数学（苏教版2019江苏专用B卷）（范围：空间向量与立体几何、计数原理）2022-2023学年高二数学下学期期中考前必刷卷

2022-2023学年高二数学下学期期中考前必刷卷02

（范围：苏教版2019选修第二册第六章、第七章）

本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟。

1.【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，计算给点坐标，得到平面的法向量为，再根据公式依次计算每个选项得到答案.

【详解】如图所示，以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，

设平面的法向量为，则，

取得到，

对选项A：，，平面，故平面，正确；

对选项B：，点到平面的距离是，正确；

对选项C：，与不平行，错误；

对选项D：，，与所成角的余弦值为，正确.

故选：C

2．【答案】A

【分析】由题分为人数为的三组以及人数为的三组讨论即可.

【详解】由题知,6名航天员安排三舱,

三舱中每个舱至少一人至多三人,

可分两种情况考虑:

第一种,分人数为的三组,共有种；

第二种,分人数为的三组,共有种；

所以不同的安排方法共有种.

故选：A.

3．【答案】B

【分析】先求样本空间的样本点，再求事件“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中所包含的样本点，并利用古典概型概率公式求概率.

【详解】随机试验从五项活动中随机选三项的样本空间共有个样本点，

“书法”和“绘画”这两项活动至多有一项被选中”分两种情况：

①都没有被选中，有种情况；②两项活动只有一项被选中，有种情况，

则所求概率为，

故选：B．

4．【答案】A

【分析】直接利用二项式定理计算即可.

【详解】的展开式通项为，

取，则，系数为.

故选：A

5．【答案】D

【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数即可.

【详解】由题设，△为边长为的等边三角形，且，

等边△的高为，

在正棱锥中，以为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴，如上图示，

则，且，

所以，，，

若为面PBC的法向量，则，令，则，

又平面PBC，则且k为实数，，故.

故选：D

6．【答案】A

【分析】由分步乘法计数原理得出，再由二项式定理得出第5项.

【详解】由题意可知，，的展开式的通项为，

则展开式中的第5项为.

故选：A

7．【答案】B

【分析】适当建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，并利用，求出点F坐标，最后利用线面角公式求出答案.

【详解】因为平面平面，

所以，又为长方形，所以，

所以两两垂直，

以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建

立空间直角坐标系

因为，

则，

，设平面的一个法向量为，

由，得，

令，即，

设，则，又，故.

故.设与平面所成角为，于是，.

故选：B.

8．【答案】B

【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面与平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【详解】以A为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，

可得，

设平面的法向量为，则，

令，则，即，

∵平面的法向量为，

则，

故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，即二面角的大小是．

故选：B．

二、多选题

9．【答案】BC

【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.

【详解】的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误；

由已知可得二项式系数之和为，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，

所以奇数项的二项式系数和为，故B正确；

展开式的通项为 ，令，解得．

故常数项为，故C正确；

有理项中x的指数为整数，故，2，4，6，8，故有理项有5项，故D错误．

故选：BC

10．【答案】AC

【分析】证明，由此证明的面积为定值，再证明平面，结合锥体体积公式判断A，建立空间直角坐标系由条件确定点的坐标，再求，判断B，

【详解】因为为侧面的中心，所以为的中点，

又为棱的中点，

所以，

所以点到直线的距离等于点到直线的距离，

所以点到直线的距离等于点到直线的距离的一半，

设，

所以点到直线的距离为，

所以点到直线的距离为，

所以的面积，

又，，

，平面，

所以平面，

所以三棱锥的体积，A正确；

如图以点为原点，为的正方向，建立空间直角坐标系，

则，

所以，

所以，

所以向量为平面的一个法向量，

设，，

所以，

因为平面，所以，

所以，所以，

所以，B正确；

设，则，

又，

因为，所以，

所以，

所以，

又，所以，

所以当时，线段取最大值，最大值为；C正确；

因为，，

又与的所成角为，

所以，

化简可得，且，

所以点的轨迹为抛物线的一部分，D错误；

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题解集的关键在于建立空间直角坐标系，利用向量方法研究空间中的线面位置关系.

11．【答案】ABD

【分析】根据分类分步计数原理,平均分组及不平均分组,隔板法等分别判断各个选项即可.

【详解】对于A:,故A正确；

对于B:不同的分组，2组2个，3组1个或1组3个，4组1个，

即或所以有种，故B正确；

对于C:应用隔板法，C选项等价于8个相同的球,放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个, 所以有种, 故C错误；

对于D:由于球和盒子相同，所以存放的区别在于盒子里球的个数，

存放1个盒子，将7个球放入1个盒子，有1种存放方式；

存放2个盒子，有3种；

存放3个盒子，有4种；

共有8种，故D正确.

故选：ABD.

12．【答案】AC

【分析】利用向量的基底运算可求，利用向量垂直及线面垂直的判定可得B的正误，利用向量的基底运算可求C,D的正误.

【详解】对于A，，

，

所以，选项A错误；

对于B，

，所以，即，

，所以，即，因为，平面，所以平面，选项B正确；

对于C：向量与的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项C错误；

对于D，，,

所以，

，

同理，可得;

，

所以，所以选项D正确．

故选：AC．

13．【答案】30

【分析】利用间接法：先把学生安排出去，再排除甲､乙两名同学安排到同1个小区的情况，结合捆绑法运算求解.

【详解】根据题意：若每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，共有种安排方法，

若甲､乙两名同学安排到同1个小区，共有种安排方法，

所以共有种安排方法.

故答案为：30.

14．【答案】

【分析】令，则，再利用展开式通项公式即可求出结果.

【详解】令，则，

故，

故答案为：.

15．【答案】

【分析】根据向量的分解和基底的定义求解.

【详解】因为，

所以所以.

故答案为:.

16．【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，求出球心到平面的距离，由可求出截面圆的半径，即可求出截面圆面积.

【详解】由条件知正方体的内切球半径大小为2，设球心到平面的距离为，

建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设正方体内切球的球心为，，

则，

设平面的法向量为，

，令，

所以，所以

于是截面圆的半径大小为，   

故截面圆的面积大小为.

故答案为:.

17．【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）先求出通项公式，让的指数为整数可得有理项；

（2）先利用通项公式求出第4项与第6项的系数，根据条件求出，然后利用赋值法可得答案.

【详解】（1）若，则，（）

由，得.

所以有理项为：．

（2），

由题意得，即，解得或（舍）.

令，得各项的系数之和为．

18.【答案】(1)证明过程见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；

（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】（1）因为，M为BC的中点，

所以，

因为四棱锥的底面是矩形，

所以，

所以，所以，

而，即，

因为底面ABCD，底面ABCD，

所以，而平面PBD，

所以平面PBD；

（2）因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，

因为因为四棱锥的底面是矩形，

所以，建立如下图所示的空间直角坐标系，

，

因为平面ABCD，

所以平面ABCD的法向量为，

设平面APM的法向量为，

，，

于是有，

平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为；

（3）由（2）可知平面APM的法向量为，，

所以D到平面APM的距离为

19．【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】根据古典概型的概率公式进行计算即可.

【详解】（1）参与抽查的100名高中学生中，没有参与“创城”活动的有26人，

设在这100名高中学生中，随机抽取1名学生，该生没有参与“创城”活动为事件E，则.

（2）上表中从B校没有参与“创城”活动的同学有5人，C校没有参与“创城”活动的同学有1人，设从中随机抽取2人，恰好B，C两校各有1人为事件F，

则 .

（3）在抽查的100名高中学生中随机抽取2人，其中的一名同学来自D校，设这2人不同校为事件G，则.

20．【答案】证明见解析

【分析】根据直棱柱的几何性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】因为三棱柱是直三棱柱，

所以面，又面，故，

因为，所以，则两两垂直，

故以为原点，建立空间直角坐标系，如图，

则，

故，所以，

所以，故.

21．【答案】(1)18种

(2)360种

【分析】（1）先从4名男生中任选2人，再从3名女生中任选2名女生，由分步乘法计数原理求满足条件的选法数；

（2）从3名女生中选取1名女生参加茶艺项目，再从余下的6名同学中选取3名同学分别参加国学、书法、绘画3种项目，由分步乘法计数原理可求满足条件的选法数；

【详解】（1）从4名男生中选取2名男生的选法有种，

从3名女生中选取2名女生的选法有种，

由分步乘法计数原理可得所求的不同选法有种．

（2）从3名女生中选取1名女生参加茶艺项目，有种选法，

从余下的6名同学中选取3名同学分别参加国学、书法、绘画3种项目，有种选法，

由分步乘法计数原理可得所求的不同选法有种．

22．【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，证明，再利用线面平行的判定推理作答.

（2）利用给定条件求出，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.

【详解】（1）取的中点，连接，因为为的中点，则，且，

又是矩形的边的中点，即有，且，

于是，且，即四边形是平行四边形，，

因为平面平面，

所以平面.

（2）因为直线与平面所成的角为，且平面，

则就是直线与平面所成的角，即，于是1，

以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：

，，

设平面的法向量为，则，令，得，

设平面的法向量为，则，令，得，

因此，

所以平面与平面夹角的余弦值为.