初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理测试题

【人教版八年级数学(下)周周测】

第 5周测试卷

(测试范围：17.2勾股定理的逆定理)

班级：___________   姓名：___________  得分：___________

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(     )

A.4，5，6   B.2，3，4    C.，3，4   D.1，，3

2.适合下列条件的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，直角三角形的个数为(     )

①②，∠A＝45°；③∠A＝320，∠B＝58°；④⑤

A.2个         B.3个        C.4个        D.5个

3.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是(     )

A.42         B.52         C.7          D.52或7

4.在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则(     )

A.∠A＝90°  B.∠B＝90°     C.∠C＝90°     D.∠A＝∠B

5.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，则它的形状为(     )

A.直角三角形       B.等腰三角形   

C.等腰直角三角形    D.等腰三角形或直角三角形

6.下列各组数是勾股数的是(     )

A.2，3，4  B.4，5，6  C.3.6，4.8，6 D.9，40，41

7.三角形三边长分别为8，15，17，则最短边上的高为(     )

A.8             B.15          C.16         D.17

8.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a﹣6)2＋＝0，则三角形的形状是(     )

A.底与腰不相等的等腰三角形     B.等边三角形

C.钝角三角形        D.直角三角形

9.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达A，乙客轮用20min到达B.若A、B两处的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是(     )

A.北偏西30°  B.南偏西30°  C.南偏东60°  D.南偏西30°

10.一块木板如图，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，则木板的面积为(     )

A.60   B.30   C.24   D.12

第8题图

二、填空题(每小题3分，共30分)

11.用长度相同的火柴棒首尾相连摆直角三角形，你认为至少要用       根才能摆成.

12.在△ABC中，若三边长分别为9、12、15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为_______.

13.如果三角形的三边长a，b，c满足________，那么这个三角形是直角三角形.

14.命题：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，其逆命题是：_________

______________________________________________________________________________.

15.将勾股数3，4，5扩大到原来的2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出另外两组基本勾股数：________________，_________________.

16.如图，一棵大树折断后倒在地上，根据图中数据计算大树没折断时的高度是      m.

第16题图         第17题图       第18题图            第19题图

17.如图，小明散步从A到B走了41米，从B到C走了40米，从C到A走了9米，则∠A＋∠B＝________.

18.如图，在四边形ABCD中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，AD＝12cm，DC＝13cm，∠B＝90°，则四边形ABCD的面积为       .

19.如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成         个直角三角形.

20.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，则旗杆的高度OM＝________米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN＝________米.

第20题图

三、解答题(共40分)

21.(10分)若△的三边满足，试判断△的形状.

22.(10分)三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路直达AC，已知公路的造价为26000元/ km，求修这条公路的最低造价是多少?

23.(10分)有一块薄铁皮ABCD，∠B＝90°，各边的尺寸如图所示，若对角线AC剪开，得到的两块都是“直角三角形”形状吗？为什么？

24.(10分)如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.

(1)求DC和AB的长；

(2)证明：∠ACB＝90°.

参考答案

1. C
2. A

3.D

【解析】此题要考虑两种情况：x是斜边或4是斜边.根据勾股定理，即“两条直角边的平方等于斜边的平方”进行求解.

当x是斜边时，则x2＝9＋16＝25；

当4是斜边时，则x2＝16－9＝7

故选D

4.A

【解析】根据题目提供的三角形的三边长，计算它们的平方，满足a2＋b2＝c2，哪一个是斜边，其所对的角就是直角.

解：∵AB2＝()2＝2，BC2＝()2＝5，AC2＝()2＝3，

∴AB2＋AC2＝BC2，

∴BC边是斜边，

∴∠A＝90°.

故选A.

5.D.

【解析】因为a，b，c为三角形三边，根据(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，可找到这三边的数量关系.∵(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2.当只有a＝b成立时，是等腰三角形.当只有第二个条件成立时：是直角三角形.当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形.故正确的选项是D.

6.D

【解析】利用勾股数的定义进行判断.A选项，42≠22＋32，故2，3，4不是勾股数；B选项，62≠42＋52，故4，5，6不是勾股数；C选项，3.6，4.8不是正整数，故不是勾股数；D选项，三数均为正整数，且412＝92＋402，故9，40，41是勾股数.故选D.

7.B.

【解析】∵三角形的三边长分别为8，15，17，符合勾股定理的逆定理152＋82＝172，

∴此三角形为直角三角形，则8为直角三角形的最短边，并且是直角边，

那么这个三角形的最短边上的高为15.

故选B.

8.D

【解析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形.

解：∵(a﹣6)2≥0，≥0，|c﹣10|≥0，

又∵(a﹣b)2＋＝0，

∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0，

解得：a＝6，b＝8，c＝10，

∵62＋82＝36＋64＝100＝102，

∴是直角三角形.

故选D.

9.C

【解析】甲的路程：40×15＝600米，

乙的路程：20×40＝800米，

∵6002＋8002＝10002，

∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，

∵甲客轮沿着北偏东30°，

∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°，

故选：C.

10.C

【解析】连接AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52，AC＝5.在△ADC中，AC2＋DC2＝52＋122＝132＝AD2，则△ADC是直角三角形，所以木板的面积.

11.12.

【解析】直角三角形的三边长为3，4，5时，三角形的周长最小，3＋4＋5＝12，故答案为：12.

12.108

【解析】∵在△ABC中，三条边的长度分别为9、12、15，92＋122＝152，

∴△ABC是直角三角形，

∴用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是2××9×12＝108

13.a2＋b2＝c2

【解析】根据勾股定理的逆定理求得

14.如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形.

【解析】直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，其逆命题是：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形.

故答案为：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形.

15.5，12，13；7，24，25

【解析】答案不唯一，只要满足题意即可.

16.18

【解析】在Rt△ABC中，由AB＝5，BC＝12，根据勾股定理可得AC＝＝＝13m，即折断树的高度为13m；因此可得大树的高度＝13＋5＝18m. 

17.90°

【解析】∵AC2＋BC2＝92＋402＝1681，而AB2＝412＝1681，△ABC为直角三角形∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°

18.36cm2

【解析】连接AC，先根据直角三角形的性质得到AC边的长度，再根据三角形ACD中的三边关系可判定△ACD是Rt△，把四边形分成两个直角三角形即可求得面积.     

解：连接AC，       

∵∠B＝90°

∴AC2＝AB2＋BC2＝16＋9＝25，       

∵AD2＝144，DC2＝169，     

∴AC2＋AD2＝DC2，     

∴CA⊥AD

∴S四ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×3×4＋×12×5＝36cm2.

19.2

【解析】根据小正方形的边长可分别求，，，，，，根据勾股定理的逆定理，由知△ADB是直角三角形，由知△ABC是直角三角形.共2个.

20.15；2

【解析】首先得出△AOE≌△OBF(AAS)，进而得出CD的长，进而求出OM，MN的长即可.

解：作AE⊥OM，BF⊥OM，

∵∠AOE＋∠BOF＝∠BOF＋∠OBF＝90°

∴∠AOE＝∠OBF

在△AOE和△OBF中，

，

∴△AOE≌△OBF(AAS)，

∴OE＝BF，AE＝OF

即OE＋OF＝AE＋BF＝CD＝17(m)

∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7(m)，

∴2EO＋EF＝17，

则2×EO＝10，

所以OE＝5m，OF＝12m，

所以OM＝OF＋FM＝15m

又因为由勾股定理得ON＝OA＝13，

所以MN＝15﹣13＝2(m).

答：旗杆的高度OM为15米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米.

21.△ABC是直角三角形.

【解析】本题通过对式子的整理得到a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状.

解：∵a2＋b2＋c2＋200＝12a＋16b＋20c，

∴(a－6)2＋(b－8)2＋(c－10)2＝0，

∴(a－6)＝0，(b－8)＝0，(c－10)＝0，

∴a＝6，b＝8，c＝10，

∵62＋82＝102，

∴a2＋b2＝c2，

∴△ABC是直角三角形.

22.120000元.

【解析】由＝169，＝169，得到∠ABC＝90°，从而确定出最短距离，然后利用面积相等求得BD的长，最终求得最低造价.

试题解析：∵＝＝169，＝169，∴＝，∴∠ABC＝90°，当BD⊥AC时BD最短，造价最低，∵S△ABC＝AB•BC＝AC•BD，∴BD＝＝km，×26000＝120000元.

答：最低造价为120000元.

23.是，理由见解析.

【解析】先在△ABC中，由∠B＝90°，可得△ABC为直角三角形；根据勾股定理得出AC2＝AB2＋BC2＝8，那么AD2＋AC2＝9＝DC2，由勾股定理的逆定理可得△ACD也为直角三角形.

解：都是直角三角形.理由如下：

连结AC.

在△ABC中，∵∠B＝90°，

∴△ABC为直角三角形；

∴AC2＝AB2＋BC2＝8，

又∵AD2＋AC2＝1＋8＝9，而DC2＝9，

∴AC2＋AD2＝DC2，

∴△ACD也为直角三角形.