高中1.1 向量精品作业ppt课件

1.4　向量的分解与坐标表示

1.4.1　向量分解及坐标表示

必备知识基础练

1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为(　　)

A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4

答案D

解析因为向量e1与e2不共线,

所以解得

2.如图所示,在△ABC中,AD=AB,BE=BC,则=(　　)

A.

B.

C.

D.

答案D

解析)=.

3.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足(　　)

A.m>0,n>0 B.m>0,n<0

C.m<0,n>0 D.m<0,n<0

答案B

解析如图所示,利用平行四边形法则,

将分解到上,有,

则=m=n,

很明显方向相同,则m>0;方向相反,则n<0.

4.(多选题)设{i,j}为一组标准正交基,则关于a在基{i,j}下的坐标的说法,其中不正确的是(　　)

A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)

B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2

C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O

D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)

答案BCD

解析由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误.

5.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为　　　　　. 

答案6

解析由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,

即xe1+2e2=3λe1+λye2,

所以故xy=3λ·=6.

6.

如图,C,D是△AOB的边AB的三等分点,设=e1,=e2,以{e1,e2}为基来表示=　　　　,=　　　　　. 

答案e1+e2　e1+e2

解析=e1+(e2-e1)=e1+e2,

=(e2-e1)=e1+e2.

7.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.

(1)求证:{a,b}可以作为一组基;

(2)以{a,b}为基,求向量c=3e1-e2的坐标.

(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),

则e1-2e2=λ(e1+3e2).

由e1,e2不共线,得

所以λ不存在,故a,b不共线,

即{a,b}可以作为一组基.

(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),

则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)

=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.

所以解得

故c=2a+b,即c=(2,1).

8.

如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b.

(1)用a,b表示;

(2)求证:B,E,F三点共线.

(1)解如图,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则=a+b,(a+b),(a+b),b,

(a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a).

(2)证明由(1)知,,∴共线.

又有公共点B,∴B,E,F三点共线.

关键能力提升练

9.(2020四川绵阳高一检测)如图,在△ABC中,设=a,=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P.若=ma+nb,则m+n=              (　　)

A.

B.

C.

D.1

答案C

解析由题意可得=2=2,

=a=+2, ①

=b, ②

由①②求得a+b.

再由=ma+nb可得m=,n=,m+n=.

10.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j组成一组基{i,j},对于平面内的一个向量a.若|a|=2,θ=45°,则向量a在基{i,j}下的坐标为　　　　　. 

答案()

解析由题意知a=(2cos 45°,2sin 45°)=().

11.如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求的值.

解设=e1,=e2,则=-3e2-e1,=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,

=μ=2μe1+μe2,

∴=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.

又=2e1+3e2,

∴

解得

∴,即=4∶1.

学科素养创新练

12.如图,已知△OAB,若正实数x,y满足x+y<1,且有=x+y.证明:点P必在△OAB内部.

证明由题意可设x+y=t,t∈(0,1),

则=1.设P'为平面内一点,且,则)=,所以点P'在直线AB上.又∈(0,1),所以点P'在线段AB上(异于端点).

因为=x+y=t ,t∈(0,1),

即点P在线段OP'上(异于端点),

所以点P必在△OAB内部.