,2),B(4,1).(3)x1+x2=x0.点拨:(3)∵A(x1,y1),B(x2,y2),∴解得∴y=x-.令y=0,得x=,∵x1y1=x2y2,∴x===x1+x2,即x1+x2=x0.