数学（沪教版2020上海专用A卷）（范围：平面解析几何、计数原理与概率统计）2022-2023学年高二下学期期中考前必刷卷

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2022-2023学年高二下学期期中考前必刷卷

数学·全解全析

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．双曲线的焦距为______.

【答案】

【分析】根据双曲线的方程，可直接得出焦距.

【详解】双曲线的焦距为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.

2．（2022春·上海金山·高二统考期中）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点．若，则____________；

【答案】4

【分析】根据椭圆的标准方程，求出的值，由的周长是，由此求出．

【详解】因为，

所以.

故答案为：4

【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键．

3．若直线与互相垂直，则实数的值为________．

【答案】

【分析】由两直线互相垂直，建立关于实数的方程，解方程即可得到答案.

【详解】两直线与互相垂直.

所以，解得

故答案为：

【点睛】本题考查两直线互相垂直求参数的值，注意两直线互相垂直的充要条件，属于基础题.

4．经过、两点的直线斜率为______.

【答案】

【分析】利用斜率公式可求得结果.

【详解】由斜率公式可知，直线的斜率为.

故答案为：.

5．已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为，则实数______.

【答案】

【分析】由几何法求圆的弦长的方法求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求得答案．

【详解】因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，

则，解得.

故答案为：．

【点睛】本题考查运用几何法求圆的弦长，以及点到直线的距离的公式的应用，属于基础题．

6．求过点  的圆 的切线方程__________.

【答案】或

【分析】利用几何法求出切线的斜率，即可得到切线方程.

【详解】过点的斜率不存在的直线为：，圆心到直线的距离为1，与圆相交，不是切线；

当斜率存在，设其为k，则切线可设为.

所以，解得：或.

所以切线方程为：或.

故答案为：或.

7．求直线与直线的夹角为________.

【答案】

【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．

【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为，

直线的斜率为，倾斜角为，

故直线与直线的夹角为，

故答案为：．

8． 12名学生排成两列，每列6人，其中学生甲、学生乙不在同一列的不同排列方法数是_______.

【答案】

【分析】先选定甲、乙两人的位置，再将其余人全排列即可.

【详解】因为学生甲、学生乙不在同一列，所以甲、乙的位置共有种情况，

其余学生共有种情况，

所以不同的排列方法数，

故答案为：

9．若二项式展开式的常项数为20，则______．

【答案】1

【分析】利用二项式展开的通项公式，令其指数为0，可得出，再写出常数项，得到的值．

【详解】解：二项式展开式的通项公式：，

令，解得．

常项数为，则．

故答案为1．

【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

10．已知两点，，直线：与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围________

【答案】或

【分析】直线恒经过定点，利用斜率公式求解即可

【详解】由题意，直线恒经过定点，

由直线的斜率公式，可得，

要使直线与线段有公共点，或

故答案为：或

【点睛】本题考查直线的斜率，考查直线过定点问题，是基础题

11．有3本不同的数学书和4本不同的外语书从左到右依次排放在书架的某一层上，那么其中数学书甲不排在左边第一个并且英语书不排在左边第二个的概率为_______.（结果用数值表示）

【答案】

【分析】先算出数学书甲不排在左边第一个的情况数，再计算数学书甲不排在左边第一个且英语书排在左边第二个的情况数，即可得数学书甲不排在左边第一个并且英语书不排在左边第二个的方法数，即可计算所求概率.

【详解】先算出数学书甲不排在左边第一个的情况数为，数学书甲不排在左边第一个且英语书排在左边第二个的情况数为，

则数学书甲不排在左边第一个并且英语书不排在左边第二个有种方法，

所以数学书甲不排在左边第一个并且英语书不排在左边第二个的概率.

故答案为：.

12．已知､分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线的渐近线的距离为2，点在双曲线上，且，则三角形的面积为___________.

【答案】

【分析】由点到该双曲线的渐近线的距离为2，可得的值，再依据双曲线定义和，可得的值，由三角形面积公式可得三角形的面积.

【详解】双曲线的渐近线的方程为，右焦点

由点到该双曲线的渐近线的距离为2可得，，则

由，可得

则三角形的面积为

故答案为：

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】把方程化为标准方程可判断焦点位置和实轴长、虚轴长可得答案.

【详解】因为方程表示双曲线，所以，且，

所以双曲线的焦点在轴上，且，

所以，

又虚轴长是实轴长的倍，所以，

解得.

故选：C.

14． “ab>0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义及充分条件、必要条件的定义判断可得；

【详解】解：若方程表示椭圆，即方程表示椭圆，所以，解得，所以由方程表示椭圆推得出，由推不出方程表示椭圆，若方程表示圆，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件；

故选：B

15．已知平面和平面不重合，直线m和n不重合，则的一个充分条件是（    ）.

A．且 B．且

C．且 D．且

【答案】D

【分析】根据空间中直线、平面的平行关系进行逐项判断即可.

【详解】A．若且，此时和可以相交或平行，故错误；

B．若且，此时和可以相交或平行，故错误；

C．若且，此时和可以相交或平行，故错误；

D．若且，则有，两个不同平面和同一直线垂直，则两平面平行，所以，故正确；

故选：D.

16．从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【详解】标有，，，的张卡片中，标奇数的有张，标偶数的有张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ,选C.

【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

现有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队.

（1）要求甲、乙两个人必须站在相邻位置，共有几种排队方法？

（2）要求甲、乙两个人不相邻，共有几种排队方法？

【答案】（1）48；（2）72.

【分析】（1）利用捆绑法可得解；

（2）利用插空法可得解.

【详解】（1）先将甲、乙看作一个整体有种排法，再与丙、丁、戊进行全排列有种排法，

利用分步相乘计数原理可知种

（2）先将丙、丁、戊进行全排列有种排法，再将甲、乙插到4个空里有种排法，

利用分步相乘计数原理可知种

18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

已知圆的方程为

（1）求过点且与圆相切的直线方程；

（2）若直线与圆相交于、，求弦长的值．

【答案】（1）或；（2）．

【分析】（1）切线的斜率存在时，设斜率为，直线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径求的值，可得切线方程，再检验斜率不存在时是否符合题意即可求解；

（2）先求圆心到直线的距离，再由即可求解.

【详解】（1）由可得，所以圆心为，半径，

①当直线斜率不存在时，由过点得直线方程为，与的距离为，此时与圆相切，符合题意；

②当直线斜率存在时，可设斜率为，

直线方程为，即，

圆心到直线的距离，

即，解得．

所以直线方程为．

综上所述：所求直线方程为或．

（2）圆心到直线与的距离，

又因为半径，

所以

19. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

设抛物线y2=2px的焦点F的坐标为(1，0)，过焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交A､B于两点，线段AB的中点为M.倾斜角是变化的.

（1）设△MOF的面积为S△MOF；△AOB的面积为S△AOB，设S△MOF=S△AOB，求的取值范围；

（2）求中点M的轨迹方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)根据题意，设直线方程，联立抛物线的方程，求出和，进而可得和，结合题意即可求解；

(2)根据题意，分别表示出和时点的坐标，消参即可求解.

【详解】(1)根据题意得抛物线的方程为，由题意可知，且，

设直线方程，，，

联立，得，

因此，，，

因，

所以，

所以，，

因，所以，

又因且，所以，故.

(2)当时，由(1)知 ，消去，得，且；

当时，.

综上中点M的轨迹方程为.

【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；

(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

20. (本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)

在平面直角坐标系中，原点为，抛物线的方程为，线段是抛物线的一条动弦．

（1）求抛物线的准线方程；

（2）求，求证：直线恒过定点；

（3）过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，、分别是线段、的中点，求面积的最小值．

【答案】（1）准线方程：；（2）直线恒过定点，证明见解析；（3）．

【分析】（1）由焦点在轴正半轴上，且，即可得准线方程；

（2）设直线方程为，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得的值，即可得所过的定点；

（3）设的方程为，，，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求、两点坐标，由两点间距离公式求、的长，再计算，由基本不等式求最值即可求解.

【详解】（1）由可得：，焦点为，所以准线方程：，

（2）设直线方程为，，

由得，

所以，，

，

即，解得：

所以直线过定点

（3），由题意知直线、的斜率都存在且不为，

设直线的方程为，，，

则直线的方程为，

由得，

所以，，

所以，，所以

用替换可得，，所以，

所以

，当且仅当即时，等号成立，

所以的面积取最小值．

【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：

①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；

③利用基本不等式求出参数的取值范围；

④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．

21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)

已知椭圆(a>b>0)经过A(0，2)､B(-3，-1)两点.

（1）求直线AB和椭圆的方程；

（2）求椭圆上的动点T到N(1，0)的最短距离；

（3）直线AB与x轴交于点M(m，0)，过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线与椭圆交于C，D两点，直线AC，BD分别交直线x=m于P，Q两点.求证：为定值.

【答案】（1）；；（2）；（3）证明见解析.

【分析】（1）把点A(0，2)､B(-3，-1)代入椭圆方程即可求出椭圆方程；直线AB的方程可以利用点斜式或两点式求解；

（2）利用两点间的距离公式化简为函数最值问题求解；

（3）首先利用直线的方程求出，再分别利用，的方程与椭圆方程联立方程组得出坐标，即可化简得到.

【详解】（1）把A(0，2)､B(-3，-1)两点坐标代入得：，

即，，即椭圆方程为：.

，所以直线的方程为：.

（2）设，则点T到N(1，0)的距离，

因为，所以当时，有最小值，且，

所以动点T到N(1，0)的最短距离为：.

（3）如图，

因为直线的方程为：，

取得，，

设直线的方程为：，，，

联立方程组：得：，

所以，，

记直线的方程为：，令得：，

记直线的方程为：，令得：，

故为定值，定值为1.