人教版27.2.1 相似三角形的判定优秀第3课时课后练习题

这是一份人教版27.2.1 相似三角形的判定优秀第3课时课后练习题，共22页。试卷主要包含了 证明等内容，欢迎下载使用。

27.2.1相似三角形的判定（第3课时）


自主预习


1．在△ABC中，BC=15cm，CA=24cm，AB=36cm，另一个与之相似的三角形最长边为12cm，则最短边为 .


2．在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，若要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE= 。


3. 有两角分别 的两个三角形相似．如图，已知△ABC和△DEF中，∠A＝ ，∠B＝ ，则△ABC∽△DEF.





3题图 4题图


4．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是 .


5．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形 ．(用相似符号连接)





5题图 6题图 7题图


6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则与△ABC相似的三角形有：


. (用相似符号连接)


7．已知如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D. 求证：△ABC∽△AED.














互动训练


知识点一：有两角对应相等的三角形相似


1．如图，E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，连接AE交CD于F，则图中共有相似三角形( )


A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对





1题图 2题图


2．如图，在矩形ABCD中,E、F分别是CD、BC上的点,若∠AEF=90°，则一定有（ ）


A. △ADE∽△AEF B. △ECF∽△AEF


C. △ADE∽△ECF D. △AEF∽△ABF


3．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B.那么下列判断中，错误的是( )


A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD


C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB





3题图 4题图 6题图


4．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为( )


A．2 B．4 C．6 D．8


5．在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′=85°，∠B=50°，∠C′=45°，则这两个三角形


(填“相似”或“不相似”)，根据是 ．


6．如图，若∠B=∠DAC，则△ABC∽ ,对应边的比例式是 .


7．如图，点B、D、C、F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.





7题图








8．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D. 求证：△ABF∽△BEC.





8题图








9．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.


(1)求证：△APQ∽△CDQ；


(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?





9题图











知识点二：有斜边、直角边对应成比例的两个直角三角形相似


10．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）


A．1条B．2条C．3条D．4条





10题图 11题图 12题图


11．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，


AD︰AB=3︰1，则点C的坐标是（ ）


A．（2，7）B．（3，7）C．（3，8）D．（4，8）


12．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是


A．B．C．D．


13．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝ 时，△ABC∽△A′B′C′.


14．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm和15 cm，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm和eq \f(45,4) cm，这两个直角三角形 (填“是”或“不是”)相似三角形．


15．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 (填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．





16．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：．





16题图


17．如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？





17题图





18.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，CD＝8，BD＝10，一动点P从点B向右D运动，问当点P离点B多远时，△PAB与△PCD是相似三角形？





18题图














知识点三：相似三角形判定的综合应用


19．下列图形不一定相似的是（ ）


A.有一个角是120°的两个等腰三角形 B.有一个角是60°的两个等腰三角形


C.两个等腰直角三角形 D.有一个角是45°的两个等腰三角形


20. 下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）


A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC


C．AB2=AD•AC D．





20题图 21题图 22题图


21. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE=∠B．那么下列各判断中，错误的是（ ）


A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD


C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB


22．如图，在平面直角坐标系中，已知A(-3,-2)，B(0,-2)，C(-3,0)，M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y=kx+b上，则b的最大值是（ ）


A．B．C．-1D．0





23．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD．





23题图


24．如图，在△ABC中，AD、BF分别是BC、AC边上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H，求证：DE2＝EG·EH.





24题图


课时达标


1.如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，连结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（ ）


A．如果EF∥AB，那么AF︰AC＝BD︰AB


B．如果AD︰AB＝CF︰AC，那么EF∥AB


C．如果△EFC∽△ABC，那么 EF∥AB


D．如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE





1题图 2题图 3题图





2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、AB上的点，下列条件中，不能使△ADE与△ABC相似的是（ ）


A． B． C． D．


3．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（ ）


A．B．C．D．


4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（ ）


A．（﹣）B．（﹣）C．（﹣）D．（﹣）





4题图 5题图


5．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )


A．B．C．1D．


6.如图，△ABC的高AD、BE交于点F，求证：=．





6题图


7.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，CE⊥CD，且＝，＝．


求证：△ACD∽△ECF．





7题图


8.如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．


（1）求证：△BEF∽△CDF；


（2）求CF的长．





8题图


9.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞0）．P为边BC上一动点（不与B，C重合）过P点作PE⊥AP交直线CD于E．


（1）求证：△ABP∽△PCE；


（2）当P为BC中点时，E恰好为CD的中点，求m的值．





9题图





10．如图．在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．EF与CD交于点G．


（1）求证：BD∥EF ．


（2）若，BE=4，求EC的长．





10题图








11．（2020·四川凉山）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．





11题图


拓展探究


1．如图①，在钝角△ABC中，∠ABC=30°，AC=4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转度（）．





（1）如图②，当时，连接AD、CE．求证：△BDA ∽△BEC；


（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；


























2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O在AB上，以O为圆心，以OA长为半径的圆分别与AC，AB交于点D，E，直线BD与⊙O相切于点 D．


（1）求证：∠CBD＝∠A；


（2）若AC＝6，AD：BC＝1：．


①求线段BD的长； ②求⊙O的面积．





2题图




















27.2.1相似三角形的判定（第3课时）


自主预习


1. 5cm. 2. AE= 3. ∠D, ∠E. 4. △BHK.


5. 答案不唯一，如△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE等


6. △ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC.


7. 证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，


即∠BAC＝∠EAD. 又∵∠C＝∠D，∴△ABC∽△AED.


互动训练


1. C. 2. C. 3. D. 4. B.


5．相似；如果两个角对应相等，那么这两个三角形相似


6. △DAC,


7. 证明：∵AB∥EF，AC∥DE，


∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF.


∴△ABC∽△EFD.


8.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC.


∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.


又∵∠AFB＋∠AFE＝180°，且∠AFE＝∠D，


∴∠C＝∠AFB.


又∵∠ABF＝∠BEC，∴△ABF∽△BEC.


9. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.


∴ △APQ∽△CDQ.


(2)当DP⊥AC时，∠QCD＋∠QDC＝90°.


∵∠ADQ＋∠QDC＝90°，∴∠DCA＝∠ADP.


又∵∠ADC＝∠DAP＝90°，


∴ △ADC∽△PAD.


∴eq \f(AD,PA)＝eq \f(DC,AD).∴eq \f(10,PA)＝eq \f(20,10)，解得PA＝5.


∴t＝5.


10．C. 解析：过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．∵截得的三角形与△ABC相似，


∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意


∴过点M作直线l共有三条．


故选C．





10题图 11题图 12题图


11．A. 解析：过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°，


∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，


∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO，


∴，


∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，


∴OA=3，CD：AD=，∴CE=OD=2，DE=OA=1，


∴OE=7，∴C（2，7），故选A．


12．C. 解析：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．


∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，


∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，


∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形，


∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，


∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，


∴MN=a，∴FM=a，


∵AE∥FM，∴，故选C．


13. 10. 14. 是. 15. 不一定.


16．证明：∵AD、BE分别是BC、AC上的高，∴∠D=∠E=90°


又∵∠ACD=∠BCE（对顶角相等） ，


∴△ADC∽△BEC ，∴．


17．解：在Rt△ABC中，BC3．


∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∴分两种情况讨论：


①当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，解得：BD；


②当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，解得：BD．


综上所述：当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似．


18. 解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，


∴当或＝时，△PAB与△PCD是相似三角形，


∵AB＝3，CD＝8，BD＝10，


∴＝或＝，


∴BP＝6或4或，


即PB＝6或4或，时，△PAB与△PCD是相似三角形．


19. D.


20. D. 解析：A.∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；


B.∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；


C.∵AB2=AD•AC，∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；


D.不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选D．


21. D. 解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，


∴∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，


∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，


又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；


∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；


∵∠B=∠ADE，但是∠BCD<∠AED，且∠BCD≠∠A，


∴△ADE与△DCB不相似；


正确的判断是A、B、C，错误的判断是D；


故选D．


22. A.解析：连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A=∠ABO=90°





又，，，


，，


设．则，


，即：


当时，


直线与轴交于


当最大，此时最小，点越往上，的值最大，


，


此时， ， 的最大值为．故选A．


23．由题意知：∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，


∴△ABP∽△CDP，


∴=，得：=，解得：CD=8．


答：该古城墙CD的高度为8米．


24. 证明：∵AD、BF分别是BC、AC边上的高，


∴∠ADB＝∠BED＝90°.


∴∠EBD＋∠EDB＝∠EDB＋∠ADE.


∴∠EBD＝∠EDA. ∴△AED∽△DEB.


∴eq \f(AE,DE)＝eq \f(DE,BE)，即DE2＝AE·BE.


又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF，∴∠EBG＝∠H.


∵∠BEG＝∠HEA＝90°，∴△BEG∽△HEA.


∴eq \f(EG,AE)＝eq \f(BE,EH)，即EG·EH＝AE·BE. ∴DE2＝EG·EH.


课时达标


1. C. 解析：如图所示：


A. ∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，△BDE∽△BAC，


∴DE＝AF，＝，∴AF︰AC＝BD︰AB；选项A不符合题意；


B. ∵DE∥AC，∴AD︰AB＝CE︰BC，∵AD︰AB＝CF︰AC，∴CE︰BC＝CF︰AC，


∴EF∥AB，选项B不符合题意；


C. ∵△EFC∽△ABC，∴∠CFE＝∠CBA，∴EF与AB不平行，选项C符合题意；


D. ∵DE∥AC，EF∥AB，∴∠C＝∠BED，∠CEF＝∠B，


∴△EFC∽△BDE，选项D不符合题意；


故选：C．


2．A. 解：若,不满足三角形相似的判定方法,不一定相似,∴A是假命题;


若,则DE∥BC，∴△ADE∽ △ACB ∴B正确;


若又∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACB, ∴C正确;


若∠ADE=∠B,又∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC, ∴D正确;


所以选A.


3．A.解析：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴，


设ED=k，则AE=2k，BC=3k，∴==，故选A．


4. A. 解析：过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，





由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，∠1=∠2=∠3，则△A1OM∽△OC1N，


∵OA=5，OC=3，∴OA1=5，A1M=3，∴OM=4，


∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，则（3x）2+（4x）2=9，


解得：x=±（负数舍去），则NO=，NC1=，


故点C的对应点C1的坐标为：（-，）．


故选A．


5．C. 解析：作MH⊥AC于H，如图，





∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH=45°，


∴△AMH为等腰直角三角形，


∴AH=MH=AM=×2=，


∵CM平分∠ACB，∴BM=MH=，∴AB=2+，


∴AC=AB=（2+）=2+2，


∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，


∵BD⊥AC，∴ON∥MH，∴△CON∽△CHM，


∴，即，∴ON=1．


故选C．


6.证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，∴∠EBC+∠C=∠DAC+∠C=90°，


∴∠EBC=∠DAC，即∠FBD=∠FAE，


而∠AEF=∠BDF，∴△AEF∽△BDF，∴=．


7.证明：∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACB＝∠ECD，


又∵＝＝，∴△ACB∽△ECD，∴∠A＝∠E，


∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠ECD﹣∠BCD，


即∠ACD＝∠ECF，∴△ACD∽△ECF．


8. （1）证明：∵∠EFG＝∠DFG，∴∠EFB＝∠DFC，


又∵∠B＝∠C，∴△BEF∽△CDF；


（2）解：∵△BEF∽△CDF，∴＝，


设FC＝xcm，则＝，解得：x＝160，


答：CF的长为160cm．


9. 解：（1）∵矩形ABCD中，∠B＝90°，PE⊥AP，


∴∠BAP+∠APB＝90°，∠CPE+∠APB＝90°，∴∠BAP＝∠CPE，


又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABP∽△PCE；


（2）当P为BC中点时，E恰好为CD的中点时，BP＝CP＝m，CE＝2，


∵△ABP∽△PCE，∴，∴，


解得：m1＝4，m2＝﹣4（舍去），∴m的值为4；


10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．


∵DF=BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD∥EF；


（2）∵四边形BEFD是平行四边形，∴DF=BE=4．


∵DF∥EC，∴△DFG∽CEG，∴，∴CE===6．


11．解：设正方形的边长为x mm，则AI＝AD﹣x＝80﹣x，


∵EFHG是正方形，∴EF∥GH，∴△AEF∽△ABC，


∴, 即，解得x＝48 mm，


∴这个正方形零件的边长是48mm．


拓展探究


1.解：（1）如图②中，


由图①，∵点为边中点，点为边中点，∴，


∴，∴，


∵，∴，


∴.





（2）的大小不发生变化，.


理由：如图③中，设交于点．


∵，∴，


∵，，，


∴.





2.解：（1）证明：连接OD，





∵直线BD与⊙O相切于点D，∴∠BDO＝90°，∴∠BDC+∠ODA＝90°，


∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠BDC＝90°，


∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，


∴∠BDC+∠OAD＝90°，∴∠CBD＝∠A；


（2）①∵∠C＝∠C，∠CBD＝∠A，∴△ACB∽△BCD，∴＝，


∵AC＝6，AD：BC＝1：．∴设AD＝x，BC＝x，


∴＝，解得：x＝3．


∴BC＝3，CD＝AC﹣AD＝3


根据勾股定理得，BD＝3；


②由①可知BC＝3．又∵∠C＝90°，AC＝6，


∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝3，


设OA＝OD＝r，则OB＝3﹣r，


∴在Rt△OBD中，由勾股定理得：r2+＝，


解得：r＝，∴⊙O的面积为：π×＝．