数学24.1.3 弧、弦、圆心角学案

《圆》第一节 弧、弦、圆心角导学案1

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学习目标：

【知识与技能】

1理解圆的旋转不变性，掌握圆心角的概念以及弧、弦、圆心角之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算

2弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据

【过程与方法】

经历探索发现圆的旋转不变性，证明圆心角、弦、弧之间的关系

【情感、态度与价值观】

学生通在探索圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间关系过程中体验其成立的喜悦

【重点】

弧、弦、圆心角之间的相等关系

【难点】

定理的证明

学习过程:

一、自主学习

（一）复习巩固

（1）圆是轴        图形，任何一条        所在直线都是它的对称轴．

（2）垂径定理                                                                   

推论                                                             ．

（二）自主探究

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做        ．

    请同学们按下列要求作图并回答问题：

如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

相等的弦：                   ；相等的弧：                                   

理由：                                                                    

结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的       相等，所对的弦也       ．  

表达式：                                                            

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的      相等，所对的弦也        ．

表达式：                                                            

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角    ，所对的   也相等．

表达式：                                                            

注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也              。

（三）、归纳总结：

  在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的        相等，所对的弦也       ．

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的               相等，所对的弦也         ．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角             ，所对的       也相等．

（四）自我尝试：

1、如图，在⊙O中，AB=AC ∠ACB =60 °，

求证∠AOB=∠BOC=∠AOC

2、如图，AB，CD是⊙O的两条弦。

（1）如果AB=CD，那么               ，            

（2）如果AB=CD，那么               ，            

（3）如果∠AOB=∠COD，那么               ，            

（4）如果AB=CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE与OF相等吗？为什么？

3、如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35 °，求∠AOE的度数。

二、教师点拔

1、根据圆的旋转不变性，可以得出关于圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，反过来也成立，也就是说：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等。特别注意的是：运用本知识点时应注意其成立的条件：“同圆或等圆中”；本知识点是证明弦相等、弧相等的常用方法。在同圆或等圆中，圆心角和弧间的倍分关系可以互相转化，但与弦之间倍分关系就不能互相转化

2、本节学习的数学方法是归纳、化思想。

三、课堂检测

1、已知⊙O的半径为2，弦AB所对的劣弧为圆的，则弦AB的长为   ，AB的弦心距为      .

2、如图5，在半径为2的⊙O内有长为的弦AB,则此弦所对的圆心角∠AOB=      °.

3、如图6，在⊙O中，弦AB=CD。求证：（1）DB=AC;（2）∠BOD=∠AOC.

                                                             （7）

 4、如果两个圆心角相等，那么（  ）

      A．这两个圆心角所对的弦相等;    B．这两个圆心角所对的弧相等

      C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;    D．以上说法都不对

   5、在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧 AB与CD关系是（  ）

      A．AB=2CD    B．AB>2CD    C．AB<2CD    D．不能确定

   6、如图7，⊙O中，如果  AB=2AC，那么（  ）．

A．AB=2AC     B．AB=AC    C．AB<2AC    D．AB>2AC

    四、课外训练

    1、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．

2、圆内接梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O半径为13，AB=24，CD=10，则梯形面积为                          

    3、如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．

    （1）求证：AM=BN；

（2）若C、D分别为OA、OB中点，则AM=MN=NB成立吗？

  4、如图，∠AOB=90°，C、D是   AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．